Vorwort zur deutschen Ausgabe
Prolog
Um Sie von der Angst zu befreien
Über die verschiedenen Grade der Kleinheit
Über relatives Wachstum
    Hinweise zu Kapitel 3
    Übung 1
Nächste Stufe. Was tun mit Konstanten
    Übung 2
Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten
    Übung 3
Sukzessive Differenzierung
   Übung 4
Wenn die Zeit variiert / Wenn die Zeit sich verändert
    Übung 5
Einführung in nützliche Ausweichmanöver
    Übungen 6
    Übungen 7
Geometrische Bedeutung der Kleinheit der Differenzierung
    Übungen 8
Maxima und Minima
    Übungen 9
Krümmung der Kurven
    Übungen 10
Weitere nützliche Ausweichmanöver
    Übungen 11
Differential einer inversen Funktion
Über den wahren Zinseszins und das Gesetz des oragnischen Wachstums
    Übungen 12
Die logarithmische Kurve
Die Zerfallskurve
    Übungen 13
Wie man mit Sinus und Cosinus umgeht
Zweiter Differentialkoeffizient von Sinus und Cosinus
    Übungen 14
Partial Differentiation
Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen
    Übungen 15
Integration
Steigungen von Kurven und die Kurve selbst
    Übungen 16
Integration als Umkehrung der Differentiation
Integration der Summe oder Differenz zweier Funktionen
Wie man mit konstanten Termen umgeht
Einige andere Integrale
Zu Doppel- und Dreifachintegralen
    Übungen 17
Über das Bestimmen von Flächen durch Integrieren
Flächen in Polarkoordinaten
Volumina durch Integration
Über quadratische Mittelwerte
    Übungen 18
Schwierigkeiten/Tücken, Fallgruben und Triumphe
    Übungen 19
Einige Lösungen finden
Epilog und Entschuldigung

Vorwort

Calculus Made Easy - ist kein klassisches Lehrbuch, in dem der Leser allzu oft alleine gelassen wird. Im Gegenteil, es handelt sich um ein sehr launig geschriebenes Buch, dass es auch dem Anfänger im Bereich der Differential- und Integralrechnung erlaubt, schnelle Fortschritte beim Lernen beziehungsweise beim Selbststudium zu erzielen.

Mit Calculus Made Easy hat Silvanus P. Thompson eine zeitlose und elegante Einführung in Thema geschrieben.

Auch wenn einige Anpassungen des Textes notwendigen waren, hoffen wir das die Launigkeit erhalten geblieben ist.

Prolog

Wenn man bedenkt, wie viele Narren rechnen können, ist es verwunderlich, dass es für jeden anderen Narr entweder als schwierig oder als mühselige Aufgabe angesehen wird, dieselben Tricks zu erlernen.

Einige Rechentricks sind ganz einfach. Einige sind enorm schwierig. Die Narren, die die Lehrbücher der fortgeschrittenen Mathematik schreiben - und das sind meist kluge Narren - machen sich selten die Mühe, Ihnen zu zeigen, wie leicht die einfachen Berechnungen sind. Im Gegenteil, sie scheinen Sie mit ihrer enormen Cleverness beeindrucken zu wollen, indem sie es auf die schwierigste Art und Weise angehen.

Da ich selbst ein bemerkenswert dummer Kerl bin, habe ich mir die Schwierigkeiten abgewöhnen müssen und biete nun meinen Mitnarren an, die Teile zu präsentieren, die nicht schwer sind. Meistern Sie diese gründlich, und der Rest wird folgen. Was ein Narr kann, kann ein anderer auch.

Um Sie von der Angst zu befreien

Die Angst, der die meisten Fünftklässler davon abhält, das Rechnen überhaupt zu lernen, kann ein für alle Mal beseitigt werden, indem man einfach erklärt, was die beiden Hauptsymbole, die beim Rechnen verwendet werden, bedeuten - und zwar mit gesundem Menschenverstand.

Diese furchtbaren Symbole sind:

(1) d, das lediglich ein bisschen bedeutet.

So bedeutet dx ein kleines Stückchen von x oder du bedeutet ein kleines Stückchen von u. Gewöhnliche Mathematiker halten es für höflicher, ein Element von zu sagen, statt ein kleines Bisschen von. Ganz, wie Sie wollen. Aber Sie werden feststellen, dass diese kleinen Teile (oder Elemente) als unendlich klein angesehen werden können.

(2) ∫, dass lediglich ein langes S ist, und kann als (wenn man will) die Summe von bezeichnet werden.

Damit bedeutet ∫ dx die Summe aller kleinen Teile von x; oder ∫ dt bedeutet die Summe aller kleinen Teile von t. Gewöhnliche Mathematiker nennen dieses Symbol das Integral von. Nun kann jeder Narr sehen, dass, wenn x als aus vielen kleinen Teilen bestehend betrachtet wird, von denen jedes dx heißt, wenn man sie alle zusammenzählt, man die Summe aller dx's erhält, was dasselbe ist wie das Ganze von x. Das Wort Integral bedeutet einfach das Ganze. Wenn man sich die Zeitdauer einer Stunde vorstellt, kann man sie, wenn man will als in 3600 kleine Teile zerlegt denken, die man Sekunden nennt. Die Gesamtheit der 3600 kleinen Teile ergibt zusammengerechnet eine Stunde.

Wenn Sie einen Ausdruck sehen, der mit diesem furchteinflößenden Symbol beginnt, wissen Sie von nun an, dass es nur dazu da ist, um Ihnen die Anweisung zu geben, dass Sie nun die Operation durchführen sollen (wenn Sie können), alle kleinen Teile zusammenzuzählen, die durch die folgenden Symbole angezeigt werden.

Das ist alles.

Über die verschiedene Grade der Kleinheit

Wir werden feststellen, dass wir es in unseren Rechenprozessen mit kleinen Mengen mit verschieden Graden der Kleinheit zu tun haben.

Wir werden auch lernen müssen, unter welchen Umständen wir kleine Mengen als so winzig betrachten können, dass wir sie aus der Betrachtung ausschließen können. Alles hängt von der relativen Winzigkeit ab.

Bevor wir irgendwelche Regeln festlegen, lassen Sie uns an einige bekannte Fälle denken. Es gibt 60 Minuten in der Stunde, 24 Stunden im Tag, 7 Tage in der Woche. Es gibt also 1440 Minuten am Tag und 10080 Minuten in der Woche.

Natürlich ist 1 Minute eine sehr kleine Zeitmenge im Vergleich zu einer ganzen Woche. In der Tat betrachteten unsere Vorfahren sie als klein im Vergleich zu einer Stunde und nannten sie eine mimùte, was einen winzigen Bruchteil - nämlich ein Sechzigstel - einer Stunde bedeutet. Als sie kamen, um noch kleinere Unterteilungen der Zeit zu verlangen, teilten sie jede Minute in 60 noch kleinere Teile, die sie in den Tagen von Königin Elisabeth zweite minùtes (d.h.: kleine Mengen der zweiten Ordnung der Minutenzahl) nannten. Heutzutage nennen wir diese kleinen Mengen der zweiten Ordnung der Kleinheit Sekunden. Aber nur wenige Menschen wissen, warum sie so genannt werden. Die Bezeichnung Sekunde leitet sich vom lateinischen Ausdruck pars minuta secunda ab, was der zum zweiten Mal verminderte Teil bedeutet.

Wenn nun eine Minute im Vergleich zu einem ganzen Tag so klein ist, wie viel kleiner ist dann im Vergleich dazu eine Sekunde!

Vergleichen Sie eine 1 Cent Münze mit einem 10 Euro Schein: Sie ist nur $\frac{1}{1000}$ der Banknote wert. Eine 1 Cent Münze ist im Vergleich zu einem 10 Euro Schein mehr oder weniger wenig wert: Sie kann durchaus als eine kleine Menge betrachtet werden. Aber wenn Sie jetzt die 1 Cent mit einem 500 Euro Schein vergleichen, erkennen Sie, das die Münze keine Bedeutung besitzt, obwohl sie dem $\frac{1}{1000}$ Teil eines 10 Euro Scheines entspricht. Selbst ein 500 Euro Schein eine relativ vernachlässigbare Größe im Vermögen eines Millionärs.

Wenn wir nun irgendeinen numerischen Bruchteil als den Anteil festlegen, den wir für irgendeinen Zweck als relativ klein bezeichnen, so können wir leicht andere Brüche von höherem Grad der Kleinheit angeben. Wenn also $\frac{1}{60}$ für den Zweck der Zeit ein kleiner Bruchteil genannt wird, dann kann $\frac{1}{60}$ von $\frac{1}{60}$ (als ein kleiner Bruchteil eines kleinen Bruches) als eine kleine Menge zweiter Ordnung der Kleinheit betrachtet werden. *

*Die Mathematiker sprechen von der zweiten Ordnung der Größe, auch wenn sie eigentlich die zweite Ordnung der Kleinheit meinen. Das ist für Anfänger sehr verwirrend.

Oder, wir betrachten 1 Prozent (d.h.: $\frac{1}{100}$) als einen kleinen Bruch, dann ist 1 Prozent von 1 Prozent. (d.h.: $\frac{1}{10.000}$) ein kleiner Bruchteil zweiter Ordnung der Kleinheit; und $\frac{1}{1.000.000}$ wäre ein kleiner Bruchteil dritter Ordnung der Kleinheit, nämlich 1 Prozent von 1 Prozent von 1 Prozent von 1 Prozent.

Letzten Endes nehmen wir an, dass wir für irgendeinen sehr genauen Zweck $\frac{1}{1.000.000}$ als klein betrachten sollten. Wenn also eine erstklassige Uhr in einem Jahr nicht mehr als eine halbe Minute verlieren oder gewinnen soll, muss er die Zeit mit einer Genauigkeit von 1 Teil in 1.051.200 halten. Wenn wir nun für einen solchen Zweck $\frac{1}{1.000.000}$ (oder ein Millionstel) als eine kleine Menge betrachten, dann ist $\frac{1}{1.000.000}$ von $\frac{1}{1.000.000}$, also $\frac{1}{1, 000.000.000.000}$ (oder ein Billionstel) eine kleine Menge zweiter Ordnung und kann im Vergleich dazu völlig vernachlässigt werden.

Dann sehen wir, dass je kleiner eine kleine Menge selbst ist, desto vernachlässigbarer wird die entsprechende kleine Menge zweiter Ordnung. Daher wissen wir, dass wir in allen Fällen berechtigt sind, die kleinen Mengen zweiter oder dritter (oder höherer) Ordnung zu vernachlässigen, wenn wir nur die kleine Menge erster Ordnung in sich selbst klein genug nehmen.

Ob eine Betrachtung beziehungsweise die Berücksichtigung einer Größe von Bedeutung ist hängt auch von dem Kontext in dem sie verwendet wird ab. Um dafür ein besseres Gespür zu entwickeln betrachten wir die Ergebnisse der olympischen Spiele 2020 in Tokyo. Die Siegerin hat beim 20 km Gehen 1:29:12 (also 1 Stunde 29 Minuten und 12 Sekunden) für die Strecke benötigt. Beim 1500 Meter Lauf benötigte die Siegerin 3:53,11 Minuten (also 3 Minuten 53 Sekunden und 11 hundertstel Sekunden).

Beim ersten Beispiel waren Sekunden noch ausreichend während beim zweiten Beispiel bereits hundertstel Sekunden für die Beschreibung benötigt werden. Mit anderen Worten während beim 1500 Meter Lauf hundertstel Sekunden betrachtet werden können diese beim 20 km Gehen vernachlässigt werden.

Aber es ist zu bedenken, dass kleine Mengen, wenn sie in unseren Ausdrücken als Faktoren multipliziert mit einem anderen Faktor auftreten, wichtig werden können, wenn der andere Faktor selbst groß ist. Selbst ein Cent wird wichtig, wenn er nur mit ein paar Hundert multipliziert wird.

In der Infinitesimalrechnung schreiben wir dx für ein kleines Stückchen x. Diese Dinge wie dx und du und dy nennt man Differentiale, das Differential von x, oder von u, oder von y, je nachdem. (Man liest sie als dee-iks, oder dee-u, oder dee-y.) Wenn dx ein kleines Stück von x ist, und zwar ein relativ kleines, so folgt daraus nicht, dass solche Größen wie x · dx, oder x² dx, oder a^x dx vernachlässigbar sind. Aber dx × dx wäre vernachlässigbar, da es eine kleine Menge zweiter Ordnung ist.

Ein sehr einfaches Beispiel soll zur Veranschaulichung dienen.

Stellen wir uns x als eine Menge vor, die um einen kleinen Betrag wachsen kann, so dass sie zu x + dx wird, wobei dx der kleine Zuwachs ist, der durch das Wachstum entsteht. Das Quadrat hiervon ist x² + 2x · dx + (dx)². Der zweite Term ist nicht vernachlässigbar, weil er eine Größe erster Ordnung ist; während der dritte Term von der zweiten Ordnung der Kleinheit ist, nämlich ein bisschen von x². Wenn wir also dx als numerischen Wert, sagen wir, $\frac{1}{60}$ von x auffassen, dann wäre der zweite Term $\frac{2}{60}$ von x², während der dritte Term $\frac{1}{3600}$ von x² wäre. Dieser letzte Term ist eindeutig weniger wichtig als der zweite. Wenn wir aber weiter gehen und dx nur als $\frac{1}{1000}$ von x auffassen, dann ist der zweite Term $\frac{2}{1000}$ von x², während der dritte Term nur $\frac{1}{1.000.000}$ von x² ist.

Geometrisch lässt sich dies wie folgt darstellen: Zeichnen Sie ein Quadrat (Abbildung 1), dessen Seite wir für x halten. Nehmen wir nun an, das Quadrat vergrößere sich, indem es in jeder Richtung um ein Stück dx vergrößert wird. Das vergrößerte Quadrat setzt sich zusammen aus dem ursprünglichen Quadrat x², den beiden Rechtecken oben und rechts, die jeweils den Flächeninhalt x · dx (oder zusammen 2x · dx) haben, und dem kleinen Quadrat in der rechten oberen Ecke, das (dx)² ist. In Abbildung 2 haben wir dx als einen ziemlich großen Bruchteil von x angenommen - etwa $\frac{1}{5}$. Aber nehmen wir an, wir hätten ihn nur als $\frac{1}{100}$ genommen - etwa die Dicke einer mit einem feinen Stift gezogenen Linie. Dann hätte das kleine Eckquadrat eine Fläche von nur $\frac{1}{10.000}$ von x² und wäre praktisch unsichtbar. Offensichtlich ist (dx)² vernachlässigbar, wenn wir nur die Schrittweite dx selbst als klein genug betrachten.

Lassen Sie uns ein Gleichnis betrachten.

Angenommen, ein Millionär würde zu seinem Sekretär sagen: Nächste Woche gebe ich dir einen kleinen Teil von jedem Geld, das bei mir eingeht. Nehmen wir an, der Sekretär würde zu seinem Jungen sagen: Ich werde dir einen kleinen Bruchteil von dem geben, was ich bekomme. Nehmen wir an, der Bruchteil sei in beiden Fällen jeweils $\frac{1}{100}$ der entsprechenden Summe. Wenn nun Herr Millionär in der nächsten Woche 10000 Euro erhält, würde der Sekretär 100 Euro und der Junge 1 Euro erhalten. Hundert Euro wären eine kleine Menge im Vergleich zu 10000 Euro; aber ein Euro ist in der Tat eine kleine Menge, von sehr untergeordneter Größe im Vergleich zu der ursprünglichen Summe von 10000 Euro. Aber um wie viel größer wäre das Missverhältnis, wenn der Bruchteil, statt $\frac{1}{100}$ zu sein, auf $\frac{1}{1000}$ Teil festgelegt worden wäre? Dann bekäme der Herr Millionär nach wie vor seine 10000 Euro, der Herr Sekretär aber nur noch 10 Euro, und der Junge 1 Cent!

Über relatives Wachstum

Im gesamten Calculus haben wir es mit Mengen zu tun, die wachsen, und mit Wachstumsraten. Wir teilen alle Größen in zwei Klassen ein: Konstanten und Variablen. Diejenigen, die wir als von festem Wert betrachten und Konstanten nennen, bezeichnen wir im Allgemeinen algebraisch mit Buchstaben vom Anfang des Alphabets, wie a, b oder c; während diejenigen, die wir als wachsend oder (wie die Mathematiker sagen) als veränderlich betrachten, bezeichnen wir mit Buchstaben vom Ende des Alphabets, wie x, y, z, u, v, w, oder manchmal t.

Außerdem haben wir es meist mit mehr als einer Variablen gleichzeitig zu tun und denken an die Art und Weise, wie eine Variable von der anderen abhängt: Zum Beispiel denken wir an die Art und Weise, wie die von einem Projektil erreichte Höhe von der Zeit abhängt, in der es diese Höhe erreicht. Oder wir werden aufgefordert, ein Rechteck mit gegebener Fläche zu betrachten und zu fragen, wie eine Vergrößerung der Länge eine entsprechende Verkleinerung der Breite erzwingt. Oder wir denken an die Art und Weise, wie jede Veränderung der Neigung einer Leiter die Höhe, die sie erreicht, variieren lässt.

Angenommen, wir haben zwei solcher Variablen, die voneinander abhängen. Eine Änderung der einen führt zu einer Änderung der anderen, wegen dieser Abhängigkeit. Nennen wir eine der Variablen x, und die andere, die von ihr abhängt, y.

Angenommen, wir bringen x dazu, zu variieren, das heißt, wir verändern es oder stellen uns vor, dass es verändert wird, indem wir zu ihm ein Teil hinzufügen, das wir dx nennen. Wir bewirken also, dass x zu x + dx wird. Dann, weil x verändert wurde, hat sich auch y verändert und ist zu y + dy geworden. Hier kann das Teil dy in einigen Fällen positiv, in anderen negativ sein; und es wird in dem meisten Fällen nicht die gleiche Größe wie dx haben.

Zwei Beispiele.

(1) Seien x und y die Basis beziehungsweise die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks (Abbildung 4), die Neigung der dritten Seite sei auf 30° festgelegt ist. Wenn wir annehmen, dass sich dieses Dreieck ausdehnt und dennoch seine Winkel gleich bleiben, dann wird, wenn die Basis so wächst, dass sie x + dx wird, die Höhe zu y + dy. Hier führt die Vergrößerung von x zu einer Vergrößerung von y. Das kleine Dreieck, dessen Höhe dy und dessen Basis dx ist, ähnelt dem ursprünglichen Dreieck; und es ist offensichtlich, dass der Wert des Verhältnisses $\dfrac{dy}{dx}$ der gleiche ist wie der des Verhältnisses $\dfrac{y}{x}$. Da der Winkel 30° ist, wird man sehen, dass hier:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1,73} \]

(2) Sei x in Abbildung 5 der horizontale Abstand (= Strecke OA) des unteren Endes einer Leiter fester Länge AB von einer Wand; und sei y die Höhe (= Strecke OB), die sie an der Wand erreicht. Nun hängt y eindeutig von x ab. Es ist leicht, zu sehen, dass, wenn wir das untere Ende A etwas weiter von der Wand wegziehen, das obere Ende B etwas tiefer herunterkommt. Lassen Sie uns dies in wissenschaftlicher Sprache ausdrücken. Wenn wir x auf x + dx erhöhen, dann wird y zu y - dy; das heißt, wenn x eine positive Erhöhung erhält, ist die Erhöhung, die zu y führt, negativ.

Ja, aber wie viel? Nehmen wir an, die Leiter sei so lang, dass, wenn das untere Ende A 3 m von der Wand entfernt ist, das obere Ende B 4 m vom Boden entfernt ist. Wenn Sie nun das untere Ende 1 cm weiter herausziehen würden, um wie viel würde das obere Ende herunterkommen? Geben Sie das Ganze in cm an: x = 300 cm, y = 400 cm. Das Inkrement von x, das wir dx nennen, beträgt nun 1 cm: oder x + dx = 301 cm.

Wie stark wird y verkleinert? Die neue Höhe wird y - dy sein. Wenn wir die Höhe mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen, dann können wir herausfinden, wie viel dy sein wird. Die Länge der Leiter ist

\[ \sqrt{ (400)^2 + (300)^2 } = 500 \text{ cm}. \]

Die neue Höhe, die y - dy ist, ist dann so, dass

\begin{align*} (y - dy)^2 &= (500)^2 - (301)^2 = 250000 - 90601 = 159399, \\ y - dy &= \sqrt{159399} = 399,25 \text{cm}. \end{align*}

Nun ist y 400, so dass dy 400 - 399,25 = 0,75 cm beträgt.

Wir sehen also, dass die Erhöhung von dx um 1 cm eine Verringerung von dy um 0,75 cm zur Folge hat.

Und das Verhältnis von dy zu dx kann so angegeben werden:

\[ \frac{dy}{dx} = - \frac{0,75}{1}. \]

Es ist auch leicht, zu sehen, dass (außer an einer bestimmten Stelle) dy eine andere Größe als dx hat.

Jetzt sind wir quer durch die Differentialrechnung auf der Jagd nach einem merkwürdigen Ding, einem bloßen Verhältnis, nämlich dem Verhältnis, das dy zu dx hat, wenn beide unendlich klein sind.

Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass wir dieses Verhältnis $\dfrac{dy}{dx}$ nur finden können, wenn y und x in irgendeiner Beziehung zueinanderstehen, so dass, wann immer x variiert, auch y variiert. So wird z. B. im ersten Beispiel, wenn die Basis x des Dreiecks verlängert wird, auch die Höhe y des Dreiecks größer, und im zweiten Beispiel, wenn der Abstand x des Fußes der Leiter von der Wand vergrößert wird, nimmt die von der Leiter erreichte Höhe y in entsprechender Weise ab, zunächst langsam, dann aber immer schneller, je größer x wird. In diesen Fällen ist die Beziehung zwischen x und y vollkommen eindeutig, sie kann mathematisch ausgedrückt werden, nämlich $\dfrac{y}{x} = \tan 30^{\circ}$ bzw. $x^2 + y^2 = l^2$ (wobei l die Länge der Leiter ist), und $\dfrac{dy}{dx}$ hat die Bedeutung, die wir in jedem Fall gefunden haben.

Wenn x wie bisher der Abstand des Leiterfußes von der Wand ist, y aber statt der erreichten Höhe die horizontale Länge der Wand oder die Anzahl der Steine in ihr oder die Anzahl der Jahre seit ihrem Bau ist, so würde jede Änderung von x natürlich keinerlei Änderung von y bewirken; in diesem Fall hat $\dfrac{dy}{dx}$ keinerlei Bedeutung, und es ist nicht möglich, einen Ausdruck dafür zu finden. Wann immer wir die Differentiale dx, dy, $dz$ usw. verwenden, wird die Existenz einer Art von Beziehung zwischen x, y, z usw, impliziert, und diese Beziehung nennt man eine "Funktion" in x, y, z, usw.; die beiden oben angegebenen Ausdrücke, nämlich $\dfrac{y}{x} = \tan 30^{\circ}$ und x² + y² = l², sind beispielsweise Funktionen von x und y. Solche Ausdrücke enthalten implizit (d. h. ohne es deutlich zu zeigen) die Möglichkeit, entweder x in Termen von y oder y in Termen von x auszudrücken, und werden deshalb implizite Funktionen in x und y genannt, sie können jeweils in die Formen gebracht werden

\begin{align*} y &= x \tan 30^\circ{} \quad\text{oder}\quad x = \frac{y}{\tan 30^\circ{}} \\ \text{und}\; y &= \sqrt{ l^2 - x^2} \quad\text{oder}\quad x = \sqrt{ l^2 - y^2}. \end{align*}

Diese letzten Ausdrücke geben explizit (also eindeutig) den Wert von x in Bezug auf y oder von y in Bezug auf x an und werden deshalb explizite Funktionen von x oder y genannt. Zum Beispiel ist x² + 3 = 2y - 7 eine implizite Funktion in x und y; sie kann geschrieben werden, als $y = \dfrac{x^2 + 10}{2}$ (explizite Funktion von x) oder $x = \sqrt{2y - 10}$ (explizite Funktion von y). Wir sehen, dass eine explizite Funktion von x, y, z usw. einfach etwas ist, dessen Wert sich ändert, wenn sich x, y, z usw. ändern, entweder einzeln oder mehrere zusammen. Deshalb nennt man den Wert der expliziten Funktion abhängige Variable, der vom Wert der anderen variablen Größen in der Funktion abhängt; diese anderen Variablen nennt man die unabhängigen Variablen, weil ihr Wert nicht von dem Wert bestimmt wird, den die Funktion annimmt. Ist beispielsweise $u = x^2 \sin \theta$, so sind x und $\theta$ die unabhängigen Variablen und u ist die abhängige Variable.

Manchmal ist die genaue Beziehung zwischen mehreren Größen x, y, z entweder nicht bekannt oder es ist nicht bequem, sie anzugeben; es ist dennoch möglich, anzugeben, dass es eine Art Beziehung zwischen diesen Variablen gibt, auch wenn man weder x noch y oder z einzeln ändern kann, ohne die anderen Größen zu beeinflussen; die Existenz einer Funktion in x, y, z wird dann durch die Notation F(x, y, z) (implizite Funktion) oder durch x = F(y, z), y = F(x, z ) oder z = F(x, y) (explizite Funktion) angegeben. Manchmal wird anstelle von F der Buchstabe f oder φ verwendet, so dass $y = F(x)$, $y = f(x)$ und $y = \phi(x)$ wobei alle Schreibweisen dasselbe bedeuten, nämlich dass der Wert von y in irgendeiner nicht angegebenen Weise vom Wert von x abhängt.

Das Verhältnis $\dfrac{dy}{dx}$ nennen wir den Differentialkoeffizienten von y bezüglich x. Das ist ein feierlicher wissenschaftlicher Name für diese sehr einfache Sache. Aber wir werden uns nicht von feierlichen Namen erschrecken lassen, wenn die Dinge selbst so einfach sind. Statt uns zu erschrecken, werden wir einfach einen kurzen Fluch über die Dummheit aussprechen, lange, knackige Namen zu vergeben; und, nachdem wir unser Gemüt erleichtert haben, werden wir zu dem einfachen Ding selbst übergehen, nämlich dem Verhältnis $\dfrac{dy}{dx}$.

In der gewöhnlichen Algebra, die Sie in der Schule gelernt haben, waren Sie immer auf der Jagd nach irgendeiner unbekannten Größe, die Sie x oder y nannten; oder manchmal waren es zwei unbekannte Größen, nach denen gleichzeitig gejagt wurde. Sie müssen nun lernen, auf eine neue Art und Weise zu jagen; der Fuchs ist nun weder x noch y. Stattdessen müssen Sie nach diesem merkwürdigen Objekt namens $\dfrac{dy}{dx}$ jagen. Der Vorgang, den Wert von $\dfrac{dy}{dx}$ zu finden, heißt Differenzieren. Aber denken Sie daran: Gesucht ist der Wert dieses Verhältnisses, wenn sowohl dy als auch dx selbst sind unendlich klein. Der wahre Wert des Differentialkoeffizienten ist derjenige, dem er sich im Grenzfall annähert, wenn jedes von ihnen als unendlich klein betrachtet wird.

Lernen wir nun, wie man auf die Suche nach $\dfrac{dy}{dx}$ geht.

Hinweise zu Kapitel III.

Wie man Differentiale liest.

Niemals wird man in den Schuljungenfehler verfallen, zu denken, dx bedeute d mal x, denn d ist kein Faktor, sondern bedeutet ein Element von oder ein Stück von, was immer folgt. Man liest dx also: "dee-iks."

Für den Fall, dass der Leser niemanden hat, der ihn in solchen Dingen anleitet, sei hier einfach gesagt, dass man Differentialkoeffizienten auf folgende Weise liest. Der Differentialkoeffizient

$\dfrac{dy}{dx}$

als dee-ypsilon durch dee-iks oder als dee-ypsilion über dee-iks gelesen. Und entsprechend wird

$\dfrac{du}{dt}$ als dee-uh durch dee-tee gelesen.

Sekundäre Differentialkoeffizienten werden wir später kennenlernen. Sie lauten so: $\dfrac{d^2 y}{dx^2};$ Das heißt "dee-zwei-ypsilion über dee-iks-quadrat" und bedeutet, dass die Operation des Differenzierens von y nach x zweimal durchgeführt wurde (oder werden muss).

Eine weitere Möglichkeit, anzuzeigen, dass eine Funktion differenziert wurde, besteht darin, einen Akzent auf das Symbol der Funktion zu setzen. Wenn also $y=F(x)$, bedeutet, dass y eine nicht spezifizierte Funktion von x ist (siehe hier), können wir F′(x) statt $\dfrac{d\bigl(F(x)\bigr)}{dx}$ schreiben. Analog dazu bedeutet F′′(x), dass die ursprüngliche Funktion F(x) zweimal nach x differenziert wurde.

Einfachste Fälle

Nun wollen wir sehen, wie wir nach ersten Prinzipien einige einfache algebraische Ausdrücke differenzieren können.

Fall 1

Lassen Sie uns mit dem einfachen Ausdruck y = x² beginnen. Erinnern wir uns daran, dass der fundamentale Begriff des Calculus die Idee des Wachsens ist. Mathematiker bezeichnen es als variieren. Da nun y und x² einander gleich sind, ist klar, dass, wenn x wächst, auch x² wächst. Und wenn x² wächst, dann wird auch y wachsen. Was wir herausfinden müssen, ist das Verhältnis zwischen dem Wachstum von y und dem Wachstum von x. Mit anderen Worten: Unsere Aufgabe ist es, das Verhältnis zwischen dy und dx herauszufinden, oder, kurz gesagt, den Wert von $\dfrac{dy}{dx}$ zu bestimmen.

Lassen Sie x also ein wenig größer werden und x + dx werden; ebenso wird y ein wenig größer werden und y + dy werden. Dann stimmt es natürlich immer noch, dass das vergrößerte y gleich dem Quadrat des vergrößerten x sein wird. Wenn wir das aufschreiben, haben wir:

\begin{align*} y + dy &= (x + dx)^2.\\ \text{Wenn wir den quadratischen }\\ \text{Ausdruck auflösen erhalten wir:}\;\\ y + dy &= x^2 + 2x \cdot dx+(dx)^2. \end{align*}

Was bedeutet (dx)²? Erinnern Sie sich, dass dx ein bisschen - ein kleines bisschen - von x bedeutet. Dann bedeutet (dx)² ein bisschen eines kleines Bisschen von x; das heißt, wie oben (hier) erklärt, ist es eine kleine Menge zweiter Ordnung der Kleinheit. Sie kann daher als ziemlich unbedeutend im Vergleich zu den anderen Termen verworfen werden. Lässt man ihn weg, so ergibt sich:

y + dy = x² + 2x · dx
Mit y = x²;Subtrahieren wir das von der Gleichung und haben das übrig
dy = 2x · dx
Dividieren durch dx, und wir haben
$\frac{dy}{dx} = 2x$.

Nun das* ist das, was wir zu finden versuchen. Das Verhältnis des Wachstums von y zum Wachstum von x beträgt im vorliegenden Fall 2x.

*Anmerkung: Dieses Verhältnis $\dfrac{dy}{dx}$ ist das Ergebnis der Differenzierung von y nach x. Differenzieren bedeutet, den Differentialkoeffizienten zu finden. Nehmen wir an, wir hätten eine andere Funktion von x, wie z. B. u = 7x² + 3. Wenn wir dann aufgefordert würden, diese nach x zu differenzieren, müssten wir $\dfrac{du}{dx}$ finden, oder, was dasselbe ist, $\dfrac{d(7x^2 + 3)}{dx}$. Andererseits können wir einen Fall haben, in dem die Zeit die unabhängige Variable ist (siehe hier), wie zum Beispiel: $y = b + \frac{1}{2} at^2$. Wenn wir diesen Ausdruck dann differenzieren sollen, bedeutet das, dass wir seinen Differentialkoeffizienten bezüglich t finden müssen. Unsere Aufgabe wäre es dann, $\dfrac{dy}{dt}$ zu finden, also $\dfrac{d(b + \frac{1}{2} at^2)}{dt}$.

Numerisches Beispiel.

Angenommen, x = 100 und daher ist y = 10000. Dann lasse man x wachsen, bis es 101 wird (d.h. dx = 1). Dann wird das vergrößerte y 101 × 101 = 10201 sein. Wenn wir uns aber darauf einigen, dass wir kleine Mengen zweiter Ordnung ignorieren dürfen, kann 1 gegenüber 10000 verworfen werden; wir können also das vergrößerte y auf 10200 abrunden. y ist von 10000 auf 10200 angewachsen; das hinzugefügte Teil ist dy, das also 2 beträgt.

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{200}{1} = 200$. Nach der Algebra-Arbeit des vorherigen Abschnitts finden wir $\dfrac{dy}{dx} = 2x$. Und so ist es, wenn wir für x = 100 setzen folgt daraus, das 2x = 200 ist.

Aber, werden Sie sagen, wir haben doch eine ganze Einheit vernachlässigt.

Nun, versuchen Sie es noch einmal, indem Sie dx noch ein bisschen kleiner machen. Anstelle davon, dass wir x um 1 Vergrößern, versuchen wir es diesmal mit $dx=\frac{1}{10}$. Dann ist x + dx = 100,1, und

(x + dx)² = 100,1 × 100,1 = 10020,01.

Nun ist die letzte Zahl 1 nur ein millionstel Teil der 10 000, und ist völlig vernachlässigbar; wir können also 10020 ohne das kleine Komma am Ende nehmen. Und das ergibt dy = 20 und $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{20}{0.1} = 200$, was immer noch das Gleiche ist wie 2x.

Fall 2

Versuchen Sie, y = x³ auf die gleiche Weise zu differenzieren.

Wir lassen y auf y + dy anwachsen, während x auf x + dx anwächst.

Dann haben wir

y + dy = (x + dx)³.

Denn kubischen Ausdruck auflösen und wir erhalten

y + dy = x³ + 3x² · dx + 3x(dx)²+(dx)³.

Nun wissen wir, dass wir kleine Mengen zweiter und dritter Ordnung vernachlässigen dürfen; denn wenn dy und dx beide sehr (sehr) klein gemacht werden, werden (dx)² und (dx)³ im Vergleich dazu unendlich klein. Betrachten wir sie also als vernachlässigbar, so bleibt übrig:

y + dy = x³ + 3x² · dx.

y = x³; und wenn wir das Subtrahieren erhalten wir:

dy = 3x² · dx,
und
$\frac{dy}{dx}$ = 3x².

Fall 3

Versuchen Sie, y = x⁴ zu differenzieren. Indem wir wie zuvor sowohl y als auch x ein wenig wachsen lassen, haben wir:

y + dy = (x + dx)⁴.

Wenn wir die Erhöhung zur vierten Potenz ausrechnen, erhalten wir

y + dy = x⁴ + 4x³ dx + 6x²(dx)² + 4x(dx)³+(dx)⁴.

Streichen wir dann die Terme, die alle höheren Potenzen von dx enthalten, da sie im Vergleich vernachlässigbar sind, so haben wir

y + dy = x⁴ + 4x³ dx.

Subtrahieren wir den ursprüngliche Ausdruck y = x⁴, so haben wir links

dy = 4x³ dx,
und $\frac{dy}{dx} = 4x^3$.

Nun sind alle diese Fälle recht einfach. Lassen Sie uns die Ergebnisse sammeln, um zu sehen, ob wir eine allgemeine Regel ableiten können. Legen Sie sie in zwei Spalten, die Werte von y in die eine und die entsprechenden für $\dfrac{dy}{dx}$ gefundenen Werte in die andere: also

y	$\frac{dy}{dx}$
x2	2x
x3	3x2
x4	4x3

Schauen Sie sich diese Ergebnisse an: Die Operation des Differenzierens scheint den Effekt zu haben, die Potenz von x, um 1 zu verkleinern (zum Beispiel im letzten Fall x⁴ auf x³ zu reduzieren) und gleichzeitig mit einer Zahl zu multiplizieren (und zwar mit derselben Zahl, die ursprünglich als Potenz erschien). Wenn Sie das einmal gesehen haben, können Sie leicht vermuten, wie die anderen Fälle ablaufen werden. Sie würden erwarten, dass das Differenzieren von x⁵ 5x⁴ ergibt, oder das Differenzieren von x⁶ 6x⁵. Wenn Sie zögern, probieren Sie eine davon aus und schauen Sie, ob die Vermutung richtig ist.

Versuchen Sie y = x⁵.

dann y + dy = (x + dx)⁵
= x⁵ + 5x⁴ dx + 10x³(dx)² + 10x²(dx)³ + 5x(dx)⁴ + (dx)⁵.

Vernachlässigen wir alle Terme, die kleine Mengen höherer Ordnungen enthalten, so bleiben

y + dy = x⁵ + 5x⁴ dx,
und subtrahieren y = x⁵ und erhalten
dy = 5x⁴ dx,
dann $\frac{dy}{dx} = 5x^4$, genau wie wir angenommen haben.

Wenn wir unsere Beobachtung logisch weiterverfolgen, sollten wir zu dem Schluss kommen, dass wir, wenn wir mit einer beliebigen höheren Potenz - nennen wir sie n - umgehen wollen, dies auf die gleiche Weise tun können.

Wenn y = xⁿ ist

Dann sollten wir erwarten, dass

$\frac{dy}{dx} = nx^{(n-1)}$.

Beispielsweise sei n = 8, dann sei y = x⁸; und das Differenzieren würde $\dfrac{dy}{dx} = 8x^7$ ergeben.

Und in der Tat gilt die Regel, dass das Differenzieren von xⁿ als Ergebnis nx^n-1 ergibt, für alle Fälle, in denen n eine ganze Zahl und positiv ist. Die Erweiterung von (x + dx)ⁿ durch den binomischen Satz zeigt dies sofort. Aber die Frage, ob diese Regel auch für Fälle gilt, in denen n negative oder gebrochene Werte hat, erfordert weitere Überlegungen.

Im Fall einer negativen Potenz.

Sei y = x^-2. Dann verfahren Sie wie zuvor:

y + dy = ( x + dx)^-2
$= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}$.

Erweitert man dies durch den binomischen Lehrsatz (siehe hier), so erhält man

\begin{align*} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1\times 2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \text{etc.}\right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx + 3x^{-4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \text{etc.} \\ \end{align*}

So haben wir unter Vernachlässigung der kleinen Mengen höherer Ordnungen:

y + dy = x^-2 - 2x^-3 · dx.

Subtrahieren wir den ursprünglichen Ausdruck y = x^-2, so finden wir

dy = -2x^-3dx,
$\frac{dy}{dx} = -2x^{-3}$.

Und das ist immer noch in Übereinstimmung mit der oben hergeleiteten Regel.

Im Fall einer gebrochenen Potenz.

Sei $y= x^{\frac{1}{2}}$. Dann, wieder wie zuvor,

y + dy = (x+dx)^½ = x^½ $(1 + \frac{dx}{x} )^{\frac{1}{2}}$
$= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} + $ Terme mit höheren Potenzen von dx.

Zieht man das ursprüngliche, $y = x^{\frac{1}{2}}$, ab und vernachlässigt die höheren Potenzen, so bleibt folgendes übrig:

\[ dy = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \cdot dx, \] und $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$.

Der allgemeinen Regel wird entsprochen.

Zusammenfassung. Schauen wir, wie weit wir gekommen sind. Wir sind zu folgender Regel gelangt: Um xⁿ zu differenzieren, multipliziere mit der Potenz und reduziere die Potenz um eins, so dass wir nx^n-1 als Ergebnis erhalten.

Übungen I

Differenzieren Sie die folgenden Ausdrücke:

(1) y = x¹³

(2) $y = x^{-\frac{3}{2}}$

(3) y = x^2a

(4) u = t^{2,4}

(5) $z = \sqrt[3]{u}$

(6) $y = \sqrt[3]{x^{-5}}$

(7) $u = \sqrt[5]{\dfrac{1}{x^8}}$

(8) y = 2x^a

(9) $y = \sqrt[q]{x^3}$

(10) $y = \sqrt[n]{\dfrac{1}{x^m}}$

Sie haben nun gelernt, wie man Potenzen von x differenziert. Das ist einfach!

Antworten

(1) $\dfrac{dy}{dx} = 13x^{12}$.

(2) $\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{3}{2} x^{-\frac{5}{2}}$.

(3) $\dfrac{dy}{dx} = 2ax^{(2a-1)}$.

(4) $\dfrac{du}{dt} = 2,4t^{1,4}$.

(5) $\dfrac{dz}{du} = \dfrac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}$.

(6) $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{5}{3}x^{-\frac{8}{3}}$.

(7) $\dfrac{du}{dx} = -\dfrac{8}{5}x^{-\frac{13}{5}}$.

(8) $\dfrac{dy}{dx} = 2ax^{a-1}$.

(9) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3}{q} x^{\frac{3-q}{q}}$.

(10) $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{m}{n} x^{-\frac{m+n}{n}}$.

Nächste Stufe. Was tun mit Konstanten

In unseren Gleichungen haben wir x als wachsend angesehen, und als Ergebnis der Veränderung von x haben wir auch gesehen, dass sich der Wert von y verändert und wächst. Bei x denken wir normalerweise an eine Menge, die wir variieren können; und, in Bezug auf die Variation von x können wir die Variation als eine Art Ursache und die daraus resultierende Variation von y als Effekt betrachten. Mit anderen Worten, wir betrachten den Wert von y als abhängig von dem Wert von x. Sowohl x als auch y sind Variablen, aber x ist diejenige, mit der wir arbeiten, und y ist die abhängige Variable. In allen vorhergehenden Kapiteln haben wir versucht, Regeln, die das Verhältnis der Variation zwischen der abhängigen Variable y und der unabhängigen Variable x beschreiben zu finden.

Unser nächster Schritt, besteht darin herauszufinden, welche Auswirkungen das Vorhandensein von Konstanten auf den Differenzierungsprozess hat. Dabei handelt es sich um Zahlen, die sich nicht ändern, wenn x oder y ihre Werte ändern.

Hinzugefügte Konstanten.

Beginnen wir mit dem einfachen Fall einer hinzugefügten Konstanten, also:

Sei y = x³ + 5.

Lassen Sie uns wie vorher auch annehmen, das x zu x + dx und y zu y + dy anwachsen werden.

Dann: y + dy = (x + dx)³ + 5
= x³ + 3x² dx + 3x(dx)² + (dx)sup>3 + 5.

Unter Vernachlässigung der Terme von höherer Ordnung wird dies zu

y + dy = x³ + 3x² · dx + 5.

Wenn wir das ursprüngliche y, d.h. y = x³ + 5 abziehen, bleibt das übrig:

dy = 3x² dx.
$\frac{dy}{dx} = 3x^2$.

Die Konstante, in diesem Fall die 5, ist verschwunden. Sie hat dem Wachstum von x nichts hinzugefügt und geht auch nicht in den Differentialkoeffizienten ein. Wenn wir 7, oder 700 oder eine andere Zahl anstelle von 5 gesetzt hätten, wäre auch diese verschwunden. Wenn wir also den Buchstaben a oder b oder c nehmen, um eine Konstante darzustellen, wird sie einfach verschwinden, wenn wir differenzieren.

Wenn die zusätzliche Konstante einen negativen Wert besitzt, so wie -5 oder -b, wird sie ebenfalls verschwinden. Unabhängig vom Vorzeichen verschwinden die Konstanten beim Differenzieren.

Multiplizierte Konstanten.

Nehmen Sie als einfaches Experiment diesen Fall:

Sei y = 7x².

Dann weiter wie bisher:

y + dy = 7(x+dx)²
= 7 (x² + 2x · dx + (dx)²)
= 7x² + 14x · dx + 7(dx)².

Subtrahieren Sie dann den ursprünglichen Term y = 7x², und vernachlässigen Sie den letzten Term, und wir erhalten

dy = 14x · dx.
$\frac{dy}{dx} = 14x$.

Lassen Sie uns dieses Beispiel dadurch veranschaulichen, dass wir die Graphen der Gleichungen y = 7x² und $\dfrac{dy}{dx} = 14x$ erstellen, indem wir x eine Reihe von aufeinanderfolgenden Werten zuweisen 0, 1, 2, 3, etc., und die entsprechenden Werte von y und von $\dfrac{dy}{dx}$ bestimmen.

Die so bestimmten Werte sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst:

x	0	1	2	3	4	5	-1	-2	-3
y	0	7	28	63	112	175	7	28	63
$\dfrac{dy}{dx}$	0	14	28	42	56	70	-14	-28	-42

Zeichnen Sie nun diese Werte, mit einer passenden Skala, und wir erhalten die beiden Kurven, Abbildung 6 und Abbildung 6a.

Vergleichen Sie die beiden Abbildungen sorgfältig und prüfen Sie durch Inaugenscheinnahme, ob die Höhe der Ordinate der abgeleiteten Kurve, Abb. 6a, proportional zur Steigung der ursprünglichen Kurve (siehe hier über die Steigung von Kurven.) Abbildung 6, bei dem entsprechenden Wert von x ist. Links vom Ursprung, wo die ursprüngliche Kurve negativ abfällt, sind die entsprechend den Ordinaten der abgeleiteten Kurve negativ.

Nun, wenn wir auf hier zurückblicken, werden wir sehen, dass differenzieren von x² uns 2x gibt. Sodass der Differentialkoeffizient von 7x² gerade 7 mal so groß ist wie der von x². Wenn wir 8x² genommen hätten, wäre der Differentialkoeffizient achtmal so groß gewesen wie der von x². Wenn wir y = ax² setzen, erhalten wir

\[ \frac{dy}{dx} = a \times 2x. \]

Wenn wir mit y = axⁿ begonnen hätten, hätten wir $\dfrac{dy}{dx} = a\times nx^{n-1}$ erhalten. Was nichts anderes bedeutet als, dass jede Multiplikation mit einer Konstanten, als bloße Multiplikation wieder auftaucht, wenn das Objekt differenziert wird. Und was für die Multiplikation wahr ist, gilt auch für die Division: Denn wenn wir im obigen Beispiel die Konstante $\frac{1}{7}$ anstelle von 7 genommen, hätten wir das gleiche $\frac{1}{7}$ im Ergebnis nach der Differenzierung erhalten.

Einige weitere Beispiel. Die folgenden Beispiele, die mit einer vollständigen Musterlösung abgearbeitet wurden, ermöglichen es ihnen, den Prozess der Differenzierung, wie er auf gewöhnliche algebraische Ausdrücke angewendet wird, vollständig zu beherrschen, und die am Ende dieses Kapitels angegebenen Beispiel selbst zu lösen.

(1) Differenzieren Sie $y = \dfrac{x^5}{7} - \dfrac{3}{5}$.

$\dfrac{3}{5}$ ist eine (zusätzliche) Konstante und verschwindet (siehe hier).

Wir können dann sofort schreiben

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{7} \times 5 \times x^{5-1}, \\ \text{bzw. }\; \frac{dy}{dx} = \frac{5}{7} x^4. \]

(2) Differenzieren Sie $y = a\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\sqrt{a}$.

Der Ausdruck (Term) $\dfrac{1}{2}\sqrt{a}$ verschwindet, da es eine Konstante ist; und wenn wir $a\sqrt{x}$ in der Potenzform als $ax^{\frac{1}{2}}$ schreiben, haben wir

\[ \frac{dy}{dx} = a \times \frac{1}{2} \times x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{a}{2} \times x^{-\frac{1}{2}}, \\ \text{bzw. }\; \frac{dy}{dx} = \frac{a}{2\sqrt{x}}. \]

(3) Bestimmen Sie für $ay + bx = by - ax + (x+y) \sqrt{a^2 - b^2}$, den Differentialkoeffizienten von y in Bezug auf x.

In der Regel braucht ein solcher Ausdruck etwas mehr Wissen, als wir bisher erworben haben; es lohnt sich, jedoch immer zu versuchen, ob der Ausdruck in eine einfachere Form gebracht werden kann.

Zuerst müssen wir versuchen, den Ausdruck in die Form y =   zu bringen, sodass alle x auf einer Seite sind.

Der Ausdruck lässt sich wie folgt schreiben

\[ (a-b)y + (a + b)x = (x+y) \sqrt{a^2 - b^2}. \]

Quadrieren und wir erhalten

(a - b)² y² + (a + b)² x² + 2(a + b)(a - b)xy = (x² + y² + 2xy)(a² - b²),

was sich vereinfachen lässt zu

(a-b)²y² + (a + b)² x² = x²(a² - b²) + y²(a² - b²);
beziehungsweise
[(a-b)² - (a² - b²)] y² = [(a² - b ²) - (a + b)²] x²,
und das ist 2b(b - a)y² = -2b(b + a)x²;

Daraus folgt

\[ y = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} x \quad\text{und}\quad \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}}. \]

(4) Das Volumen eines Zylinders vom Radius r und der Höhe h ist durch die Formel V = π r² h gegeben. Bestimmen Sie die Rate der Volumenänderung in Abhängigkeit vom Radius, wenn r = 5,5 cm und h = 20 cm beträgt. Bestimmen Sie, wenn r = h ist, die Dimension des Zylinders, so dass eine Änderung um 1 cm im Radius zu einer Veränderung von 400 cm³ im Volumen führt.

Die Rate der Veränderung von V bezüglich r ist

\[ \frac{dV}{dr} = 2 \pi r h. \]

Wenn r = 5,5 cm und h = 20 cm sind ergibt sich für die Volumenänderung 2 π r h ≈ 691,15 cm³. Das bedeutet, dass die Veränderung des Radius um 1 cm zu einer Veränderung des Volumens von 691,15 cm³ führt. Das kann einfach überprüft werden, für r = 5 und r = 6 sind die Volumen 1570,8 cm³ beziehungsweise 2261,95 cm³ und die Differenz zwischen beiden beträgt 2261,95 – 1570,8 = 691,15.

Also wenn, \[ r=h,\quad \dfrac{dV}{dr} = 2\pi r^2 = 400\quad \text{und}\quad r = h = \sqrt{\dfrac{400}{2\pi}} \approx 7,98 \text{cm}. \]

(5) Mit Hilfe eines Strahlungspyrometers lässt sich die Temperatur eines Körpers messen, ohne diesen Körper zu berühren. Dazu wird ein Wert $\theta$ abgelesen, wobei dieser Wert von der Temperatur t in Grad Celsius des Körpers abhängt.

\[ \dfrac{\theta}{\theta_1} = \left(\dfrac{t}{t_1}\right)^4, \]

wobei $\theta_1$ der abgelesene Wert für eine bekannte Temperatur $t_1$ des betrachteten Körpers ist.

Vergleichen Sie die Empfindlichkeit des Pyrometers bei den Temperaturen 800°C., 1000°C., 1200°C., unter der Annahme, dass bei einer bekannten Temperatur von 1000°C der Wert 25 abgelesen wurde.

Die Empfindlichkeit ist die Rate der Veränderung der abgelesenen Messwerte in Abhängigkeit von der Temperatur, also $\dfrac{d\theta}{dt}$. Die Formel kann so geschrieben werden

\[ \theta = \dfrac{\theta_1}{t_1^4} t^4 = \dfrac{25t^4}{1000^4}, \]

und wir haben

\[ \dfrac{d\theta}{dt} = \dfrac{100t^3}{1000^4} = \dfrac{t^3}{10 000 000 000}. \]

Für t = 800, 1000 und 1200, erhalten $\dfrac{d\theta}{dt} = 0,0512$; 0,1 beziehungsweise 0,1728.

Zwischen 800° und 1000° verdoppelt sich die Empfindlichkeit fast, und wird bei 1200° nochmal größer um ca. drei Viertel.

Übung II

Differenzieren Sie die folgenden Ausdrücke:

(1) y = ax³ + 6.

(2) $y = 13x^{\frac{3}{2}} - c$.

(3) $y = 12x^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}}$. (4) $y = c^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$.

(5) $u = \dfrac{az^n - 1}{c}$.

(6) y = 1,18t² + 22,4.

Stellen Sie sich einigen andere Beispiel zusammen und versuchen Sie, diese zu differenzieren.

(7) Wenn l_t und l₀ die Länge einer Stange aus Eisen, bei den Temperaturen t° C und 0° C sind, und es gilt, das l_t = l₀(1 + 0,000012t) ist. Bestimmen Sie die Längenänderung der Stange pro Grad Celsius.

(8) Es wurde festgestellt, dass die Leuchtleistung c einer Glühlampe sich durch c = aV^b beschreiben lässt. Wobei V die Spannung ist, und a und b Konstanten sind.

Ermitteln Sie, die Änderungsrate der Leuchtleistung in Abhängigkeit von der Spannung und berechnen Sie die Änderung der Leuchtleistung pro Volt für 80, 100 und 120 Volt bei einer Lampe für die a = 0,5 × 10^-10 und b = 6 gilt.

(9) Die Frequenz n der Vibration einer Saite (Schnur), die einen Durchmesser D, eine Länge L und ein spezifisches Gewicht σ besitzt, und die einer Kraft T gedehnt wird, ist gegeben durch

\[ n = \dfrac{1}{DL} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi\sigma}}. \]

Bestimmen Sie die Änderungsrate der Frequenz, wenn D, L, σ und T einzeln varriert werden.

(10) Der größte äußere Druck P, den ein Rohr tragen kann, ohne zu zerbrechen, ist gegeben durch

\[ P = \left(\dfrac{2E}{1-\sigma^2}\right) \dfrac{t^3}{D^3}, \]

wobei E und σ Konstanten sind, t die Dicke des Rohres und D sein Durchmesser ist. (Diese Formel setzt Voraus, dass $4t$ im Vergleich zu D klein ist.)

Vergleichen Sie die Rate, mit der sich P verändert, wenn es Einzel betrachtet zu kleinen Änderungen der Dicke und kleinen Änderungen des Durchmessers kommt.

(11) Bestimmen Sie die Veränderungsrate, mit der sich bei einer Änderung des Radius Folgendes ändert:

(a) - der Umfang eines Kreises in Abh. von r;

(b) - die Fläche eines Kreises in Abh. von r;

(c) - die seitliche Fläche eines Kegels mit einer schrägen Dimension von l;

(d) - das Volumen eines Kegels mit Radius r und Höhe h;

(e) - die Fläche einer Kugel mit Radius r;

(f) - das Volumen einer Kugel mit Radius r.

(12) Die Länge L eines Eisenstabs wird, bei einer Temperatur T mit L = l_t[1 + 0,000012(T-t)] angegeben, wobei l_t die Länge bei der Temperatur t ist, ermitteln Sie die Variationsrate des Durchmessers des Eisenreifens, der auf ein Rad aufgezogen (geschrumpft) wird, wenn die Temperatur T variiert wird.

 

Antworten

(1) $\dfrac{dy}{dx} = 3ax^2$.

(2) $\dfrac{dy}{dx} = 13 \times \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.

(3) $\dfrac{dy}{dx} = 6x^{-\frac{1}{2}}$.

(4) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2}c^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}}$.

(5) $\dfrac{du}{dz} = \dfrac{an}{c} z^{n-1}$.

(6) $\dfrac{dy}{dt} = 2,36t$.

(7) $\dfrac{dl_t}{dt} = 0,000012\times l_0$.

(8) $\dfrac{dC}{dV} = abV^{b-1}$, 0,98, 3,00 und 7,47 Leuchtkraft beziehungsweise Leuchtkraft pro Volt.

(9) \[ \dfrac{dn}{dD} = -\dfrac{1}{LD^2} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi \sigma}}, \dfrac{dn}{dL} = -\dfrac{1}{DL^2} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi \sigma}}, \\ \dfrac{dn}{d \sigma} = -\dfrac{1}{2DL} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi \sigma^3}}, \dfrac{dn}{dT} = \dfrac{1}{2DL} \sqrt{\dfrac{g}{\pi \sigma T}}. \]

(10) \[ \dfrac{\text{Die Veränderungsrate von P wenn t sich verändert}} {\text{Die Veränderungsrate von P, wenn D sich verändert}} = - \dfrac{D}{t} \]

(11) 2π, 2π r, π l, 2⁄3 π rh, 8π r, 4π r².

(12) $\dfrac{dD}{dT} = \dfrac{0,000012l_t}{\pi}$.

Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten

Wir haben gelernt, einfache algebraische Funktionen wie x² + c oder ax⁴ zu differenzieren, und wir müssen uns jetzt überlegen, wie wir die Summe von zwei oder mehr Funktionen angehen können.

Zum Beispiel, sei

y = (x^{2 + c) + (ax4 + b)}

wie wird $\dfrac{dy}{dx}$ für diesen Ausdruck aussehen? Und wie sollen wir diese neue Aufgabe lösen?

Die Antwort auf diese Frage ist ganz einfach: Differenzieren Sie die Elemente einfach nacheinander, also:

\[ \dfrac{dy}{dx} = 2x + 4ax^3. (Antwort) \]

Wenn Sie Zweifel haben, ob dies richtig ist, versuchen Sie einen allgemeineren Fall, indem Sie ihn nach den ersten Prinzipien bearbeiten. Und so funktioniert das:

Sei y = u + v, wobei u eine beliebige Funktion von x und v eine andere Funktion von x ist. Wenn x dann auf x + dx ansteigt, erhöht sich y auf y + dy; und es erhöhen sich ebenfalls u und v auf u + du beziehungsweise auf v + dv.

Und wir haben dann:

y + dy = u + du + v + dv.

Wenn wir die ursprüngliche Funktion y = u + v subtrahieren, erhalten wir

dy = du + dv,

und durch Dividieren durch dx, bekommen wir:

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx} + \dfrac{dv}{dx}.$

Dies rechtfertigt das Verfahren. Sie differenzieren jede Funktion separat und addieren die Ergebnisse. Wenn wir nun das des vorhergehenden Absatzes nehmen und die Werte der beiden Funktionen einsetzen, erhalten wir unter Verwendung der gezeigten Notation (Kapitel III),

\begin{alignat*}{2} \frac{dy}{dx} & = \frac{d(x^2+c)}{dx} &&+ \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\ & = 2x &&+ 4ax^3, \end{alignat*}

genau das gleiche wie zuvor.

Wenn es drei Funktionen von x gibt, welche wir u, v und w nennen, und y = u + v + w gilt, erhalten wir folgendes:

\begin{align*} y &= u+v+w; \\ \text{Dann }\; \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} + \frac{dw}{dx}. \end{align*}

Die Subtraktion folgt sofort; denn wenn die Funktion v ein negatives Vorzeichen gehabt hätte, wäre auch ihr Differentialkoeffizient negativ; sodass durch Differenzieren

\begin{align*} y &= u-v, \\ \text{ wir dies bekommen sollten }\; \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}. \end{align*}

Aber wenn wir es mit Produkten zu tun haben, ist die Sache nicht ganz so einfach.

Angenommen, wir wurden aufgefordert, den folgenden Ausdruck zu differenzieren.

y = (x² + c) × (ax⁴ + b),

Was sollen wir tun? Das Ergebnis wird sicherlich nicht 2x × 4ax³ sein; denn es ist leicht zu erkennen, dass weder c × ax⁴ noch x² × b in dieses Produkt berücksichtigt worden wären.

Nun gibt es zwei Möglichkeiten, wie wir an die Arbeit gehen können.

Erste Möglichkeit Multiplizieren Sie zuerst und nachdem Sie das gelöst haben, differenzieren Sie das Ergebnis.

Dementsprechend multiplizieren wir x² + c und ax⁴ + b.

Dies ergibt ax⁶ + acx⁴ + bx² + bc.

Jetzt differenzieren wir und erhalten:

\[ \dfrac{dy}{dx} = 6ax^5 + 4acx^3 + 2bx. \]

Zweite Möglichkeit Kehren Sie zu den Prinzipien zurück und betrachten Sie die Gleichung

y = u × v ;

in der u eine Funktion von x und v eine andere Funktion von x ist. Wenn dann x zu x + dx wird; und y bis y + dy; und u wird zu u + du und v wird zu v + dv, und wir haben:

y + dy = (u + du) × (v + dv)
= u · v + u · dv + v · du + du · dv.

Nun ist du · dv eine kleine Menge der zweiten Ordnung der Kleinheit, und kann daher im Limes verworfen werden, sodass

y + dy = u · v + u · dv + v · du.

Dann subtrahieren wir die ursprüngliche Funktion y = u · v, und erhalten

dy = u · dv + v · du;

Und dividieren durch dx, liefert folgendes Ergebnis: \[ \dfrac{dy}{dx} = u\, \dfrac{dv}{dx} + v\, \dfrac{du}{dx}. \]

Dies zeigt, dass unsere Anweisungen wie folgt lauten: Um das Produkt zweier Funktionen zu differenzieren, multiplizieren Sie jede Funktion mit dem Differentialkoeffizienten der anderen und addieren Sie die beiden Produkte.

Sie sollten beachten, dass dieser Prozess Folgendes umfasst: Behandeln Sie u als konstant, während Sie v differenzieren; behandeln Sie dann v als konstant, während Sie u differenzieren. Und der gesamte Differentialkoeffizient $ \dfrac{dy}{dx} $ ist die Summe von diesen zwei Schritten.

Nachdem wir diese Regel gefunden haben, wenden wir sie auf das obige Beispiel an.

Wir wollen das folgende Produkt differenzieren:

(x² + c) × (ax⁴ + b).

Sei (x² + c) = u; und (ax⁴ + b) = v.

Dann, nach der soeben festgelegten allgemeinen Regel, können wir schreiben: \begin{alignat*}{2} \dfrac{dy}{dx} &= (x^2 + c)\, \frac{d(ax^4 + b)}{dx} &&+ (ax^4 + b)\, \frac{d(x^2 + c)}{dx} \\ &= (x^2 + c)\, 4ax^3 &&+ (ax^4 + b)\, 2x \\ &= 4ax^5 + 4acx^3 &&+ 2ax^5 + 2bx, \\ \dfrac{dy}{dx} &= 6ax^5 + 4acx^3 &&+ 2bx, \end{alignat*} was genau das gleiche wie zuvor ist.

Zuletzt müssen wir Quotienten differenzieren.

Stellen Sie sich dieses Beispiel vor: $ y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a} $. In einem solchen Fall ist es sinnlos, vorher zu versuchen, die Division zu berechnen, da x² + a bx⁵ + c nicht teilt, und sie auch keinen gemeinsamen Faktor haben. Es bleibt also nichts anderes übrig, als zu den ersten Prinzipien zurückzukehren und eine Regel zu finden.

Also setzen wir ein

\[ y = \frac{u}{v}; \] wobei u und v zwei verschiedene Funktionen der unabhängigen Variable x sind. Dann, wenn x zu x + dx wird, wird y zu y + dy und ebenso wird aus u dann u + du und entsprechend wird v zu v + dv. Also dann

\[ y + dy = \dfrac{u + du}{v + dv}. \]

Führen Sie nun die Polynom Division (algebraische Division) durch, also:

\begin{align*} u + du & : v +dv = \frac{u}{v} + \frac{du}{v} - \frac{u \cdot dv}{v^{2}} \\ \end{align*} Mit Rest $- \frac{du \cdot dv}{v} + \frac{u \cdot dv \cdot dv}{v^{2}}$.

Da diese beiden Reste kleine Mengen zweiter Ordnung sind, können sie vernachlässigt werden, und die Division kann hier aufhören, da alle weiteren Reste noch kleinere Größen haben würden.

So erhalten wir:

\begin{align*} y + dy &= \dfrac{u}{v} + \dfrac{du}{v} - \dfrac{u \cdot dv}{v^2}; \\ \end{align*}

was so geschrieben werden kann

\begin{align*} &= \dfrac{u}{v} + \dfrac{v \cdot du - u \cdot dv}{v^2}. \\ \end{align*}

Nun substrahieren wir die ursprüngliche Funktion $y = \dfrac{u}{v}$, und erhalten:

\begin{align*} dy &= \dfrac{v \cdot du - u \cdot dv}{v^2}; \\ \text{und daraus }\; \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{v\, \dfrac{du}{dx} - u\, \dfrac{dv}{dx}}{v^2}. \end{align*}

Dies gibt uns Anweisungen, wie ein Quotient aus zwei Funktionen differenziert werden kann. Multiplizieren Sie die Divisorfunktion mit dem Differentialkoeffizienten der Dividendenfunktion. Dann multipliziere die Dividendenfunktion mit dem Differentialkoeffizienten der Divisorfunktion; und subtrahieren diesen von Ersterem. Dividieren Sie das Ergebnis der Subtraktion durch das Quadrat der Divisorfunktion.

Zurück zu unserem Beispiel $y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}$,

schreib bx⁵ + c = u;
und x² + a = v.

Dann

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}.\quad\text{(Ergebnis)} \end{align*}

Das Bearbeiten von Quotienten ist oft mühsam, aber es ist nicht schwierig.

Einige weitere vollständig ausgearbeitete Beispiel, werden im Folgenden angegeben.

(1) Differenziere $y = \dfrac{a}{b^2} x^3 - \dfrac{a^2}{b} x + \dfrac{a^2}{b^2}$.

Da $\dfrac{a^2}{b^2}$ eine Konstante ist, die verschwindet, haben wir

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{a}{b^2} \times 3 \times x^{3-1} - \frac{a^2}{b} \times 1 \times x^{1-1}. \]

Aber $x^{1-1} = x^0 = 1$; so erhalten wir: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3a}{b^2} x^2 - \frac{a^2}{b}. \]

(2) Differenziere $y = 2a\sqrt{bx^3} - \dfrac{3b \sqrt[3]{a}}{x} - 2\sqrt{ab}$.

Schreiben Sie x in Potenzform und wir erhalten

\[ y = 2a\sqrt{b} x^{\frac{3}{2}} - 3b \sqrt[3]{a} x^{-1} - 2\sqrt{ab}. \]

Jetzt

\[ \frac{dy}{dx} = 2a\sqrt{b} \times \tfrac{3}{2} \times x^{\frac{3}{2}-1} - 3b\sqrt[3]{a} \times (-1) \times x^{-1-1}; \\ \text{bzw., }\; \frac{dy}{dx} = 3a\sqrt{bx} + \frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}. \]

(3) Differenzieren Sie $z = 1,8 \sqrt[3]{\dfrac{1}{\theta^2}} - \dfrac{4,4}{\sqrt[5]{\theta}} - 27^{\circ}$.

Das kann auch so geschrieben werden: $z= 1,8\, \theta^{-\frac{2}{3}} - 4,4\, \theta^{-\frac{1}{5}} - 27^{\circ}$.

Die $27^{\circ}$ verschwinden, und wir erhalten

\[ \frac{dz}{d\theta} = 1,8 \times -\tfrac{2}{3} \times \theta^{-\frac{2}{3}-1} - 4,4 \times \left(-\tfrac{1}{5}\right)\theta^{-\frac{1}{5}-1} \] bzw., \[ \frac{dz}{d\theta} = -1,2\, \theta^{-\frac{5}{3}} + 0,88\, \theta^{-\frac{6}{5}} \] bzw., \[ \frac{dz}{d\theta} = \frac{0,88}{\sqrt[5]{\theta^6}} - \frac{1,2}{\sqrt[3]{\theta^5}}. \]

(4) Differenzieren Sie v = (3t² - 1,2 t + 1)³.

Später wird ein direkter Lösungsansatz für die Aufgabe gezeigt (siehe hier); aber wir können es jetzt trotzdem ohne Schwierigkeiten schaffen.

Auflösen des kubischen Ausdrucks und wir erhalten

v = 27t⁶ - 32,4t⁵ + 39,96t⁴ - 23,328t³ + 13,32t² - 3,6t + 1;

Daher

\[ \frac{dv}{dt} = 162t^5 - 162t^4 + 159,84t^3 - 69,984t^2 + 26,64t - 3,6. \]

(5) Differenzieren Sie $y = (2x - 3)(x + 1)^2$.

\begin{alignat*}{2} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx} &&+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right. &&+ \left.(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] \\ & &&+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr] &&= 2(x + 1)(3x - 2) \end{alignat*}

oder einfacher, erst ausmultiplizieren und dann differenzieren.

(6) Differenzieren Sie $y = 0,5 x^3(x-3)$.

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 0,5\left[x^3 \frac{d(x-3)}{dx} + (x-3) \frac{d(x^3)}{dx}\right] \\ &= 0,5\left[x^3 + (x-3) \times 3x^2\right] = 2x^3 - 4,5x^2. \end{align*}

Gleicher Hinweis wie im vorhergehenden Beispiel.

(7) Differenzieren Sie $w = \left(\theta + \dfrac{1}{\theta}\right) \left(\sqrt{\theta} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta}}\right)$.

Dies kann so geschrieben werden

\begin{gather*} w = (\theta + \theta^{-1})(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}). \\ \begin{aligned} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\ &= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}}) + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \\ &= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) + (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \\ &= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) + \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{aligned} \end{gather*}

Dies könnte wiederum auch einfacher gelöst werden, indem die beiden Faktoren zuerst multipliziert und anschließend differenziert werden. Dies ist jedoch nicht immer möglich, zum Beispiel hier, Beispiel 8, bei dem die Regel für das Differenzieren von einem Produkt angewendet werden muss.

(8) Differenzieren Sie $y =\dfrac{a}{1 + a\sqrt{x} + a^2x}$.

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x) \times 0 - a\dfrac{d(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)}{dx}} {(1 + a\sqrt{x} + a^2x)^2} \\ &= - \frac{a(\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} + a^2)} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2}. \end{align*}

(9) Differenzieren Sie $y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$.

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x^2 + 1)\, 2x - x^2 \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}. \]

(10) Differenzieren Sie $y = \dfrac{a + \sqrt{x}}{a - \sqrt{x}}$.

In Potenform dargestellt, $y = \dfrac{a + x^{\frac{1}{2}}}{a - x^{\frac{1}{2}}}$.

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(a - x^{\frac{1}{2}})( \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}) - (a + x^{\frac{1}{2}})(-\tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}})} {(a - x^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{ a - x^{\frac{1}{2}} + a + x^{\frac{1}{2}}} {2(a - x^{\frac{1}{2}})^2\, x^{\frac{1}{2}}}; \\ \text{daher}\; \frac{dy}{dx} = \frac{a}{(a - \sqrt{x})^2\, \sqrt{x}}. \]

(11) Differenzieren Sie

\begin{align*} \theta &= \frac{1 - a \sqrt[3]{t^2}}{1 + a \sqrt[2]{t^3}}. \\ \text{also}\; \theta &= \frac{1 - at^{\frac{2}{3}}}{1 + at^{\frac{3}{2}}}. \end{align*} \begin{align*} \frac{d\theta}{dt} &= \frac{(1 + at^{\frac{3}{2}}) (-\tfrac{2}{3} at^{-\frac{1}{3}}) - (1 - at^{\frac{2}{3}}) \times \tfrac{3}{2} at^{\frac{1}{2}}} {(1 + at^{\frac{3}{2}})^2} \\ &= \frac{5a^2 \sqrt[6]{t^7} - \dfrac{4a}{\sqrt[3]{t}} - 9a \sqrt[2]{t}} {6(1 + a \sqrt[2]{t^3})^2}. \end{align*}

(12) Ein Reservoir mit quadratischem Querschnitt hat Seiten, die in einem Winkel von 45° zur Vertikalen abfallen. Die Seiten des Bodens haben eine Länge von 2 m. Bestimmen Sie einen Ausdruck für die Menge, die ein- oder ausströmt, wenn die Wassertiefe um 1 m variiert. Berechnen Sie damit die Menge Wasser, die stündlich entnommen wird, wenn die sich die Tiefe in 24 Stunden von 14 m auf 10 m reduziert.

Das Volumen eines Pyramidenstumpfes der Höhe $ H $ und der Basen A und a beträgt $ V = \dfrac{H}{3} (A + a + \sqrt{Aa}) $. Es ist leicht zu erkennen, dass bei einer Neigung von 45°, wenn die Tiefe h beträgt, die Länge der Seite der quadratischen Oberfläche des Wassers 200 + 2h m beträgt, daher ist das Volumen des Wassers:

\[ \dfrac{h}{3} [200^2 + (200 + 2h)^2 + 200(200 + 2h)] = 40000h + 400h^2 + \dfrac{4h^3}{3}. \]

$\dfrac{dV}{dh} = 40000 + 800h + 4h^2 = {}$ entspricht der Veränderung des Volumens in Kubikmeter pro Meter Veränderung der Tiefe. Das mittlere Niveau von 14 zu 10 Meter ist 12 Meter, wenn h = 12, dann ist $\dfrac{dV}{dh} = 50176$ Kubikmeter.

Die Menge an Wasser pro Stunde korrespondiert mit der Veränderung der Tiefe um 4 Meter in 24 Stunden ${} = \dfrac{4 \times 50176}{24} = 8362 \frac{2}{3} \approx 8362,67$ Kubikmeter.

(13) Der absolute Druck von gesättigtem Dampf, in Atmosphären P, bei der Temperatur t° C. wird von Dulong, als $ P = \left(\dfrac{40 +t}{140} \right)^5$ angegeben, solange t über 80° liegt. Bestimmen Sie die Variationsrate des Drucks, mit der Temperatur, bei 100° C.

Erweitern Sie den Zähler mit Hilfe der binomischen Formeln (siehe hier).

\[ P = \frac{1}{140^5} (40^5 + 5 \times 40^4 t + 10 \times 40^3 t^2 + 10 \times 40^2 t^3 + 5 \times 40t^4 + t^5); \] \begin{align*} \text{daher }\; \dfrac{dP}{dt} = &\dfrac{1}{537,824 \times 10^5}\\ &(5 \times 40^4 + 20 \times 40^3 t + 30 \times 40^2 t^2 + 20 \times 40t^3 + 5t^4), \end{align*}

Wenn $t = 100$ ist ergibt sich aus dem Ausdruck, dass die Veränderung um 1 Grad Celsius zu einer Veränderung von $0,036$ Atmosphären führt.

Übungen III

(1) Differenzieren Sie

(a) $u = 1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3} + \dotsb$.

(b) $y = ax^2 + bx + c$. (c ) $y = (x + a)^2$.

(d) $y = (x + a)^3$.

(2) If $w = at - \frac{1}{2}bt^2$, find $\dfrac{dw}{dt}$.

(3) Bestimmen Sie den Differentialkoeffizienten von \[ y = (x + \sqrt{-1}) \times (x - \sqrt{-1}). \]

(4) Differenzieren Sie \[ y = (197x - 34x^2) \times (7 + 22x - 83x^3). \]

(5) Wenn $x = (y + 3) \times (y + 5)$ ist, bestimmen Sie $\dfrac{dx}{dy}$.

(6) Differenzieren Sie $y = 1,3709x \times (112,6 + 45,202x^2)$.

Bestimmen Sie die Differentialkoeffizienten von

(7) $y = \dfrac{2x + 3}{3x + 2}$.

(8) $y = \dfrac{1 + x + 2x^2 + 3x^3}{1 + x + 2x^2}$.

(9) $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$.

(10) $y = \dfrac{x^n + a}{x^{-n} + b}$.

(11) Die Temperatur t des Glühfadens einer elektrischen Glühlampe ist durch folgenden Zusammenhang

C = a + bt + ct²

mit dem durch die Lampe fließenden Strom verbunden.

Bestimmen Sie einen Ausdruck, der die Variation des Stroms entsprechend einer Temperaturänderung angibt.

(12) Die folgenden Formeln wurden vorgeschlagen, um die Beziehung zwischen dem elektrischen Widerstand $R$ eines Drahtes bei der Temperatur t° C und dem Widerstand $R_0$ desselben Drahtes bei $0^{\circ}$ Celsius, auszudrücken. Wobei a, b und c Konstanten sind.

R = R₀(1 + at + bt²).
R = R₀(1 + at + b√t).
R = R₀(1 + at + bt²)^-1.

Ermitteln Sie die Variationsrate des Widerstands in Bezug auf die Temperatur, wie sie von jeder dieser Formeln angegeben wird.

(13) Es wurde festgestellt, dass die elektromotorische Kraft E einer bestimmten Art von Standardzelle mit der Temperatur t variiert, dabei ergab sich die folgende Beziehung

E = 1.4340 [1 - 0,000814(t-15) + 0,000007(t-15)²] Volt.

Bestimmen Sie die Veränderung der elektromotorischen Kraft pro Grad, bei 15°, 20° und 25°.

(14) Die elektromotorische Kraft E, die notwendig ist, um einen Lichtbogen der Länge l mit einem Strom der Intensität i aufrechtzuerhalten, wurde von Frau Ayrton gefunden,

\[ E = a + bl + \frac{c + kl}{i}, \]

wobei a, b, c, k Konstanten sind.

Bestimmen Sie einen Ausdruck für die Variation der elektromotorischen Kraft
(a) in Bezug auf die Länge des Lichtbogens;
(b) in Bezug auf die Stärke des Stroms.

 

Antworten

(1) (a) $1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} + \ldots$

(b) 2ax + b.

(c ) 2x + 2a.

(d) 3x² + 6ax + 3a².

(2) $\dfrac{dw}{dt} = a - bt$.

(3) $\dfrac{dy}{dx} = 2x$.

(4) 14110x⁴ - 65404x³ - 2244x² + 8192x + 1379.

(5) $\dfrac{dx}{dy} = 2y + 8$.

(6) 185,9022654x² + 154,36334.

(7) $\dfrac{-5}{(3x + 2)^2}$.

(8) $\dfrac{6x^4 + 6x^3 + 9x^2}{(1 + x + 2x^2)^2}$.

(9) $\dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$.

(10) $\dfrac{anx^{-n-1} + bnx^{n-1} + 2nx^{-1}}{(x^{-n} + b)^2}$.

(11) b + 2ct.

(12) $R_0(a + 2bt)$,   $R_0 \left(a + \dfrac{b}{2\sqrt{t}}\right)$,   $-\dfrac{R_0(a + 2bt)}{(1 + at + bt^2)^2}$   bzw.   $\dfrac{R^2 (a + 2bt)}{R_0}$.

(13) 1,4340(0,000014t - 0,001024);   -0,00117;   -0,00107;   -0,00097.

(14) $\dfrac{dE}{dl} = b + \dfrac{k}{i}$,   $\dfrac{dE}{di} = -\dfrac{c + kl}{i^2}$.

Sukzessive Differenzierung

Lassen Sie uns versuchen, herauszufinden welchen Effekt die mehrmals angewendete Differenzierung einer Funktion (siehe hier) hat. Beginnen Sie mit einem konkreten Fall.

Sei y = x⁵.

Erste Differenzierung, 5x⁴.
Zweite Differenzierung, 5 × 4x³ = 20x³.
Dritte Differenzierung, 5 × 4 × 3x² = 60x².
Vierte Differenzierung, 5 × 4 × 3 × 2x = 120x.
Fünfte Differenzierung, 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Sechste Differenzierung, = 0.

Es gibt eine bestimmte Notation, mit der wir bereits vertraut sind (siehe hier), die von einigen Autoren verwendet wird, diese ist sehr praktisch. Das allgemeine Symbol f(x) wird für jede Funktion von x verwendet. Das Symbol f( ) wird hier als Funktion von gelesen, ohne zu sagen, welche bestimmte Funktion gemeint ist. Die Anweisung y = f(x) sagt uns also nur, dass y eine Funktion von x ist, es kann x² oder axⁿ oder cos x oder eine andere komplizierte Funktion von x sein.

Das entsprechende Symbol für den Differential Koeffizienten ist f′(x), was einfacher zu schreiben ist wie $\dfrac{dy}{dx}$. Dies wird als die abgeleitete Funktion von x beziehungsweise als die nach x abgeleitete Funktion bezeichnet.

Angenommen, wir differenzieren noch einmal, wir erhalten die zweite abgeleitete Funktion oder den zweiten Differentialkoeffizienten, der mit $f"(x)$ bezeichnet wird; und so weiter.

Lassen Sie uns nun verallgemeinern.

Sei y = f(x) = xⁿ.

Erste Ableitung, f′(x) = nx^n-1.
Zweite Ableitung, f″(x) = n(n-1)x^n-2.
Dritte Ableitung, f″′(x) = n(n-1)(n-2)x^n-3.
Vierte Ableitung, f″″(x) = n(n-1)(n-2)(n-3)x^n-4.
etc., etc.

Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, aufeinanderfolgende Differenzierungen anzuzeigen. Für,

\begin{align*} \text{wenn die ursprüngliche Funktion}\; y &= f(x); \\ \text{ist, ergibt einmal differenzieren}\; \frac{dy}{dx} &= f'(x); \\ \text{und zweimal differenzieren}\; \frac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx} &= f''(x); \end{align*}

und das ist deutlich angenehmer zu schreiben als $\dfrac{d^2y}{(dx)^2}$ oder $\dfrac{d^2y}{dx^2}$. Ebenso können wir das Ergebnis der dritten Ableitung so $\dfrac{d^3y}{dx^3} = f'''(x)$ schreiben.

Beispiele

Lassen Sie uns folgendes ausprobieren: $y = f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2$.

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= f'(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1, \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= f''(x) = 84x^2 + 21x - 1, \\ \frac{d^3y}{dx^3} &= f'''(x) = 168x + 21, \\ \frac{d^4y}{dx^4} &= f''''(x) = 168, \\ \frac{d^5y}{dx^5} &= f'''''(x) = 0. \end{align*}

In ähnlicher Weise, wenn $y = \phi(x) = 3x(x^2 - 4)$,

\begin{align*} \phi'(x) &= \frac{dy}{dx} = 3\bigl[x \times 2x + (x^2 - 4) \times 1\bigr] = 3(3x^2 - 4), \\ \phi''(x) &= \frac{d^2y}{dx^2} = 3 \times 6x = 18x, \\ \phi'''(x) &= \frac{d^3y}{dx^3} = 18, \\ \phi''''(x) &= \frac{d^4y}{dx^4} = 0. \end{align*}

Übungen IV

Bestimmen Sie $\dfrac{dy}{dx}$ und $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ für die folgenden Ausdrücke:

(1) y = 17x + 12x².

(2) $y = \dfrac{x^2 + a}{x + a}$.

(3) $y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3} + \dfrac{x^4}{1\times 2 \times 3 \times 4}$.

(4) Bestimmen Sie die zweite und dritte Ableitung für die Funktionen der Übung III. (hier), Nr. 1 bis Nr. 7, und für die in den Beispielen angebenden Ausdrücke (hier), Nr. 1 bis Nr. 7.

Antworten

(1) 17 + 24x;   24.

(2) $\dfrac{x^2 + 2ax - a}{(x + a)^2}$;   $\dfrac{2a(a + 1)}{(x + a)^3}$.

(3) $1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3}$;   $1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2}$.

Übungen III

(4) (Übungen III. ):

(1) (a ) $\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d^3 y}{dx^3} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \ldots$.

(b ) 2a, 0.

(c ) 2, 0.

(d ) 6x + 6a, 6.

(2) -b, 0.

(3) 2, 0.

(4) 56440x³ - 196212x² - 4488x + 8192.
169320x² - 392424x - 4488.

(5) 2, 0.

(6)

371,80453x; 371,80453.

(7) $\dfrac{30}{(3x + 2)^3}$ ,  $-\dfrac{270}{(3x + 2)^4}$.

Beispiel:

(1) $\dfrac{6a}{b^2} x$,   $\dfrac{6a}{b^2}$.

(2) $\dfrac{3a \sqrt{b}} {2 \sqrt{x}} - \dfrac{6b \sqrt[3]{a}}{x^3}$,   $\dfrac{18b \sqrt[3]{a}}{x^4} - \dfrac{3a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^3}}$.

(3) $\dfrac{2}{\sqrt[3]{\theta^8}} - \dfrac{1.056}{\sqrt[5]{\theta^{11}}}$,   $\dfrac{2.3232}{\sqrt[5]{\theta^{16}}} - \dfrac{16}{3 \sqrt[3]{\theta^{11}}}$.

(4) 810t⁴ - 648t³ + 479,52t² - 139,968t + 26,64.
3240t³ - 1944t² + 959,04t - 139,968.

(5) 12x + 2; 12.

(6) 6x² - 9x,   12x - 9.

(7) $\begin{aligned}[t] &\dfrac{3}{4} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) +\dfrac{1}{4} \left(\dfrac{15}{\sqrt{\theta^7}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \\ &\dfrac{3}{8} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right) -\dfrac{15}{8}\left(\dfrac{7}{\sqrt{\theta^9}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^7}}\right). \end{aligned}$

Wenn die Zeit variiert / Wenn die Zeit sich verändert

Einige der wichtigsten Probleme des Calculus sind diejenigen, bei denen die Zeit die unabhängige Variable ist, und wir uns über die Werte einer anderen Größe, die variiert, wenn die Zeit variiert, Gedanken machen müssen. Manche Dinge werden mit der Zeit größer; andere Dinge werden kleiner. Die Entfernung, die ein Zug von seinem Startpunkt hat, nimmt mit der Zeit immer weiter zu. Bäume werden im Laufe der Jahre größer. Welches wächst mit der größeren Rate; eine Pflanze die 12 cm hoch ist und die in einem Monat auf 14 cm hochwächst, oder ein Baum der 12 m hoch ist, und der in einem Jahr 14 m hoch seien wird?

In diesem Kapitel werden wir viel Gebrauch von dem Wort Rate machen. Das hat nichts zu tun mit Armen Rate (außer dass auch hier das Wort einen Anteil - ein Verhältnis - beschreibt). Es hat auch nichts mit Geburtenrate oder Sterblichkeitsrate zu tun, obwohl diese Worte so viele Geburten oder Todesfälle pro tausend Einwohner vermuten lassen. Wenn ein Auto an uns vorbeifliegt, sagen wir: Was für eine Geschwindigkeit! Wenn ein Verschwender sein Geld verschleudert, bemerken wir, dass dieser junge Mann mit einer erstaunlichen Geschwindigkeit lebt.

Was meinen wir mit Rate? In beiden Fällen machen wir einen gedanklichen Vergleich von etwas, das passiert, und der Länge der Zeit, die es braucht, um zu geschehen. Wenn das Auto mit einer Geschwindigkeit von 10 Meter pro Sekunde an uns vorbeirauscht, können wir mit ein bisschen Nachdenken herausfinden, dass dies - solange es dauert - einer Rate von 600 Meter pro Minute oder über 36 Kilometer pro Stunde entspricht.

Inwiefern entspricht eine Geschwindigkeit von 10 Meter pro Sekunde 600 Meter pro Minute? Weder sind 10 Meter dasselbe wie 600 Meter, noch ist eine Sekunde das Gleiche wie eine Minute. Was wir damit meinen ist, dass die Rate die gleiche ist, den es gilt folgendes: Das Verhältnis zwischen der zurückgelegten Strecke und der Zeit, die benötigt wird, um sie zu überwinden, ist in beiden Fällen gleich.

Nehmen wir ein anderes Beispiel. Ein Mann hat möglicherweise nur ein paar Euro in seinem Besitz und kann dennoch Geld in Millionenhöhe pro Jahr ausgeben - vorausgesetzt, er gibt nur einige Minuten lang Geld in dieser Höhe aus. Dazu stellen wir uns folgende Situation vor, Sie gehen einkaufen, um die Waren zu bezahlen, reichen Sie einen 1 Euro Münze über den Ladentisch und wir nehmen an, dieser Vorgang dauert genau eine Sekunde. Während dieses kurzen Vorgangs trennen Sie sich dann, mit einer Rate von 1 Euro pro Sekunde von Ihrem Geld, was der gleichen Rate wie 60 Euro pro Minute oder 3600 Euro pro Stunde oder 86400 Euro pro Tag entspricht oder 3153600 pro Jahr! Wenn Sie 200 Euro in der Tasche haben, können Sie weiterhin Geld in Millionenhöhe pro Jahr ausgeben, aber nur für $3\frac{1}{3}$ Minuten.

Es wird gesagt, dass der Schotte Sandy nicht länger als fünf Minuten in London war, als Bang went saxpence -- Und auf einmal waren 6 Pence weg, eine Redewendung die für die Beschreibung von hohen Preisen genutzt wird.

Hinweis: Damals entsprachen 12 Pence einem Shilling und 20 Shilling entsprachen einem Pfund. Das bedeutet, 1 Pfund waren 20 Shilling beziehungsweise 240 Pence. Heutzutage entspricht 1 Pfund 100 Pence.

Wenn er den ganzen Tag Geld in dieser Höhe ausgeben würde, beispielsweise für 12 Stunden, wie viel würde er in einer Woche, ohne den Sonntag mitgezählt, ausgeben?

Er hat also in 5 Minuten 6 Pence ausgeben, was bedeutet das er 72 Pence beziehungsweise 6 Shilling in der Stunde ausgibt. Und damit 72 Shilling beziehungsweise 3£ 12 s. pro Tag und $21$£ 12 s. in einer Woche

Versuchen Sie nun, einige dieser Ideen in Differentialschreibweise zu setzen.

Sei y in diesem Fall das Geld und t steht für die Zeit.

Wenn Sie Geld ausgeben und der Betrag, den Sie in kurzer Zeit ausgeben, dy genannt wird, beträgt die Rate der Ausgaben $ \dfrac{dy}{dt}$ oder besser gesagt sollte es mit einem Minuszeichen als $ - \dfrac{dy}{dt}$ geschrieben werden, da dy ein Dekrement und kein Inkrement ist. Aber Geld ist kein gutes Beispiel für den Calculus, da es im Allgemeinen sprunghaft kommt und geht. Sie verdienen vielleicht 2 £ im Jahr, aber das Geld erhalten Sie nicht in der Form eines kontinuierlichen Zuflusses über den ganzen Tag verteilt, sondern Sie erhalten es wöchentlich oder monatlich oder vierteljährlich in einem Batzen; ebenso fallen Ihre Ausgaben nicht in der Form eines kontinuierlichen Abflusses an Geld an, sondern in Form von geballten plötzlichen Zahlungen.

Eine passendere Darstellung für Idee der Rate liefert die Geschwindigkeit eines sich bewegenden Körpers. Von London (Euston Station) nach Liverpool sind es knapp 280 Kilometer. Wenn ein Zug London um 7 Uhr verlässt und Liverpool um kurz nach 9 Uhr erreicht, wissen Sie, dass seine Durchschnittsgeschwindigkeit etwa 140 Kilometer pro Stunde betragen muss, da er in 2 Stunden 280 Kilometer zurückgelegt hat. Und $\frac{280}{2} = \frac{140}{1} $. Hier machen Sie einen gedanklichen Vergleich zwischen der zurückgelegten Strecke und der Zeit, die benötigt wird, um diese zu überwinden. Sie teilen diese Werte durch einander. Wenn y die gesamte Entfernung und t die gesamte Zeit ist, beträgt die durchschnittliche Rate $ \dfrac{y}{t} $. Dabei war die Geschwindigkeit nicht konstant: Beim Start und beim Abbremsen am Ende der Fahrt war die Geschwindigkeit geringer. Wahrscheinlich lag die Geschwindigkeit beim Bergabfahren irgendwann über 160 Kilometer pro Stunde. Wenn während eines bestimmten Zeitelements dt das entsprechende Element der zurückgelegten Entfernung dy war, dann war an diesem Teil der Reise die Geschwindigkeit $ \dfrac{dy}{dt} $. Die Rate, mit der sich eine Größe (im vorliegenden Fall Entfernung) im Verhältnis zur anderen Menge ändert (in diesem Fall Zeit) wird dann, indem der Differentialkoeffizient von einem in Bezug auf den anderen angegeben wird richtig ausgedrückt. Eine wissenschaftlich ausgedrückte Geschwindigkeit ist die Rate, mit der eine sehr kleine Entfernung in einer bestimmten Richtung zurückgelegt wird. Und kann daher geschrieben werden als

\[ v = \dfrac{dy}{dt}. \]

Wenn die Geschwindigkeit v jedoch nicht gleichmäßig ist, muss sie entweder zunehmen oder abnehmen. Die Rate, mit der eine Geschwindigkeit zunimmt, wird als Beschleunigung bezeichnet. Wenn ein sich bewegender Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt eine zusätzliche Geschwindigkeit $ dv $ in einem Zeitelement dt erhält, kann die Beschleunigung a zu diesem Zeitpunkt so geschrieben werden

\[ a = \dfrac{dv}{dt}; \]

aber $dv$ ist selbst $d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)$. Daher können wir es so schreiben

\[ a = \frac{d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)}{dt}; \]

und dies wird normalerweise, als $ a = \dfrac{d^2y}{dt^2}$ geschrieben; anders ausgedrückt die Beschleunigung ist der zweite Differenzkoeffizient der Entfernung in Bezug auf die Zeit. Die Beschleunigung wird als Änderung der Geschwindigkeit in Zeiteinheiten ausgedrückt, beispielsweise als so viele Meter pro Sekunde pro Sekunde; die verwendete Notation ist Meter ÷ Sekunde².

Wenn sich ein Eisenbahnzug gerade in Bewegung gesetzt hat, ist seine Geschwindigkeit v gering. Aber er gewinnt schnell an Geschwindigkeit - er wird durch die Anstrengung des Motors beschleunigt. Sein $\dfrac{d^2y}{dt^2} $ ist also groß. Wenn er seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat, wird er nicht mehr beschleunigt, so dass $ \dfrac{d^2y}{dt^2} $ auf null gefallen ist. Aber wenn er sich seinem Haltepunkt nähert, beginnt sich seine Geschwindigkeit zu verlangsamen; wenn die Bremsen angezogen werden, reduziert sich die Geschwindigkeit des Zuges merklich und während dieser Zeit der Verzögerung oder des Abnehmens des Tempos ist der Wert von $ \dfrac{dv}{dt} $, d. h. von $\dfrac{d^2y}{dt^2} $ negativ.

Um eine Masse m zu beschleunigen, muss eine kontinuierliche Kraft angewendet werden. Die zum Beschleunigen einer Masse erforderliche Kraft ist proportional zur Masse und auch proportional zur Beschleunigung, die übertragen wird. Daher können wir für die Kraft f den Ausdruck

\begin{align*} f &= ma;\\ \text{bzw. }\;\; f &= m \frac{dv}{dt}; \\ \text{bzw. }\;\; f &= m \frac{d^2y}{dt^2} \end{align*}

schreiben.

Das Produkt einer Masse mit der Geschwindigkeit, mit der sie sich bewegt, wird als Impuls bezeichnet und wird in Symbolschreibweise als $ mv $(Masse $\cdot $ Geschwindigkeit) geschrieben. Wenn wir den Impuls in Bezug auf die Zeit differenzieren, erhalten wir $ \dfrac{d(mv)}{dt} $ für die Änderungsrate des Impulses. Da m jedoch eine konstante Größe ist, kann dies $ m \dfrac{dv}{dt}$ geschrieben werden, und wie wir oben sehen, ist das dasselbe wie f. Das heißt, Kraft kann entweder als Masse mal Beschleunigung oder als Änderungsrate des Impulses ausgedrückt werden.

Wenn eine Kraft angewendet wird, um etwas zu bewegen (gegen eine gleiche und entgegengesetzte Gegenkraft), verrichtet sie Arbeit. Und die Menge der geleisteten Arbeit wird durch das Produkt der Kraft in die Entfernung (in ihrer eigenen Richtung) gemessen, durch die sich ihr Angriffspunkt vorwärts bewegt. Wenn sich also eine Kraft f um eine Länge y vorwärts bewegt, ist die geleistete Arbeit (die wir w nennen können)

w = f × y

wobei wir f als konstante Kraft annehmen. Wenn die Kraft an verschiedenen Stellen des Bereichs y variiert, müssen wir von Punkt zu Punkt einen Ausdruck für ihren Wert finden. Wenn f die Kraft entlang des kleinen Elements der Länge dy ist, beträgt der Arbeitsaufwand f × dy. Da dy nur ein Element der Länge ist, wird nur ein Element der Arbeit erledigt. Wenn wir w für die Arbeit schreiben, ist ein Element der Arbeit dw; und wir haben

dw = f × dy

was so geschrieben werden kann

\begin{align*} dw &= ma \cdot dy; \\ \text{ bzw. }\; dw &= m \frac{d^2y}{dt^2} \cdot dy; \\ \text{ bzw. }\; dw &= m \frac{dv}{dt} \cdot dy. \\ \end{align*}

Weiter können wir den Ausdruck umformen und schreiben

\begin{align*} \frac{dw}{dy} &= f. \end{align*}

Dies gibt uns eine dritte Definition von Kraft ; dass, wenn sie verwendet wird, um eine Verschiebung in eine beliebige Richtung zu erzeugen, die Kraft (in dieser Richtung) gleich der Rate ist, mit der pro Längeneinheit in dieser Richtung gearbeitet wird. In diesem letzten Satz wird das Wort Rate eindeutig nicht in seinem Zeitsinn verwendet, sondern in seiner Bedeutung als Verhältnis oder Anteil.

Sir Isaac Newton, der zusammen mit Leibniz als Erfinder der Methoden des Calculus gilt, betrachtete alle Größen, die variierten, als fließend und das Verhältnis, das wir heutzutage den Differentialkoeffizienten nennen, betrachtete er als Fließgeschwindigkeit oder Fluxion der fraglichen Menge. Er benutzte nicht die Notation von dy und dx und dt diese Notation ist Leibnitz zu verdanken, sondern hatte stattdessen eine eigene Notation. Wenn y eine Größe war, die variierte oder "floss", dann war sein Symbol für seine Variationsrate (oder "Fluxion") ẏ. Wenn x die Variable war, wurde ihr Fluss ẋ genannt. Der Punkt über dem Buchstaben zeigte an, dass er differenziert worden war. Diese Notation sagt uns jedoch nicht, was die unabhängige Variable ist, in Bezug auf die die Differenzierung vorgenommen wurde. Wenn wir $ \dfrac{dy}{dt} $ sehen, wissen wir, dass y in Bezug auf t zu differenzieren ist. Wenn wir $ \dfrac{dy}{dx} $ sehen, wissen wir, dass y in Bezug auf x zu differenzieren ist. Wenn wir jedoch nur ẏ sehen, können wir nicht sagen, ohne den Kontext zu betrachten, ob dies $ \dfrac{dy}{dx} $ oder $ \dfrac{dy}{dt} $ oder $\dfrac{dy}{dz} $ oder eine ganz andere Variable bedeuten soll. Daher ist diese Flussnotation weniger informativ als die Differentialnotation und wird infolgedessen kaum noch verwendet. Aber seine Einfachheit hat einen Vorteil, wenn wir uns darauf einigen, ihn ausschließlich für die Fälle zu verwenden, in denen Zeit die unabhängige Variable ist. In diesem Fall bedeutet ẏ $ \dfrac{dy}{dt} $ und $ \dot{u} $ bedeutet $ \dfrac{du}{dt} $; und $ \ddot{x} $ bedeutet $ \dfrac{d^2x}{dt^2} $.

Wenn wir diese Flussnotation anwenden, können wir die in den obigen Absätzen gezeigten Gleichungen wie folgt schreiben:

Distanz	x
Geschwindigkeit	$v = \dot{x}$
Beschleunigung	$a = \dot{v} = \ddot{x}$
Kraft	$f = m\dot{v} = m\ddot{x}$
Arbeit	$w = x \times m \ddot{x}$

Beispiel

(1) Ein Körper bewegt sich so, dass die Entfernung x (in Meter), die er von einem bestimmten Punkt O zurücklegt, durch die Beziehung $ x = 0,2t^{2} + 10,4 $ gegeben ist, wobei t ist die Zeit in Sekunden, die seit einem bestimmten Moment vergangen ist. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit und Beschleunigung $ 5 $ Sekunden, nachdem sich der Körper zu bewegen begann, und bestimmen Sie die entsprechenden Werte, wenn die zurückgelegte Strecke 100 Meter beträgt. Bestimmen Sie auch die Durchschnittsgeschwindigkeit während der ersten 10 Sekunden seiner Bewegung. Angenommen, Entfernungen und Bewegungen nach rechts sind positiv.

Also

\[ x = 0,2t^2 + 10,4 \\ v = \dot{x} = \frac{dx}{dt} = 0,4t;\quad\text{und}\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{konstant.} \]

Wenn t = 0, ist x = 10,4 und v = 0. Der Körper startete von einem Punkt 10,4 Meter rechts vom Punkt O; und die Zeit wurde von dem Moment an gerechnet, an dem der Körper anfing, sich zu bewegen.

Wenn t = 5, v = 0,4 × 5 = 2 m ⁄ s; a = 0,4 m ⁄ sec².

Wenn x = 100, 100 = 0,2t² + 10,4, bzw. t² = 448, und t = 21,17 s; v = 0,4 × 21,17 = 8,47 m ⁄ s

Wenn t = 10,

Zurückgelegte Distanz = 0,2 × 10² + 10,4 - 10,4 = 20 m
Durchschnittliche Geschwindigkeit = 20 ⁄ 10 = 2 m ⁄ s

Es ist die gleiche Geschwindigkeit wie die Geschwindigkeit in der Mitte des Intervalls, t = 5 ; da die Beschleunigung konstant ist, hat sich die Geschwindigkeit gleichmäßig von null kommend geändert, von t = 0 bis 4 m ⁄ s wenn t = 10 ist.

(2) Nehmen wir im obigen Problem an das

\begin{gather*} x = 0,2t^2 + 3t + 10,4 \text{ gilt.}\\ v = \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} = 0,4t + 3;\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0,4 = \text{Konstant} \end{gather*}

Wenn t = 0, x = 10,4 und v = 3 m ⁄ s ist, wird die Zeit ab dem Zeitpunkt berechnet, an dem der Körper einen Punkt 10,4 Meter vom Punkt O, passiert hat, dann ist seine Geschwindigkeit schon 3 m ⁄ s. Um die Zeit zu ermitteln, die seit dem Beginn der Bewegung vergangen ist, setzen Sie v = 0; dann ist 0,4t + 3 = 0 , $ t = - \frac{3}{0,4} = -7,5 $ Sekunden. Der Körper begann sich, 7,5 Sekunden bevor begonnen wurde die Zeit zu beobachten, zu bewegen. 5 Sekunden danach ergibt t = -2,5 und v = 0,4 × (-2,5) + 3 = 2 m ⁄ s.

Wenn x = 100 m,

100 = 0,2t² + 3t + 10,4; bzw. t² + 15t - 448 = 0;

Dann t = 14,96 s, v = 0,4 × 14,95 + 3 = 8,98 m ⁄ s.

Um die zurückgelegte Strecke während der ersten 10 Sekunden der Bewegung zu ermitteln, muss man wissen, wie weit der Körper vom Punkt O entfernt war, als er die Bewegung begann.

Wenn t = -7,5,

x = 0,2 × (-7,5)² - 3 × 7,5 + 10.4 = -0,85 m.

Das ist 0,85 m links vom Punkt $O$.

Zum Zeitpunkt t = 2,5 gilt dann,

x = 0,2 × 2,5² + 3 × 2,5 + 10,4 = 19,15.

Innerhalb von 10 Sekunden wurde, eine Distanz von 19,15 + 0,85 = 20 m zurückgeleget, und

die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt = 20 ⁄ 10 = 2 m ⁄ s.

(3) Betrachten Sie ein ähnliches Problem, wenn die Distanz durch x = 0,2 t² - 3 t + 10,4 gegeben ist. Dann ist v = 0,4t - 3, a = 0,4 = Konstante. Wenn t = 0, x = 10,4 wie zuvor und v = -3 gilt; so dass sich der Körper in die entgegengesetzte Richtung bewegte, in Bezug auf die vorhergehenden Fällen. Da die Beschleunigung jedoch positiv ist, sehen wir, dass diese Geschwindigkeit im Laufe der Zeit abnimmt, bis sie null wird, wenn v = 0 oder 0,4t - 3 = 0; beziehungsweise bei t = 7,5 Sekunden. Danach wird die Geschwindigkeit positiv; und 5 Sekunden nach dem Start des Körpers, zum Zeitpunkt t = 12,5 ist

v = 0,4 × 12,5 - 3 = 2 m ⁄ s.

Wenn x = 100,

100 = 0,2t² - 3t + 10,4, bzw. t² - 15t - 448 = 0,
und t = 29,95; v = 0,4 × 29,95 - 3 = 8,98 m ⁄ s

Wenn v null ist, x = 0,2 × 7,5² - 3 × 7,5 + 10,4 = -0,85, zeigt uns das, dass der Körper sich um 0,85 m über den Punkt $O$ hinaus zurückbewegt hat, bevor er stoppt. Zehn Sekunden später

t = 17,5 und x = 0,2 × 17,5² - 3 × 17,5 + 10,4 = 19,15.

Zurückgelegte Distanz = 0,85 + 19,15 = 20,0, und die durchschnittliche Geschwindigkeit ist wieder 2 m ⁄s.

(4) Betrachte Sie noch ein anderes Problem von dieser Art, mit x = 0,2t³ - 3t² + 10,4; v = 0,6t² - 6t; a = 1,2t - 6. Die Beschleunigung ist nicht konstant.

Wenn t = 0, x = 10,4, v = 0, a = -6 gilt, befindet sich der Körper zwar im Ruhezustand, aber ist bereit sich mit einer negativen Beschleunigung zu bewegen, d.h. Geschwindigkeit in Richtung des Punktes $O$ zu gewinnen / aufzubauen.

(5) Wenn wir x = 0,2t³ - 3t + 10,4 haben, dann ist v = 0,6t² - 3, und a = 1,2t.

Wenn t = 0 ist, dann folgt daraus x = 10,4; v = -3; a = 0.

Der Körper bewegt sich auf den Punkt $O$ mit einer Geschwindigkeit von 3 m ⁄ s zu, und gerade in diesem Moment ist die Geschwindigkeit gleichmäßig.

Wir sehen, dass die Bewegungsbedingungen immer sofort aus der Zeit-Distanz-Gleichung und ihren ersten und zweiten abgeleiteten Funktionen ermittelt werden können. In den letzten beiden Fällen ist die mittlere Geschwindigkeit während der ersten 10 Sekunden und die Geschwindigkeit 5 Sekunden nach dem Start nicht mehr dieselbe, da die Geschwindigkeit nicht gleichmäßig ansteigt und die Beschleunigung nicht mehr konstant ist.

(6) Der Winkel θ (im Bogenmaß), um den sich ein Rad dreht, ist gegeben durch θ = 3 + 2t - 0,1t³, wobei t die Zeit in Sekunden ab einem bestimmten Zeitpunkt ist; Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω und die Winkelbeschleunigung α ( a ) nach 1 Sekunde. ( b ) nach einer Umdrehung. Zu welchem Zeitpunkt befindet sich das Rad im Ruhezustand und wie viele Umdrehungen hat es bis zu diesem Zeitpunkt ausgeführt?

Für die Beschleunigung schreiben wir

\[ \omega = \dot{\theta} = \dfrac{d\theta}{dt} = 2 - 0,3t^2,\quad \alpha = \ddot{\theta} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2} = -0,6t. \]

Im Zeitpunkt t = 0 sind θ = 3; ω = 2 rad ⁄ s; α = 0.

Im Zeitpunkt t = 1,

ω = 2 - 0,3 = 1,7 rad ⁄ s; α = -0,6 rad ⁄ s².

Dies ist eine Verzögerung; das Rad wird langsamer.

Nach 1 Umdrehung

θ = 2π = 6,28;   6,28 = 3 + 2t - 0,1t³.

Durch Zeichnen des Graphen von θ = 3 + 2t - 0,1t³ können wir den Wert oder die Werte von t bestimmen, für die θ = 6,28 ist; dies sind 2,11 und 3,03 (es gibt noch einen dritten negativen Wert).

Im Fall von t = 2,11,

θ = 6,28;   ω = 2 - 1,34 = 0,66 rad ⁄ s
α = -1,27 rad ⁄ s².

Im Fall von t = 3,03,

θ = 6,28;   ω = 2 - 2,754 = -0,754 rad ⁄ s
α = -1,82 rad ⁄ s².

Da das Vorzeichen für die Geschwindigkeit wechselt, ruht das Rad zwischen diesen beiden Augenblicken; es ist in Ruhe, wenn ω = 0, d.h. wenn 0 = 2 - 0,3 t³, oder wenn t = 2,58 s gilt.

\[ \frac{\theta}{2\pi} = \frac{3 + 2 \times 2,58 - 0.1 \times 2,58^3}{6.28} = 1,025 \text{ Umdrehungen}. \]

Übungen V

(1)Wenn y = a + bt² + ct⁴ ist; Bestimmen Sie $\dfrac{dy}{dt}$ und $\dfrac{d^2y}{dt^2}$.

(2) Ein Körper, der sich im freien Fall befindet, durchquert in t Sekunden einen Raum S, dies lässt sich, durch die Gleichung S = 16t² ausdrücken. Zeichnen Sie eine Kurve, die die Beziehung zwischen S und t zeigt. Bestimmen Sie auch die Geschwindigkeit des Körpers zu den folgenden Zeiten, nachdem er fallen gelassen wird: t = 2 Sekunden; t = 4,6 Sekunden; t = 0,01 Sekunden.

(3) $x = at - \frac{1}{2}gt^2$; Bestimmen Sie ẋ und ẍ.

(4) Wenn sich ein Körper nach der folgenden Gesetzmäßigkeit bewegt:

s = 12 - 4,5t + 6,2t²

Bestimmen Sie, zum Zeitpunkt t = 4 Sekunden seine Geschwindigkeit; s ist in Meter.

(5) Bestimmen Sie die Beschleunigung des Körpers, die im vorhergehenden Beispiel erwähnt wurde. Ist die Beschleunigung für alle Werte von t gleich?

(6) Der Winkel θ (im Bogenmaß), mit dem sich ein Rad dreht, hängt mit der Zeit t (in Sekunden) zusammen, die seit dem Start vergangen ist. Der Zusammenhang lässt sich schreiben als:

θ = 2,1 - 3,2t + 4,8t².

Ermitteln Sie die Winkelgeschwindigkeit (im Bogenmaß pro Sekunde) dieses Rads, wenn $ 1 \frac{1}{2} $ Sekunden verstrichen sind. Bestimmen Sie auch seine Winkelbeschleunigung.

(7) Ein Schieberegler bewegt sich so, dass während des ersten Teils seiner Bewegung sein Abstand s in cm von seinem Startpunkt durch den Ausdruck gegeben ist

s = 6,8t³ - 10,8t; t in Sekunden.

Bestimmen Sie den Ausdruck für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt; und bestimmen Sie dann die Geschwindigkeit und die Beschleunigung nach 3 Sekunden.

(8) Die Bewegung eines aufsteigenden Ballons ist so, dass seine Höhe h, in Kilometer, zu jedem Zeitpunkt durch den Ausdruck $h = 0,5 + \frac{1}{10}\sqrt[3]{t-125}$ gegeben ist. Mit t in Sekunden.

Ermitteln Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt. Zeichnen Sie Kurven, um die Variation von Höhe, Geschwindigkeit und Beschleunigung während der ersten zehn Minuten des Aufstiegs zu zeigen.

(9) Ein Stein wird (nach unten) ins Wasser geworfen und seine Tiefe $p$ in Meter nach Erreichen der Wasseroberfläche (d.h. er befindet sich im Wasser) wird durch folgenden Ausdruck, der von der Zeit t in Sekunden nach Eintritt in das Wasser abhängt, bestimmt

\[ p = \frac{4}{4+t^2} + 0,8t - 1. \]

Bestimmen Sie den Ausdruck für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt; und bestimmen Sie dann die Geschwindigkeit und die Beschleunigung nach 10 Sekunden.

(10) Ein Körper bewegt sich so, dass die in der Zeit t vom Start an zurückgelegte Distanz durch s = tⁿ gegeben ist, wobei n eine Konstante ist. Bestimmen Sie den Wert von n, wenn die Geschwindigkeit zwischen der 5 (fünften) und der 10 (zehnten) Sekunde verdoppelt wird. Bestimmen Sie ein n, für das gilt, dass die Geschwindigkeit numerisch gleich der Beschleunigung am Ende der 10 -ten Sekunde ist.

Antworten

(1) $\dfrac{dy}{dt} = 2bt + 4ct^3$; $\dfrac{d^2y}{dt^2} = 2b + 12ct^2$.

(2) 64; 147,2; und 0,32 Meter pro Sekunde.

(3) ẋ = a - gt; ẍ = -g.

(4) 45,1 Meter pro Sekunde.

(5) 12,4 Meter pro Sekunde Quadrat (m ⁄ s²). Ja.

(6) Winkelgeschwindigkeit = 11,2 rad pro Sekunde; Winkelbeschleunigung = 9,6 rad pro Sekunde Quadrat (m ⁄ s²).

(7) v = 20,4t² - 10,8;   a = 40,8t;   172,8 cm ⁄ s; 122,4 cm ⁄ s².

(8) $v = \dfrac{1}{30 \sqrt[3]{(t - 125)^2}}$,   $a = - \dfrac{1}{45 \sqrt[3]{(t - 125)^5}}$.

(9) $v = 0,8 - \dfrac{8t}{(4 + t^2)^2}$; $a = \dfrac{24t^2 - 32}{(4 + t^2)^3}$; 0,7926 und 0,00211.

(10) n = 2; n = 11.

Einführung in nützliche Ausweichmanöver

Manchmal ist man ratlos, wenn man feststellt, dass der zu differenzierende Ausdruck zu kompliziert ist, um direkt angegangen zu werden.

Diese Gleichung\[ y = (x^2+a^2)^{\frac{3}{2}} \] ist für einen Anfänger unangenehm.

Das Ausweichen, um die Schwierigkeit zu lösen, ist folgende: Schreiben Sie ein Symbol wie $ u $ für den Ausdruck $ x^2 + a^2 $; dann wird die Gleichung zu:

\[ y = u^{\frac{3}{2}}, \] die Sie leicht handhaben können; \[ \frac{dy}{du} = \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}. \] Dann gehen Sie den Ausdruck \[ u = x^2 + a^2 \text{an, } \] und differenzieren Sie diese nach x, \[ \frac{du}{dx} = 2x. \] Dann ist alles, was bleibt, ist eine klare Sache; \begin{align*} \text{für }\; \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}; \\ \text{das ist ,}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} \times 2x \\ &= \tfrac{3}{2} (x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}} \times 2x \\ &= 3x(x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}}; \end{align*}

und so wird der Trick gemacht.

Wenn Sie nach und nach gelernt haben, mit Sinus, Cosinus und Exponentiellen umzugehen, werden Sie feststellen, dass dieses Ausweichmanöver immer nützlicher wird.

Beispiele Lassen Sie uns dieses Ausweichmanöver an einigen Beispielen üben.

(1) Differenzieren Sie $y = \sqrt{a+x}$.

Sei $a+x = u$. \begin{align*} \frac{du}{dx} &= 1;\quad y=u^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du} = \tfrac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \tfrac{1}{2} (a+x)^{-\frac{1}{2}}.\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a+x}}. \end{align*}

(2) Differenzieren Sie $y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x^2}}$.

Sei $a + x^2 = u$. \begin{align*} \frac{du}{dx} &= 2x;\quad y=u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du} = -\tfrac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}.\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(a+x^2)^3}}. \end{align*}

(3) Differenzieren Sie $y = \left(m - nx^{\frac{2}{3}} + \dfrac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^a$.

Sei $m - nx^{\frac{2}{3}} + px^{-\frac{4}{3}} = u$. \begin{gather*} \frac{du}{dx} = -\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} - \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}};\\ y = u^a;\quad \frac{dy}{du} = a u^{a-1}. \\ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = -a\left(m -nx^{\frac{2}{3}} + \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^{a-1} (\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} + \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}}). \end{gather*}

(4) Differenzieren Sie $y=\dfrac{1}{\sqrt{x^3 - a^2}}$.

Sei $u = x^3 - a^2$. \begin{align*} \frac{du}{dx} &= 3x^2;\quad y = u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du}=-\frac{1}{2}(x^3 - a^2)^{-\frac{3}{2}}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = -\frac{3x^2}{2\sqrt{(x^3 - a^2)^3}}. \end{align*}

(5) Differenzieren Sie $y=\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$.

Schreiben Sie dies als $y=\dfrac{(1-x)^{\frac{1}{2}}}{(1+x)^{\frac{1}{2}}}$. \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} - (1-x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx}}{1+x}. \]

Wir können es auch so schreiben $y = (1-x)^{\frac{1}{2}} (1+x)^{-\frac{1}{2}}$ und als Produkt differenzieren.

Verfahren Sie wie im Beispiel (1) oben, wir erhalten:

\[ \frac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}; \quad\text{und}\quad \frac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}. \]

Dann

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= - \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1-x}} - \frac{(1 - x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1+x}} \\ &= - \frac{1}{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{(1+x)^3}};\\ \text{bzw. }\\ \frac{dy}{dx} &= - \frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}. \end{align*}

(6) Differenzieren Sie $y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1+x^2}}$.

Wir können das so schreiben:

\begin{gather*} y = x^{\frac{3}{2}}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}; \\ \frac{dy}{dx} = \tfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \times \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \end{gather*}

Differenzieren Sie $(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}$, wie im obigen Beispiel (2) gezeigt wurde und wir erhalten:

\[ \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(1+x^2)^3}}; \]

Sodass:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^2}} - \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{(1+x^2)^3}} = \frac{\sqrt{x}(3+x^2)}{2\sqrt{(1+x^2)^3}}. \]

(7) Differenzieren Sie $y=(x+\sqrt{x^2+x+a})^3$.

Sei $x+\sqrt{x^2+x+a}=u$.

\begin{gather*} \frac{du}{dx} = 1 + \frac{d\bigl[(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \\ y = u^3;\quad\text{und}\quad \frac{dy}{du} = 3u^2= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2. \end{gather*}

Sei nun $(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}=v$ und $(x^2+x+a) = w$.

\begin{align*} \frac{dw}{dx} &= 2x+1;\quad v = w^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dv}{dw} = \tfrac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}. \\ \frac{dv}{dx} &= \frac{dv}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+x+a)^{-\frac{1}{2}}(2x+1). \\ \text{Dann } \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\\ &= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2 \left(1 +\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\right). \end{align*}

(8) Differenzieren Sie $y=\sqrt{\dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}} \sqrt[3]{\dfrac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}$.

Wir erhalten:

\begin{align*} y &= \frac{(a^2+x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2-x^2)^{\frac{1}{3}}} {(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2+x^2)^{\frac{1}{3}}} = (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}. \\ \frac{dy}{dx} &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{d\bigl[(a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}\bigr]}{dx} + \frac{d\bigl[(a^2+x^2)^{\frac{1}{6}}\bigr]}{(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}}\, dx}. \end{align*}

Sei $u = (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}$ und $v = (a^2 - x^2)$.

\begin{align*} u &= v^{-\frac{1}{6}};\quad \frac{du}{dv} = -\frac{1}{6}v^{-\frac{7}{6}};\quad \frac{dv}{dx} = -2x. \\ \frac{du}{dx} &= \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx} = \frac{1}{3}x(a^2-x^2)^{-\frac{7}{6}}. \end{align*}

Sei $w = (a^2 + x^2)^{\frac{1}{6}}$ und $z = (a^2 + x^2)$.

\begin{align*} w &= z^{\frac{1}{6}};\quad \frac{dw}{dz} = \frac{1}{6}z^{-\frac{5}{6}};\quad \frac{dz}{dx} = 2x. \\ \frac{dw}{dx} &= \frac{dw}{dz} \times \frac{dz}{dx} = \frac{1}{3} x(a^2 + x^2)^{-\frac{5}{6}}. \end{align*}

Dann

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{7}{6}}} + \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2+x^2)^{\frac{5}{6}}}; \\ \text{bzw. }\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{x}{3} \left[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2)^7}} + \frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2)^5]}} \right]. \end{align*}

(9) Differenzieren $y^n$ in Bezug auf $y^5$.

\[ \frac{d(y^n)}{d(y^5)} = \frac{ny^{n-1}}{5y^{5-1}} = \frac{n}{5} y^{n-5}. \]

(10) Bestimmen Sie den ersten und zweiten Differentialkoeffizienten von $y = \dfrac{x}{b} \sqrt{(a-x)x}$.

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{b}\, \frac{d\bigl\{\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}}\bigr\}}{dx} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}. \]

Sei $\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}} = u$ und sei $(a-x)x = w$; dann ist $u = w^{\frac{1}{2}}$.

\[ \frac{du}{dw} = \frac{1}{2} w^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}. \] \begin{align*} &\frac{dw}{dx} = a-2x.\\ &\frac{du}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \frac{du}{dx} = \frac{a-2x}{2\sqrt{(a-x)x}}. \end{align*}

Dann

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b} = \frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}. \]

Nun

\begin{align*} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{2b \sqrt{(a-x)x}\, (3a-8x) - \dfrac{(3ax-4x^2)b(a-2x)}{\sqrt{(a-x)x}}} {4b^2(a-x)x} \\ &= \frac{3a^2-12ax+8x^2}{4b(a-x)\sqrt{(a-x)x}}. \end{align*}

Wir werden diese beiden letzten Differentialkoeffizienten später benötigen. Siehe hier

Übungen VI

Differenzieren Sie die folgenden Ausdrücke:

 

(1) $y = \sqrt{x^2 + 1}$.

(2) $y = \sqrt{x^2+a^2}$.

(3) $y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x}}$.

(4) $y = \dfrac{a}{\sqrt{a-x^2}}$.

(5) $y = \dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^2}$.

(6) $y = \dfrac{\sqrt[3]{x^4+a}}{\sqrt[2]{x^3+a}}$.

(7) $y = \dfrac{a^2+x^2}{(a+x)^2}$.

(8) Differenzieren Sie y⁵ in Bezug auf y².

(9) Differenzieren Sie $y = \dfrac{\sqrt{1 - \theta^2}}{1 - \theta}$.

 

Antworten

(1) $\dfrac{x}{\sqrt{ x^2 + 1}}$.

(2) $\dfrac{x}{\sqrt{ x^2 + a^2}}$.

(3) $- \dfrac{1}{2 \sqrt{(a + x)^3}}$.

(4) $\dfrac{ax}{\sqrt{(a - x^2)^3}}$.

(5) $\dfrac{2a^2 - x^2}{x^3 \sqrt{ x^2 - a^2}}$.

(6) $ \dfrac{\frac{3}{2} x^2 \left[ \frac{8}{9} x \left(x^3 + a \right) - \left(x^4 + a \right) \right]}{(x^4 + a)^{\frac{2}{3}} (x^3 + a)^{\frac{3}{2}}}$

(7) $\dfrac{2a \left(x - a \right)}{(x + a)^3}$.

(8) $\frac{5}{2} y^3$.

(9) $\dfrac{1}{(1 - \theta) \sqrt{1 - \theta^2}}$.

Der Prozess kann auf drei oder mehr Differentialkoeffizienten erweitert werden, so dass $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dz} \times \dfrac{dz}{dv} \times \dfrac{dv}{dx}$ ist.

Beispiele (1) Wenn $z = 3x^4$;   $v = \dfrac{7}{z^2}$;   $y =\sqrt{1+v}$, bestimmen Sie $\dfrac{dv}{dx}$.

Wir haben:

\begin{align*} \frac{dy}{dv} &= \frac{1}{2\sqrt{1+v}};\quad \frac{dv}{dz} = -\frac{14}{z^3};\quad \frac{dz}{dx} = 12x^3. \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{168x^3}{(2\sqrt{1+v})z^3} = -\frac{28}{3x^5\sqrt{9x^8+7}}. \end{align*}

(2) Wenn $t = \dfrac{1}{5\sqrt{\theta}}$;   $x = t^3 + \dfrac{t}{2}$;   $v = \dfrac{7x^2}{\sqrt[3]{x-1}}$, bestimmen Sie $\dfrac{dv}{d\theta}$. \[ \frac{dv}{dx} = \frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1)^4}};\quad \frac{dx}{dt} = 3t^2 + \tfrac{1}{2};\quad \frac{dt}{d\theta} = -\frac{1}{10\sqrt{\theta^3}}. \\ \text{ Daher }\; \frac{dv}{d\theta} = -\frac{7x(5x-6)(3t^2+\frac{1}{2})} {30\sqrt[3]{(x-1)^4} \sqrt{\theta^3}}, \]

ein Ausdruck, in dem x durch seinen Wert und t durch seinen Wert in Bezug auf $\theta$ ersetzt werden muss.

(3) Wenn $\theta = \dfrac{3a^2x}{\sqrt{x^3}}$;   $\omega = \dfrac{\sqrt{1-\theta^2}}{1+\theta}$;   und $\phi = \sqrt{3} - \dfrac{1}{\omega\sqrt{2}}$, bestimmen Sie $\dfrac{d\phi}{dx}$.

Wir erhalten:

\begin{gather*} \theta = 3a^2x^{-\frac{1}{2}};\quad \omega = \sqrt{\frac{1-\theta}{1+\theta}};\quad \text{und}\quad \phi = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{2}} \omega^{-1}. \\ \frac{d\theta}{dx} = -\frac{3a^2}{2\sqrt{x^3}};\quad \frac{d\omega}{d\theta} = -\frac{1}{(1+\theta)\sqrt{1-\theta^2}} \end{gather*}

siehe Beispiel 5, hier; und

\[ \frac{d\phi}{d\omega} = \frac{1}{\sqrt{2}\omega^2}. \]

So das

$\dfrac{d\theta}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \omega^2} \times \dfrac{1}{(1+\theta) \sqrt{1-\theta^2}} \times \dfrac{3a^2}{2\sqrt{x^3}}$.

Ersetze zuerst $\omega$, dann $\theta$ durch ihre Werte.

Übungen VII

Sie können jetzt Folgendes erfolgreich versuchen.

(1) Wenn $u = \frac{1}{2}x^3$;  $v = 3(u+u^2)$;  und $w = \dfrac{1}{v^2}$, bestimmen Sie $\dfrac{dw}{dx}$.

(2) Wenn $y = 3x^2 + \sqrt{2}$;  $z = \sqrt{1+y}$;  und $v = \dfrac{1}{\sqrt{3}+4z}$, bestimmen Sie $\dfrac{dv}{dx}$.

(3) Wenn $y = \dfrac{x^3}{\sqrt{3}}$;  $z = (1+y)^2$;  und $u = \dfrac{1}{\sqrt{1+z}}$, bestimmen Sie $\dfrac{du}{dx}$.

Antworten

(1) $\dfrac{dw}{dx} = \dfrac{3x^2 \left(3 + 3x^3 \right)} {27 \left(\frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{4} x^6 \right)^3}$.

(2) $\dfrac{dv}{dx} = - \dfrac{12x}{\sqrt{1 + \sqrt{2} + 3x^2} \left(\sqrt{3} + 4 \sqrt{1 + \sqrt{2} + 3x^2}\right)^2}$.

(3) $\dfrac{du}{dx} = - \dfrac{x^2 \left(\sqrt{3} + x^3 \right)} {\sqrt{ \left[ 1 + \left(1 + \dfrac{x^3}{\sqrt{3}} \right) ^2 \right]^3}} $

Geometrische Bedeutung der Kleinheit der Differenzierung

Es ist sinnvoll, zu prüfen, welche geometrische Bedeutung dem Differentialkoeffizienten gegeben werden kann.

Zunächst kann jede Funktion von x, wie zum Beispiel x² oder $\sqrt{x}$ oder $ax+b$, als Kurve gezeichnet werden; und heutzutage kennt jeder Schüler das Verfahren des Kurvenzeichnens.

Lassen Sie PQR, in Abbildung 7, ein Teil einer Kurve sein, die in Bezug auf die Koordinatenachsen OX und OY aufgetragen ist. Betrachten Sie einen beliebigen Punkt Q auf dieser Kurve, wobei die Abszisse des Punktes x und seine Ordinate y ist. Beobachten Sie nun, wie sich y ändert, wenn x variiert wird. Wenn man x um ein kleines Inkrement dx nach rechts ansteigen lässt, wird man beobachten, dass auch y (in dieser speziellen Kurve) um ein kleines Inkrement dy ansteigt (weil diese spezielle Kurve zufällig eine steigende Kurve ist). Dann ist das Verhältnis von dy zu dx ein Maß für den Grad, in dem die Kurve zwischen den beiden Punkten Q und T ansteigt. Tatsächlich kann man auf der Abbildung sehen, dass die Kurve zwischen Q und T viele verschiedene Steigungen hat, so dass man nicht sehr gut von der Steigung der Kurve zwischen Q und T sprechen kann. Wenn aber Q und T so nahe beieinander liegen, dass der kleine Teil QT der Kurve praktisch gerade ist, dann kann man sagen, dass das Verhältnis $\dfrac{dy}{dx}$ die Steigung der Kurve entlang QT ist. Die zwischen beiden Punkten (Punkt Q und Punkt T) erzeugte Gerade QT berührt die Kurve nur entlang des Teils QT, und wenn dieser Teil unendlich klein ist, dann berührt die Gerade die Kurve praktisch nur in einem Punkt und ist daher eine Tangente an die Kurve.

Diese Tangente an der Kurve hat offensichtlich die gleiche Steigung wie QT, so dass $\dfrac{dy}{dx}$ die Steigung der Tangente an der Kurve in dem Punkt Q ist, für den der Wert von $\dfrac{dy}{dx}$ gefunden wird.

Wir haben gesehen, dass der kurze Ausdruck die Steigung einer Kurve keine genaue Bedeutung hat, weil eine Kurve so viele Steigungen hat - tatsächlich hat jeder kleine Teil einer Kurve eine andere Steigung. Die Steigung einer Kurve an einem Punkt ist jedoch eine genau definierte Sache; sie ist die Steigung eines sehr kleinen Teils der Kurve, der sich genau an diesem Punkt befindet; und wir haben gesehen, dass dies dasselbe ist wie die Steigung der Tangente an der Kurve an diesem Punkt.

Beachten Sie, dass dx ein kurzer Schritt nach rechts ist, und dy der entsprechende kurzer Schritt nach oben. Diese Schritte müssen als so kurz wie möglich betrachtet werden - tatsächlich unendlich kurz -, obwohl wir sie in Diagrammen durch nicht unendlich kleine Teile darstellen müssen, da man sie sonst nicht sehen könnte.

Wir werden im Folgenden viel Gebrauch von dem Umstand machen, dass $\dfrac{dy}{dx}$ die Steigung der Kurve an jedem Punkt darstellt.

Wenn eine Kurve, an einem bestimmten Punkt, eine Steigung von 45° besitzt, wie in Abbildung 8, dann sind dy und dx gleich, und der Wert von $\dfrac{dy}{dx}$ ist $\dfrac{dy}{dx} = 1$.

Wenn die Steigung der Kurve steiler als 45 ° (Abbildung 9) ist, das ist $\dfrac{dy}{dx}$ größer als 1.

Wenn die Steigung der Kurve flacher als 45 ° verläuft, wie in Abbildung 10, dann ist $\dfrac{dy}{dx}$ kleiner wie 1.

Bei einer horizontalen Linie beziehungsweise bei einem horizontalen Abschnitt einer Kurve ist $dy=0$, und damit $\dfrac{dy}{dx}=0$.

Wenn die Kurve nach unten verläuft, beziehungsweise abwärts gerichtet ist, wie in Abbildung 11, dann ist dy ein Schritt nach unten und es muss daher mit einem negativen Wert gerechnet werden; aus diesem Grund hat $\dfrac{dy}{dx}$ ein negatives Vorzeichen.

Wenn es sich bei der Kurve um eine gerade Linie handelt, wie in Abbildung 12, dann ist der Wert von $\dfrac{dy}{dx}$ in allen Punkten (auf dieser Linie) gleich. Mit anderen Worten die Steigung ist konstant.

Bei einer Kurve, die mehr nach oben wie nach rechts geht, wird der Wert von $\dfrac{dy}{dx}$ mit zunehmender Steilheit größer und größer, wie in Abbildung 13.

Wenn die Kurve immer mehr abflacht, wird der Wert von $\dfrac{dy}{dx}$ immer kleiner, wenn der flachere Teil erreicht wird, wie in Abbildung 14.

Wenn eine Kurve zuerst absteigt und dann wieder ansteigt, wie in Abbildung 15, und dabei eine Konkavität nach oben aufweist, dann wird $\dfrac{dy}{dx}$ zuerst eindeutig negativ sein, mit abnehmenden Werten, während die Kurve abflacht, und an dem Punkt, an dem der Tiefpunkt der Kurve erreicht wird, Null sein; und von diesem Punkt an wird $\dfrac{dy}{dx}$ positive Werte haben, die immer weiter ansteigen. In einem solchen Fall sagt man, dass y ein Minimum durchläuft. Der Minimalwert von y ist nicht notwendigerweise der kleinste Wert von y, es ist derjenige Wert von y, der dem Boden des Tales entspricht; zum Beispiel in Abbildung 28 ist der Wert von y, der dem Boden des Tales entspricht, 1, während y an anderen Stellen Werte annehmen kann, die kleiner als 1 sind. Die Eigenschaft eines Minimums ist, dass y auf beiden Seiten davon zunehmen muss.

Hinweis An dem Wert von x bei dem y ein Minimum durchläuft, ist der Wert von $\dfrac{dy}{dx} = 0$.

Wenn eine Kurve zuerst auf- und dann abfällt, sind die Werte von $\dfrac{dy}{dx}$ zunächst positiv; dann null, wenn der Gipfel erreicht ist; dann negativ, wenn die Kurve nach unten abfällt, wie in Abbildung 16. In diesem Fall wird gesagt, dass y ein Maximum durchläuft / durchschreitet, aber der Wert von y in diesem Maximum, ist nicht unbedingt der größte Wert von y. In Abbildung 28 beträgt der Wert vom y im Maximum $2\frac{1}{3}$, aber dies ist keineswegs der größte Wert, den y an einem anderen Punkt der Kurve haben kann.

Hinweis An dem Wert von x bei dem y ein Maximum durchläuft, ist der Wert von $\dfrac{dy}{dx} = 0$.

Wenn eine Kurve die besondere Form von Abbildung 17 hat, sind die Werte von $\dfrac{dy}{dx}$ immer positiv; es wird jedoch einen bestimmten Ort geben, an dem die Steigung am wenigsten steil beziehungsweise am geringsten ist, an dem der Wert von $ \dfrac{dy}{dx} $ minimal sein wird. Das heißt, kleiner als an jedem anderen Teil der Kurve.

Wenn eine Kurve die Form von Abbildung 18 hat, ist der Wert von $\dfrac{dy}{dx}$ im oberen Teil negativ und im untere Teil positiv; während an der Beule der Kurve, wo die Steigung der Kurve senkrecht wird, ist der Wert von $\dfrac{dy}{dx}$ unendlich groß.

Da wir nun verstehen, dass $\dfrac{dy}{dx}$ die Steigung einer Kurve an jedem Punkt misst, wenden wir uns nun einigen der Gleichungen zu, deren Differenzierung wir bereits gelernt haben.

(1) Nehmen Sie dies als den einfachsten Fall:

\[ y=x+b. \]

Die Funktion ist in Abbildung 19 dargestellt, wobei gleiche Skalen für x und y verwendet werden. Wenn wir $x = 0$ setzen, dann ist, die entsprechende Ordinate $y = b$; d.h. die Kurve schneidet die y-Achse auf der Höhe beziehungsweise beim Wert b. Von hier aus steigt die Kurve mit 45 ° an; für alle Werte, die rechts von x liegen, haben wir eine Zunahme der Höhe von y im gleichen Maß. Die Linie hat eine Steigung von 1, im Punkt $x = 1$.

Differenzieren Sie $y = x+b$ mit den Regeln die Sie bereits (hier und hier) gelernt haben, und wir erhalten $\dfrac{dy}{dx} = 1$.

Die Steigung der Linie ist so, dass wir für jeden kleinen Schritt dx nach rechts einen gleichen kleinen Schritt dy nach oben gehen. Und diese Steigung ist konstant - immer die gleiche Steigung.

(2) Betrachten Sie diesen Fall:

\[ y = ax+b. \]

Wir wissen, dass diese Kurve wie die vorhergehende bei einer Höhe von b auf der y-Achse beginnt. Aber bevor wir die Kurve zeichnen, wollen wir ihre Steigung durch Differenzieren ermitteln; was $\dfrac{dy}{dx} = a$ ergibt. Die Steigung wird konstant sein, in einem Winkel, dessen Tangens hier a genannt wird. Lassen Sie uns a einen numerischen Wert zuweisen, sagen wir $\frac{1}{3}$. Dann müssen wir ihm eine solche Steigung geben, dass er um 1 ansteigt, wenn wir 3 Schritte nach rechts gehen; anders ausgedrückt dx ist 3 mal so groß wie dy; wie in Abbildung 21 vergrößert dargestellt wird. Zeichnen Sie also eine Linie wie in Abbildung 20 mit dieser Steigung.

(3) Ein etwas schwierigerer Fall. Sei

\begin{align*} y= ax^2 + b. \end{align*}

Wieder beginnt die Kurve auf der y-Achse in einer Höhe b über dem Ursprung.

Jetzt differenzieren. [Wenn Sie das Ergebnis vergessen haben, gehen Sie hier zurück; oder besser: nicht umkehren, sondern die Differenzierung selbst berechnen.]

\[ \frac{dy}{dx} = 2ax. \]

Dies zeigt, dass die Steilheit nicht konstant ist: Sie nimmt mit steigendem x zu. Am Startpunkt P, wo $x = 0$, hat die Kurve (Abbildung 22) keine Steilheit, d.h. sie ist eben. Links vom Ursprung, wo x negative Werte hat, wird $\dfrac{dy}{dx}$ ebenfalls negative Werte haben oder von links nach rechts absteigen, wie in der Abbildung.

Lassen Sie uns dies veranschaulichen, indem wir einen bestimmten Fall herausarbeiten. Wir nehmen die Gleichung

\[ y = \tfrac{1}{4}x^2 + 3, \]

und differenzieren diese, dann erhalten wir

\[ \dfrac{dy}{dx} = \tfrac{1}{2}x. \]

Erstellen Sie nun eine Wertetabelle mit einige aufeinanderfolgende Werte zu, sagen wir von 0 bis 5 für x; und berechne die entsprechenden Werte von y mit der ersten Gleichung; und die Werte von $\dfrac{dy}{dx}$ mit der zweiten Gleichung. Als Ergebnisse haben wir:

x	0	1	2	3	4	5
y	3	$3\frac{1}{4}$	4	$5\frac{1}{4}$	7	$9\frac{1}{4}$
d	0	$\frac{1}{2}$	1	$1\frac{1}{2}$	2	$2\frac{1}{2}$

Dann stellen Sie die Werte in zwei Kurven dar, indem Sie Abbildung 23 die Werte von y gegen die von x und in Abbildung 24 die von $\dfrac{dy}{dx}$ gegenüber denen von x auftragen. Für jeden zugewiesenen Wert von x ist die Höhe der Ordinate in der zweiten Kurve proportional zur Steigung der ersten Kurve.

Wenn eine Kurve einen plötzlichen Scheitelpunkt erreicht, wie in Abbildung 25, ändert sich die Steigung an diesem Punkt plötzlich von einer Steigung nach oben zu einer Steigung nach unten. In diesem Fall wird $\dfrac{dy}{dx}$ von einem positiven zu einem negativen Wert wechseln.

Die folgenden Beispiele zeigen weitere Anwendungen der soeben erläuterten Prinzipien.

(4) Ermitteln Sie die Steigung der Tangente an der Kurve

\[ y = \frac{1}{2x} + 3, \]

an der Stelle, an der $x = -1$ ist. Bestimmen Sie den Winkel, den diese Tangente mit der Kurve $y = 2x^2 + 2$ bildet.

Die Steigung der Tangente ist die Steigung der Kurve an dem Punkt, an dem sie sich berühren (siehe hier); das heißt, die Steigung der Tangente entspricht $\dfrac{dy}{dx}$ der Kurve für diesen Punkt. Hier ist $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{2x^2}$ und für $x = -1$ ist $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{2 }$, das ist die Steigung der Tangente und der Kurve an dem (Berühr-)Punkt. Die Tangente, ist eine Gerade, die die Gleichung $y = ax + b$ hat und ihre Steigung ist $\dfrac{dy}{dx} = a$, also ist $a = -\dfrac{1}{2}$ . Wenn $x= -1$, $y = \dfrac{1}{2(-1)} + 3 = 2\frac{1}{2}$; und wenn die Tangente an diesem Punkt vorbeiläuft, müssen die Koordinaten des Punktes die Tangentengleichung erfüllen, nämlich

\[ y = -\dfrac{1}{2} x + b, \]

sodass $2\frac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} \times (-1) + b$ und $b = 2$ gilt; die Tangentengleichung ist daher $y = -\dfrac{1}{2} x + 2$.

Wenn sich nun zwei Kurven treffen, wobei der Schnittpunkt ein für beide Kurven gemeinsamer Punkt ist, müssen die Koordinaten des gemeinsamen Punktes die Gleichung jeder der beiden Kurven erfüllen; das heißt, es muss eine Lösung des Systems simultaner Gleichungen sein, die durch Verknüpfung der Gleichungen der Kurven gebildet werden. Hier treffen die Kurven an Punkten aufeinander, die durch die Lösung von

\begin{aligned} y &= 2x^2 + 2, \\ y &= -\tfrac{1}{2} x + 2 \quad\text{bzw.}\quad 2x^2 + 2 = -\tfrac{1}{2} x + 2; \end{aligned}

gegeben sind, das ist,

\[ x(2x + \tfrac{1}{2}) = 0. \]

Diese Gleichung hat $x = 0$ und $x = -\tfrac{1}{4}$ als Lösung. Die Steigung der Kurve $y = 2x^2 + 2$ ist an jedem Punkt

\[ \dfrac{dy}{dx} = 4x. \]

An dem Punkt, an dem $x = 0$ ist, ist die Steigung null; die Kurve ist horizontal. Für den Punkt wo folgendes gilt:

\[ x = -\dfrac{1}{4},\quad \dfrac{dy}{dx} = -1; \]

Damit fällt die Kurve an diesem Punkt unter einem solchen Winkel $\theta$ mit der Horizontalen nach rechts ab, dass $\tan \theta = 1$ ist; also unter 45 ° zur Horizontalen.

Die Steigung der Geraden beträgt $-\tfrac{1}{2}$; das heißt, sie fällt nach rechts ab und bildet mit der Horizontalen einen Winkel φ mit $\tan\phi = \tfrac{1}{2}$; das heißt, ein Winkel von $26^{\circ} 34'$. Daraus folgt, dass die Kurve im ersten Punkt die Gerade unter einem Winkel von $26^{\circ} 34'$ schneidet, während sie diese im zweiten unter einem Winkel von $45^{\circ} - 26^{\circ } 34' = 18^{\circ} 26'$ schneidet.

(5) Es soll eine Gerade gezogen werden, durch einen Punkt dessen Koordinaten $x = 2$, $y = -1$ sind, als Tangente an die Kurve $y = x^2 - 5x + 6$. Finden Sie die Koordinaten des Berührungspunktes.

Die Steigung der Tangente muss mit $\dfrac{dy}{dx}$ der Kurve übereinstimmen; das heißt, $2x - 5$.

Die Geradengleichung ist $y = ax + b$, und da sie für die Werte $x = 2$, $y = -1$ erfüllt ist, dann ist $-1 = a \times 2 + b $; außerdem ist $\dfrac{dy}{dx} = a = 2x - 5$.

x und y des Berührungspunktes müssen auch sowohl die Tangentengleichung als auch die Kurvengleichung erfüllen.

Wie haben dann

\begin{align*} y &= x^2 - 5x + 6, \tag{i} \\ \end{align*} \begin{align*} y &= ax + b, \tag{ii} \\ \end{align*} \begin{align*} -1 &= 2a + b, \tag{iii} \\ \end{align*} \begin{align*} a &= 2x - 5, \tag{iv} \end{align*}

vier Gleichungen mit a, b, x, y.

Gleichung (i) und (ii) ergeben $x^2 - 5x + 6 = ax+b$.

Ersetzen von a und b durch ihre Werte und wir erhalten,

\[ x^2 - 5x + 6 = (2x - 5)x - 1 - 2(2x - 5), \]

was zu $x^2 - 4x + 3 = 0$ vereinfacht werden kann, die Lösungen sind: $x = 3$ und $x = 1$. Ersetzen in (i), wir bekommen $y = 0$ beziehungsweise $y = 2$; die zwei Berührungspunkte sind dann $x = 1$, $y = 2$, und $x = 3$, $y = 0$.

Hinweis.- Bei allen Übungen, die sich mit Kurven befassen, ist es für die Schüler äußerst lehrreich, die Folgerung durch tatsächliches Zeichnen der Kurven zu überprüfen.

Übungen VIII

(1) Zeichnen Sie die Kurve mit der Gleichung $y = \tfrac{3}{4} x^2 - 5$, verwenden Sie dabei eine Millimeter Skalierung. Messen Sie für verschiedene Werte von x den Winkel der Steigung.

Bestimmen Sie durch Differenzieren der Gleichung den Ausdruck für die Steigung; und überprüfen Sie anhand des Tangens, ob diese mit dem gemessenen Winkel übereinstimmt.

(2) Bestimmen Sie die Steigung der Kurve

\[ y = 0,12x^3 - 2, \]

wenn der Wert der Abzisse $x = 2$ beträgt.

(3) Wenn $y = (x - a)(x - b)$ ist, zeigen Sie das am Punkt der Kurve wo $\dfrac{dy}{dx} = 0$ beträgt, x den Wert $\tfrac{1}{2} (a + b)$ hat.

(4) Bestimmen Sie $\dfrac{dy}{dx}$ von der Gleichung $y = x^3 + 3x$; und berechnen Sie die numerischen Werte von $\dfrac{dy}{dx}$ für die Punkte, die mit $x = 0$, $x = \tfrac{1}{2}$, $x = 1$, $x = 2$ korrespondieren.

(5) Bestimmen Sie in der Kurve, die durch die Gleichung $x^2 + y^2 = 4$ beschrieben wird, und die Werte von x an den Punkten, an denen die Steigung ${} = 1$ ist.

(6) Bestimmen Sie die Steigung, deren Gleichung $\dfrac{x^2 }{3^2} + \dfrac{y^2}{2^2} = 1$, an einem beliebigen Punkt und geben Sie den numerischen Wert, der Steigung an der Stelle $x = 0$ und $x = 1$ an.

(7) Die Gleichung einer Tangente an die Kurve $y = 5 - 2x + 0,5x^3$, ist von der Form $y = mx + n$, wobei $m$ und n Konstanten sind, bestimmen Sie den Wert von $m$ und n wenn der Punkt, an dem die Tangente die Kurve berührt, $x=2$ als Abszisse hat.

(8) In welchem Winkel schneiden sich die beiden Kurven

\[ y = 3,5x^2 + 2 \quad \text{und} \quad y = x^2 - 5x + 9,5 \text{?} \]

(9) Die Tangenten an die Kurve $y = \pm \sqrt{25-x^2}$ werden an Punkten gezeichnet, für die $x = 3$ und $x = 4$ ist. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Tangenten und ihrer gegenseitigen Neigung.

(10) Eine gerade Linie $y = 2x - b$ berührt, eine Kurve $y = 3x^2 + 2$ an einem Punkt. Was für Koordinaten hat dieser Berührungspunkt, und wie ist der Wert von b?

Antworten

(2) $1,44$.

(4) $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 3$; und die numerischen Werte sind: 3, $3 \frac{3}{4}$, $6$, und $15$.

(5) $ \pm \sqrt{2}$.

(6) $ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{4}{9} \dfrac{x}{y}$. Die Steigung ist null, bei $x = 0$; und ist $\mp \dfrac{1}{3 \sqrt{2}}$ wenn $x = 1$ ist.

(7) $m = 4$, $n = -3$.

(8) Schnittpunkt bei $x = 1$, $x = -3$. Winkel $153^{\circ}\;26'$, $2^{\circ}\;28'$.

(9) Schnittpunkt bei $x = 3.57$, $y = 3.50$. Winkel $16^{\circ}\;16'$.

(10) $x = \frac{1}{3}$, $y = 2 \frac{1}{3}$, $b = -\frac{5}{3}$.

Maxima und Minima

Eine der Hauptanwendungen des Differenzierungsprozesses besteht darin, herauszufinden, unter welchen Bedingungen der Wert der differenzierten Funktion (Gleichung) ein Maximum oder ein Minimum wird. Dies ist oft bei technischen Fragen äußerst wichtig, bei denen es am wünschenswertesten ist zu wissen, unter welchen Bedingungen die Arbeitskosten minimal oder die Effizienz maximal wird.

Nun, um mit einem konkreten Fall zu beginnen, nehmen wir die Gleichung

\[ y = x^2 - 4x + 7. \]

Indem wir x eine Reihe von aufeinanderfolgenden Werten zuweisen und die entsprechenden Werte von y finden, können wir leicht erkennen, dass die Gleichung eine Kurve mit einem Minimum darstellt.

x	$ 0$	1	2	3	4	$ 5$
y	$ 7$	$ 4 $	3	4	7	$ 12$

Diese Werte sind in Abbildung 26 dargestellt, die zeigt, dass y anscheinend einen Mindestwert von 3 hat, wenn x gleich 2 gesetzt wird. Aber sind Sie sicher, dass das Minimum bei 2 liegt und nicht bei $2 \tfrac{1}{4}$ oder bei $1 \tfrac{3}{4}$?

Natürlich wäre es mit jedem algebraischen Ausdruck möglich, viele Werte zu berechnen und auf diese Weise nach und nach zu einem bestimmten Wert zu gelangen, der ein Maximum oder ein Minimum sein kann.

Hier ist ein anderes Beispiel:

Sei $y = 3x - x^2$.

Berechnen Sie also ein paar Werte:

 

x	$-1$	0	1	2	3	4	5
y	$-4$	0	2	2	0	$-4$	$-10$

Zeichnen Sie die Werte wie in Abbildung 27.

Es ist offensichtlich, dass es ein Maximum irgendwo zwischen $x = 1$ und $x = 2$ geben wird; und die Kurve sieht so aus, als ob der maximale Wert von y ungefähr $2 \tfrac{1}{4}$ betragen sollte. Probieren Sie einige Werte dazwischen aus. Wenn $ x = 1 \tfrac{1}{4} $, ist $ y = 2.187 $; wenn $x = 1 \tfrac{1}{2}$, $y = 2,25$; wenn $x = 1,6$, $y = 2,24$. Wie können wir sicher sein, dass $2,25$ das wirkliche Maximum ist oder dass es genau dann auftritt, wenn $x = 1 \tfrac{1}{2}$ ist?

Jetzt mag es wie Jonglieren klingen, um sicher zu sein, dass es einen Weg gibt, ohne viele Vorversuche oder Vermutungen direkt zu einem maximalen (oder minimalen) Wert zu gelangen. Und dieser Weg hängt von der Differenzierung ab. Schauen Sie auf eine frühere Seite (hier) zurück, um sich die Bemerkungen zu Abb. 14 und Abb. 15 nochmal anzuschauen und Sie werden sehen, dass immer dann, wenn eine Kurve entweder ihre maximale oder ihre minimale Höhe erreicht, an diesem Punkt $\dfrac{dy}{dx} = 0$ ist. Dies gibt uns nun den Hinweis auf den gesuchten Weg. Wenn Ihnen eine Gleichung vorgelegt wird und Sie den Wert von x finden möchten, der y zu einem Minimum (oder einem Maximum) macht, differenzieren Sie sie zuerst, und nachdem Sie dies getan haben, schreiben Sie $\dfrac{dy}{dx}$ als gleich Null und lösen Sie dann nach x auf. Setzen Sie diesen speziellen Wert von x in die ursprüngliche Gleichung ein, und Sie erhalten dann den erforderlichen Wert von y. Dieser Vorgang wird allgemein als (gleich) Null setzen bezeichnet.

Um zu sehen, wie einfach es funktioniert, nehmen Sie das Beispiel, mit dem dieses Kapitel beginnt, nämlich

\[ y = x^2 - 4x + 7. \]

Differenzieren und wir erhalten

\[ \dfrac{dy}{dx} = 2x - 4. \]

Nun das Ganze gleich null setzen:

\[ 2x - 4 = 0. \]

Diese Gleichung nach x auflösen und wir erhalten:

\begin{align*} 2x &= 4, \\ x &= 2. \end{align*}

Jetzt wissen wir, dass das Maximum (oder Minimum) dann erreicht wird, wenn $x = 2$ ist.

Wir setzen den Wert $x = 2$ in die ursprüngliche Gleichung ein und erhalten dann:

\begin{align*} y &= 2^2 - (4 \times 2) + 7 \\ &= 4 - 8 + 7 \\ &= 3. \end{align*}

Schauen Sie zurück auf Abbildung 26, und Sie werden sehen, dass das Minimum an der Stelle $x = 2$ ist, und dass dieses das Minimum von $y = 3$ ist.

Versuchen Sie ein weiteres Beispiel (Abbildung 24), \begin{align*} y &= 3x - x^2. \\ \text{Differenzieren, }\; \frac{dy}{dx} &= 3 - 2x. \\ \end{align*} gleich null setzen, \begin{align*} 3 - 2x &= 0, \\ \text{daher }\; x &= 1 \tfrac{1}{2}; \\ \end{align*}

Wenn wir diesen Wert für x in die ursprüngliche Gleichung einsetzen erhalten wir:

\begin{align*} y &= 4 \tfrac{1}{2} - (1 \tfrac{1}{2} \times 1 \tfrac{1}{2}), \\ y &= 2 \tfrac{1}{4}. \end{align*}

Dies gibt uns genau die gesuchte Information, und lässt uns nicht wie die Methode des Ausprobierens vieler Werte im Ungewissen.

Nun, bevor wir zu weiteren Fällen übergehen, haben wir zwei Anmerkungen. Wenn Sie aufgefordert werden, $\dfrac{dy}{dx}$ mit null gleichzusetzen, empfinden Sie zunächst (wenn Sie einen eigenen Verstand haben) eine Art Groll, weil Sie wissen, dass $\dfrac{dy} {dx}$ an verschiedenen Stellen der Kurve alle möglichen unterschiedlichen Werte hat, je nachdem, ob sie nach oben oder unten geneigt ist. Wenn Sie also plötzlich aufgefordert werden,

\[ \frac{dy}{dx} = 0, \]

zu schreiben, nehmen Sie es übel und fühlen sich geneigt zu sagen, dass es nicht wahr sein kann. Jetzt müssen Sie den wesentlichen Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Bedingungsgleichung verstehen. Normalerweise haben Sie es mit Gleichungen zu tun, die an sich wahr sind, aber bei Gelegenheiten, für die diese Aufgaben Beispiele sind, müssen Sie Gleichungen aufschreiben, die nicht unbedingt wahr sind, sondern nur wahr sind, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind; und Sie schreiben sie auf, um durch Lösen die Bedingungen zu finden, die sie wahr machen. Nun wollen wir den Wert ermitteln, den x hat, wenn die Kurve weder nach oben noch nach unten geneigt ist, d. h., an der Stelle, an der $\dfrac{dy}{dx} = 0$ ist. Das Schreiben von $\dfrac{dy}{dx} = 0$ bedeutet also nicht, dass es immer $=0$ ist; Sie schreiben es jedoch als Bedingung auf, um zu sehen, welchen Wert x besitzt, wenn $ \dfrac{dy}{dx}$ null ist.

Die zweite Anmerkung ist eine, die Sie (wenn Sie einen eigenen Verstand haben) wahrscheinlich bereits gemacht haben: Nämlich, dass dieser vielbeschworene Prozess der Gleichsetzung mit null Ihnen völlig versagt, ob das x, das Sie dadurch erhalten, zu einem maximalen Wert von y oder einem minimalen Wert von y gehören. Der Prozess unterscheidet nicht selbst; er findet für Sie den richtigen Wert von x, lässt Sie aber selbst herausfinden, ob das entsprechende y ein Maximum oder ein Minimum ist. Wenn Sie die Kurve gezeichnet haben, wissen Sie natürlich bereits, was es sein wird.

Nehmen Sie zum Beispiel die Gleichung:

\[ y = 4x + \frac{1}{x}. \]

Ohne darüber nachzudenken, welcher Kurve sie entspricht, differenziere Sie und setzen Sie diese mit null gleich:

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 4 - x^{-2} = 4 - \frac{1}{x^2} = 0; \\ \text{ daher }\; x &= \tfrac{1}{2}; \\ \end{align*}

den Wert einsetzen, und

\begin{align*} y &= 4 \end{align*}

wird entweder ein Maximum oder ein Minimum sein. Aber was? In Abhängigkeit von der zweiten Differenzierung wird Ihnen im Folgenden ein Weg aufgezeigt (siehe Kap. XII. ). Aber im Moment reicht es, wenn Sie einfach jeden anderen Wert von x ausprobieren, der ein wenig von dem gefundenen abweicht, und sehen, ob mit diesem geänderten Wert der entsprechende Wert von y kleiner oder größer ist als der bereits gefundene.

Versuchen Sie ein anderes einfaches Problem in Maxima und Minima. Angenommen, Sie sollen eine beliebige Zahl in zwei Teile teilen, sodass das Produkt ein Maximum ist? Wie würden Sie es anstellen, wenn Sie den Trick der Gleichsetzung mit null nicht kennen würden? Ich nehme an, Sie könnten es durch wiederholtes versuchen probieren. Lassen Sie 60 die Zahl sein. Sie können versuchen, die Zahl in zwei Teile zu zerlegen und diese miteinander zu multiplizieren. Somit sind $50$ mal 10 $500$; $52$ mal $8$ ist $416$; $40$ mal $20$ ist $800$; $45$ mal $15$ ist $675$; $ 30 $ mal $ 30 $ ist $ 900 $. Dies sieht nach einem Maximum aus: Versuchen Sie es zu variieren. $31$ mal $29$ ist $899$, was nicht so gut ist; und $32$ mal $28$ ist $896$, was noch schlechter ist. Es scheint also, dass das größte Produkt durch die Aufteilung der Zahl in zwei gleichgroße Hälften erreicht wird.

Sie sehen jetzt, was Ihnen der Calculus sagt. Die in zwei Teile zu zerlegende Zahl sei n. Wenn dann x ein Teil ist, ist der andere $n-x$ und das Produkt ist $x(n-x)$ oder $nx-x^2$. Dann schreiben wir $y=nx-x^2$. Jetzt differenzieren und mit null gleichsetzen;

$\dfrac{dy}{dx} = n - 2x = 0 $
für x lösen, und wir erhalten
$\dfrac{n}{2} = x$

Jetzt wissen wir, dass egal welche Zahl n sein mag, sie in zwei gleiche Teile geteilt werden muss, wenn das Produkt der Teile ein Maximum seien, soll; und der Wert dieses maximalen Produkts ist immer $ = \tfrac{1}{4} n^2$.

Dies ist eine sehr nützliche Regel und gilt für eine beliebige Anzahl von Faktoren, so dass, wenn $m+n+p=$ eine konstante Zahl ist, $m \times n \times p$ ein Maximum ist, wenn $m=n =p$ gilt.

Testfall.

Lassen Sie uns unser Wissen sofort auf einen Fall anwenden, den wir testen können.

\begin{align*} \text{Sei } y &= x^2 - x; \end{align*}

Lassen Sie uns herausfinden, ob diese Funktion ein Maximum oder ein Minimum hat; und wenn ja, testen Sie, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist.

Differenzieren und wir erhalten:

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 2x - 1. \\ \text{ gleich null setzen, wir erhalten }\; 2x - 1 &= 0, \\ \text{dann }\; 2x &= 1, \\ \text{und } \; x &= \tfrac{1}{2}. \end{align*}

Das heißt, wenn x zu $=\frac{1}{2}$ gemacht wird, ist der entsprechende Wert von y entweder ein Maximum oder ein Minimum. Wenn wir also $ x = \frac{1}{2} $ in die ursprüngliche Gleichung einfügen, erhalten wir:

\begin{align*} y &= (\tfrac{1}{2})^2 - \tfrac{1}{2}, \\ \; y &= -\tfrac{1}{4}. \end{align*}

Ist das ein Maximum oder ein Minimum? Um das zu testen, setzen Sie einen Wert für x ein, der ein bisschen größer als $\frac{1}{2}$ ist sagen wir $x=0,6$. Dann erhalten wir:

\[ y = (0,6)^2 - 0,6 = 0,36 - 0,6 = -0,24, \]

Was etwas höher wie $-0,25$ ist; und zeigt, das $y = -0,25$ ein Minimum ist.

Zeichne Sie die Kurve und überprüfen Sie die Berechnung.

Weitere Beispiele.

Ein interessantes Beispiel liefert eine Kurve, die sowohl ein Maximum als auch ein Minimum hat. Die Gleichung lautet:

\begin{align*} y &=\tfrac{1}{3} x^3 - 2x^2 + 3x + 1. \\ \text{Dann }\; \dfrac{dy}{dx} &= x^2 - 4x +3. \end{align*}

Gleich null setzen und wir erhalten die quadratische Gleichung:

\[ x^2 - 4x +3 = 0; \]

Und das Lösen der quadratischen Gleichung ergibt zwei Wurzeln, nämlich:

\[ \left\{ \begin{aligned} x &= 3 \\ x &= 1. \end{aligned} \right. \]

Wenn $x=3$ ist, dann ist $y=1$; und wenn $x=1$ ist, dann ist $y=2\frac{1}{3}$. Das erste ist ein Minimum und das zweite ein Maximum.

Die Kurve selbst kann (wie in Abbildung 28) aus den Werten gezeichnet werden, die in der nachfolgenden Tabelle aus der ursprünglichen Gleichung berechnet wurden.

x	$-1$	0	1	2	3	4	5	$6$
y	$-4\frac{1}{3}$	1	$2\frac{1}{3}$	$1\frac{2}{3}$	1	$2\frac{1}{3}$	$7\frac{2}{3}$	$19$

Eine weitere Übung zu Maxima und Minima bietet das folgende Beispiel:

Die Gleichung für einen Kreis mit dem Radius r, dessen Mittelpunkt $C$ an dem Punkt liegt, dessen Koordinaten $x=a$ und $y=b$ sind, wie in Abbildung 29 dargestellt lautet: \[ (y-b)^2 + (x-a)^2 = r^2. \]

Dies kann umgeformt werden zu:

\[ y = \sqrt{r^2-(x-a)^2} + b. \]

Jetzt wissen wir bereits vorher, durch bloße Betrachtung der Figur, dass wenn $ x = a $, y entweder seinen Maximalwert $ b + r $ oder seinen Minimalwert $ b – r $ hat. Aber lassen Sie uns dieses Wissen nicht ausnutzen; Lassen Sie uns herausfinden, welcher Wert von x y zu einem Maximum oder einem Minimum macht, indem wir differenzieren und mit null gleichsetzen.

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{r^2-(x-a)^2}} \times (2a-2x), \\ \text{das reduziert sich auf }\; \frac{dy}{dx} &= \frac{a-x}{\sqrt{r^2-(x-a)^2}}. \end{align*}

Dann ist die Bedingung dafür, dass y Maximum oder Minimum ist:

\[ \frac{a-x}{\sqrt{r^2-(x-a)^2}} = 0. \]

Da kein Wert von x den Nenner unendlich groß werden lässt, ist die einzige Bedingung, die null ergibt,

\begin{align*} x &= a. \end{align*}

Wenn Sie diesen Wert in die ursprüngliche Gleichung für den Kreis einfügen, finden Sie \begin{align*} y &= \sqrt{r^2}+b; \end{align*}

Und da die Wurzel von $r^2$ entweder $+r$ oder $-r$ ist, haben wir zwei resultierende Werte von y

\begin{align*} \left\{\begin{aligned}y \\ y\end{aligned}\right. & \begin{aligned}= b & + r \\ = b & - r.\end{aligned} \end{align*}

Der Erste davon ist das Maximum oben; der Zweite das Minimum, unten.

Wenn die Kurve so ist, dass es keine Stelle gibt, die ein Maximum oder ein Minimum ist, führt der Vorgang der Gleichsetzung mit null zu einem unmöglichen Ergebnis. Zum Beispiel:

\begin{align*} \text{Sei }\; y &= ax^3 + bx + c. \\ \text{Dann }\; \frac{dy}{dx} &= 3ax^2 + b. \end{align*}

Gleich setzen mit null und wir erhalten $3ax^2 + b = 0$,

\[ x^2 = \frac{-b}{3a}, \quad\text{und}\quad x = \sqrt{\frac{-b}{3a}},\;\text{ was nicht möglich ist.} \]

Daher hat y weder ein Maximum noch ein Minimum.

Ein paar weitere ausgearbeitete Beispiele werden es Ihnen ermöglichen, diese interessanteste und nützlichste Anwendung der Infinitesimalrechnung gründlich zu beherrschen.

(1) Wie lauten die Seiten des Rechtecks mit maximaler Fläche, das in einem Kreis mit Radius $R$ liegt?

Wenn eine Seite x genannt wird, dann ist

\[ \text{die andere Seite} = \sqrt{(\text{Diagonal})^2 - x^2}; \]

Und da die Diagonale des Rechtecks notwendigerweise der Durchmesser ist, ist die andere Seite $ = \sqrt{4R^2 - x^2}$.

Dann ist Fläche des Rechtecks $S = x\sqrt{4R^2 - x^2}$,

\[ \frac{dS}{dx} = x \times \dfrac{d\left(\sqrt{4R^2 - x^2}\,\right)}{dx} + \sqrt{4R^2 - x^2} \times \dfrac{d(x)}{dx}. \]

Wenn Sie vergessen haben, wie man $\sqrt{4R^2-x^2}$ differenziert, hier ein Hinweis: schreiben Sie $4R^2-x^2=w$ und $y=\sqrt{w} $, und bestimmen $\dfrac{dy}{dw}$ und $\dfrac{dw}{dx}$; Probieren Sie es! Und nur wenn Sie es nicht schaffen, schauen Sie noch einmal hier nach.

Sie bekommen \[ \dfrac{dS}{dx} = x \times -\dfrac{x}{\sqrt{4R^2 - x^2}} + \sqrt{4R^2 - x^2} = \dfrac{4R^2 - 2x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}}. \]

Für Maximum oder Minimum müssen wir:

\[ \dfrac{4R^2 - 2x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}} = 0; \] setzen und dass ist, $4R^2 - 2x^2 = 0$ und $x = R\sqrt{2}$.

Die andere Seite ${} = \sqrt{4R^2 - 2R^2} = R\sqrt{2}$; die beiden Seiten sind gleich; die Figur ist daher ein Quadrat. In diesem Fall handelt es sich natürlich um ein Maximum, mit dem wir es zu tun haben.

(2) Welchen Öffnungsradius hat ein konisches Gefäß (Kegel), dessen schräge Seite die Länge l hat, wenn das Fassungsvermögen des Gefäßes am größten ist?

Wenn $R$ der Radius und $H$ die entsprechende Höhe ist, gilt $H = \sqrt{l^2 - R^2}$.

\[ \text{Volumen } V = \pi R^2 \times \dfrac{H}{3} = \pi R^2 \times \dfrac{\sqrt{l^2 - R^2}}{3}. \]

Gehen wir wie in der vorherigen Aufgabe vor, erhalten wir:

\begin{align*} \dfrac{dV}{dR} &= \pi R^2 \times -\dfrac{R}{3\sqrt{l^2 - R^2}} + \dfrac{2\pi R}{3} \sqrt{l^2 - R^2} \\ &= \dfrac{2\pi R(l^2 - R^2) - \pi R^3}{3\sqrt{l^2 - R^2}} = 0 \end{align*}

Für Maximum oder Minimum.

$2\pi R(l^2 - R^2) - \pi R^2 = 0$, und $R = l\sqrt{\tfrac{2}{3}}$, für ein Maximum natürlich.

(3) Bestimmen Sie die Maxima und Minima der Funktion

\[ y = \dfrac{x}{4-x} + \dfrac{4-x}{x}. \]

Wie erhalten:

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(4-x)-(-x)}{(4-x)^2} + \dfrac{-x - (4-x)}{x^2} = 0 \]

für Maximum oder Minimum; und

\[ \dfrac{4}{(4-x)^2} - \dfrac{4}{x^2} = 0 \quad\text{und}\quad x = 2. \]

Es gibt nur einen Wert, also nur ein Maximum oder Minimum.

\begin{align*} \text{Für}\quad x &= 2,\phantom{.5}\quad y = 2, \\ \text{für}\quad x &= 1,5,\quad y = 2,27, \\ \text{für}\quad x &= 2,5,\quad y = 2,27; \end{align*}

Daher ist es ein Minimum. Es ist aufschlussreich, den Graphen der Funktion zu zeichnen.

(4) Bestimmen Sie die Maxima und Minima der Funktion $y = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}$. Es wird lehrreich sein, den Graphen zu zeichnen.

Differenzieren ergibt sofort (siehe Beispiel Nr. 1, hier)

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} - \dfrac{1}{2\sqrt{1-x}} = 0 \]

für Maximum oder Minimum.

Da $\sqrt{1+x} = \sqrt{1-x}$ und $x = 0$, die einzige Lösung ist.

Für $x=0$, $y=2$.

Für $x=\pm 0,5$, $y= 1,932$, also ist es ein Maximum.

(5) Bestimmen Sie die Maxima und Minima der Funktion

\[ y = \dfrac{x^2-5}{2x-4}. \]

Wir haben

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(2x-4) \times 2x - (x^2-5)2}{(2x-4)^2} = 0 \]

für Maximum oder Minimum; und

\[ \dfrac{2x^2 - 8x + 10}{(2x - 4)^2} = 0; \]

$x^2 - 4x + 5 = 0$; wofür

\[ x = \tfrac{5}{2} \pm \sqrt{-1} \]

Lösungen sind.

Da diese imaginär sind, gibt es keinen reellen Wert von x für die $\dfrac{dy}{dx} = 0$ ist; daher gibt es weder ein Maximum noch ein Minimum.

(6) Bestimmen Sie die Maxima und Minima der Funktion

\[ (y-x^2)^2 = x^5. \]

Diese kann, als $y = x^2 \pm x^{\frac{5}{2}}$ geschrieben werden.

\[ \dfrac{dy}{dx} = 2x \pm \tfrac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} = 0 \quad\text{für Maximum oder Minimum}; \]

das heißt, $ x (2 \pm \tfrac{5}{2}x^{\ frac{1}{2}}) = 0 $, was für $ x = 0 $ und für $ 2 \pm \tfrac{5}{2} x^{\frac{1}{2}} = 0$ erfüllt ist und auch für $x=\tfrac{16}{25}$. Es gibt also zwei Lösungen.

Zuerst nehmen wir $x = 0$. Wenn $x = -0,5$, $y = 0,25 \pm \sqrt[2]{-(0,5)^5}$, und wenn $x = +0,5$, $y = 0,25 \pm \sqrt[2] {(0,5)^5}$. Auf der einen Seite ist y imaginär; das heißt, es gibt keinen Wert von y, der durch einen Graphen dargestellt werden kann; Letztere befindet sich daher vollständig auf der rechten Seite der Achse von y (siehe Abbildung 30).

Beim Zeichnen des Graphen wird festgestellt, dass die Kurve zum Ursprung geht, als ob dort ein Minimum wäre; aber anstatt darüber hinauszugehen, wie es bei einem Minimum der Fall sein sollte, verfolgt es seine Schritte zurück und bildet einen sogenannten "Spitze". Es gibt also kein Minimum, obwohl die Bedingung für ein Minimum erfüllt ist, nämlich $\dfrac{dy }{dx} = 0$. Es ist daher immer notwendig, auf beiden Seiten einen Wert zu nehmen.

Wenn wir nun $x = \tfrac{16}{25} = 0,64$ nehmen. Wenn $x = 0,64$, $y = 0,7373$ und $y = 0,0819$; wenn $x = 0,6$, wird y zu $0,6389$ und zu $0,0811$; und wenn $x = 0.7$ ist, wird y zu $0,8996$ und $0,0804$.

Dies zeigt, dass es zwei Zweige der Kurve gibt; der obere durchläuft kein Maximum, der untere schon.

(7) Ein Zylinder, dessen Höhe doppelt so groß ist wie der Radius der Basis, nimmt an Volumen zu, so dass alle seine Teile immer im gleichen Verhältnis zueinanderstehen; das heißt, der Zylinder ist zu jedem Zeitpunkt dem Originalzylinder ähnlich. Wenn der Radius der Basis r cm beträgt, nimmt die Oberfläche mit einer Geschwindigkeit von $20$ Quadratzentimeter pro Sekunde zu; mit welcher Geschwindigkeit nimmt das Volumen dann zu?

\begin{align*} \text{Fläche } &= S = 2(\pi r^2)+ 2 \pi r \times 2r = 6 \pi r^2.\\ \text{Volumen } &= V = \pi r^2 \times 2r=2 \pi r^3.\\ \frac{dS}{dr} &= 12\pi r,\quad \frac{dV}{dr}=6 \pi r^2,\\ dS &= 12\pi r\, dr=20,\quad dr=\frac{20}{12 \pi r},\\ dV &= 6\pi r^2\, dr = 6 \pi r^2 \times \frac{20}{12 \pi r} = 10r. \end{align*}

Das Volumen ändert sich mit einer Rate von $10r$ Kubiikzentimeter.

Machen Sie sich selbst andere Beispiele. Es gibt nur wenige Themen, die einen solchen Reichtum für interessante Beispiele bieten.

Übung IX

(1) Welche Werte von x machen y zu einem Maximum und einem Minimum, wenn $y=\dfrac{x^2}{x+1}$?

(2)Welcher Wert von x macht y, zu einem Maximum in der Gleichung $y=\dfrac{x}{a^2+x^2}$?

(3) Eine Strecke der Länge $p$ soll in 4-Teile zerlegt und zu einem Rechteck zusammengefügt werden. Zeigen Sie, dass die Fläche des Rechtecks maximal ist, wenn jede seiner Seiten gleich $\frac{1}{4}p$ ist.

(4) Ein Stück Schnur von $30$ cm Länge dessen Enden miteinander verbunden sind, wird durch 3 Stifte gespannt, um ein Dreieck zu bilden. Was ist der größte dreieckige Bereich, der von der Schnur umschlossen werden kann?

(5) Zeichnen Sie die Kurve entsprechend der Gleichung:

\[ y = \frac{10}{x} + \frac{10}{8-x}; \]

Bestimmen Sie $\dfrac{dy}{dx}$, und leiten Sie den Wert von x ab, der y zu einem Minimum macht und bestimmen Sie den Wert von y im Minimum.

(6) Wenn $y = x^5-5x$, finden Sie heraus, welche Werte von x y zu einem Maximum oder einem Minimum machen.

(7) Zeichnen / Fügen Sie ein Quadrat wird in ein bestehendes Quadrat ein. Wann ist das innere Quadrat am größten?

(8) Zeichnen / Fügen Sie einen gegebenen Kegel, dessen Höhe gleich dem Radius der Basis ist, in einen Zylinder

• (a) ein, dessen Volumen maximal ist;
• (b), desen Seitenfläche maximal ist;
• (c), desen Gesamtfläche maximal ist.

(9) Zeichnen / Fügen Sie eine Kugel in einen Zylinder

• (a) ein, dessen Volumen maximal ist;
• (b), desen Seitenfläche maximal ist;
• (c), desen Gesamtfläche maximal ist.

(10) Ein kugelförmiger Ballon nimmt an Volumen zu. Wenn, wenn sein Radius r cm beträgt, und sein Volumen mit einer Geschwindigkeit von 4 Kubikzentimeter pro Sekunde zunimmt, mit welcher Rate nimmt dann seine Oberfläche zu?

(11) Zeichen / Fügen Sie in eine gegebene Kugel einen Kegel ein, dessen Volumen maximal ist.

(12) Der Strom $C$ einer Batterie, die aus $N$ gleichen voltaischen Zellen besteht, ist $C=\dfrac{n \times E}{R+\dfrac{rn^2}{N}}$, wobei E, $R$, r Konstanten sind und n ist die Anzahl der in Reihe geschalteten Zellen. Bestimmen Sie das Verhältnis von n zu $N$, für das der Strom am größten ist.

Antworten

(1) Min.: $x = 0$, $y = 0$; max.: $x = -2$, $y = -4$.

(2) $x = a$.

(4) $25 \sqrt{3}$ Quadratzentimeter.

(5) $\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{10}{x^2} + \dfrac{10}{(8 - x)^2}$; $x = 4$; $y = 5$.

(6) Max. für $x = -1$; min. für $x = 1$.

(7) Verbinden Sie die Mittelpunkte der vier Seiten.

(8) $r = \frac{2}{3} R$, $r = \dfrac{R}{2}$, kein max.

(9) $r = R \sqrt{\dfrac{2}{3}}$, $r = \dfrac{R}{\sqrt{2}}$, $r = 0.8506R$.

(10) Mit einer Rate von $\dfrac{8}{r}$ Quadratzentimeter pro Sekunde.

(11) $r = \dfrac{R \sqrt{8}}{3}$.

(12) $n = \sqrt{\dfrac{NR}{r}}$.

Krümmung der Kurven

Um auf den Prozess der nacheinander stattfindenden Differenzierung zurückzukommen, kann man fragen: Warum will jemand zweimal differenzieren? Wir wissen, dass, wenn die veränderlichen Größen Raum und Zeit sind, wir durch zweimaliges Differenzieren die Beschleunigung eines bewegten Körpers erhalten, und dass in der geometrischen Interpretation, angewendet auf Kurven, $\dfrac{dy}{dx}$ die Steigung der Kurve bedeutet. Aber was kann $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ in diesem Fall bedeuten? Es bedeutet eindeutig die Rate (pro Längeneinheit x), mit der sich die Steigung ändert, kurz gesagt, es ist ein Maß für die Krümmung der Steigung.

Angenommen die Steigung ist konstant wie in Abbildung 31.

Dann besitzt $\dfrac{dy}{dx}$ einen konstanten Wert.

Nehmen wir jedoch einen Fall an, in dem, wie in Abbildung 32, die Steigung selbst nach oben größer wird, dann $\dfrac{d\left(\dfrac{dy }{dx}\right)}{dx}$, d. h. $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, wird positiv sein.

Wenn die Steigung nach rechts abnimmt wie in Abbildung 14 oder wie in Abbildung 33: Obwohl die Kurve nach oben geht, ist ihr $ \dfrac{d^2y}{dx^2} $ negativ, da die Änderung die Steigung sich verringert.

 

Jetzt ist es an der Zeit, Sie in ein weiteres Geheimnis einzuweihen - wie Sie feststellen können, ob das Ergebnis, das Sie durch "gleich Null setzen" erhalten, ein Maximum oder ein Minimum ist. Der Trick ist folgender: Nachdem Sie differenziert haben (um den Ausdruck zu erhalten, den Sie mit null gleichsetzen), differenzieren Sie ein zweites Mal und prüfen, ob das Ergebnis der zweiten Differenzierung positiv oder negativ ist. Wenn $ \dfrac{d^2y}{dx^2}$ positiv ist, wissen Sie, dass der Wert von y, den Sie erhalten haben, ein Minimum war; aber wenn $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ negativ herauskommt, dann muss der Wert von y, den Sie erhalten, ein Maximum sein. Das ist die Regel.

Der Grund dafür sollte ziemlich offensichtlich sein. Stellen Sie sich eine Kurve mit einem Minimum Punkt vor wie in Abbildung 15 oder wie Abbildung 34, wobei der Punkt des Minimums y mit $M$ markiert ist und die Kurve konkav nach oben verläuft. Links von $M$ geht die Steigung nach unten, d.h. negativ, und wird weniger negativ. Rechts von $M$ geht die Steigung nach oben und geht immer weiter nach oben. Offensichtlich ist die Änderung der Steigung, wenn die Kurve durch $M$ verläuft, sodass $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ für seine Operation positiv ist, wenn x in Richtung rechts ansteigt, es wandelt eine Abwärtsneigung in eine Aufwärtsneigung um.

Betrachten Sie in ähnlicher Weise jede Kurve mit einem Maximum Punkt (wie Abbildung 16) oder wie Abbildung 35, wobei die Kurve konvex ist und der maximale Punkt mit $M$ markiert ist. Wenn die Kurve in diesem Fall $M$ von links nach rechts durchläuft, wird ihre Steigung in eine fallende oder negative Steigung umgewandelt, so dass in diesem Fall die Steigung der Steigung $\dfrac{ d^2y}{dx^2}$ ist negativ.

Kehren Sie nun zu den Beispielen des letzten Kapitels zurück und überprüfen Sie auf diese Weise die Schlussfolgerungen, ob es im Einzelfall ein Maximum oder ein Minimum gibt. Nachfolgend finden Sie einige ausgearbeitete Beispiele.

(1) Bestimmen Sie das Maximum oder Minimum von

\begin{align*} \text{(a)}\quad y &= 4x^2-9x-6; \qquad \text{(b)}\quad y = 6 + 9x-4x^2; \\ \end{align*}

und stellen Sie in allen Fällen fest, ob es sich jeweils um ein Maximum oder ein Minimum handelt.

\begin{align*} \text{(a)}\quad \dfrac{dy}{dx} &= 8x-9=0;\quad x=1\tfrac{1}{8},\quad \text{und } y = -11,065.\\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= 8;\quad \text{es ist $+$; (positv) und daher ein Minimum.} \\ \text{(b)}\quad {\dfrac{dy}{dx}} &= 9-8x=0;\quad x = 1\tfrac{1}{8};\quad \text{und } y = +11,065.\\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= -8;\quad \text{es ist $-$; (negativ) und daher ein Maximum.} \end{align*}

(2) Bestimmen Sie das Maxima oder Minima der Funktion

$y = x^3-3x+16$. \begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= 3x^2 - 3 = 0;\quad x^2 = 1;\quad \text{und } x = ±1.\\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= 6x;\quad \text{für $x = 1$; ist es $+$}; \end{align*}

Daher korrespondiert $x=1$ mit einem Minimum von $y=14$. Für $x=-1$ ist es $-$; und daher korrespondiert $x=-1$ mit einem Maximum von $y=+18$.

(3) Bestimmen Sie Maxima und Minima von $y=\dfrac{x-1}{x^2+2}$.

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(x^2+2) \times 1 - (x-1) \times 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{2x - x^2 + 2}{(x^2 + 2)^2} = 0; \]

Bzw. $x^2 - 2x - 2 = 0$, wovon die Lösungen $x =+2,73$ und $x=-0,73$ sind.

\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} &= - \frac{(x^2 + 2)^2 \times (2x-2) - (x^2 - 2x - 2)(4x^3 + 8x)}{(x^2 + 2)^4} \\ &= - \frac{2x^5 - 6x^4 - 8x^3 - 8x^2 - 24x + 8}{(x^2 + 2)^4}. \end{align*}

Der Nenner ist immer positiv, es reicht also, das Vorzeichen des Zählers zu ermitteln.

Wenn wir $x = 2,73$ einsetzen, wird der Zähler negativ; das Maximum, $y = 0,183$.

Wenn wir $x=-0,73$ einsetzen, wird der Zähler positiv; das Minimum, $y=-0,683$.

(4) Der Aufwand $C$ für den Umschlag der Produkte einer bestimmten Fabrik variiert mit der Wochenleistung P gemäß der Beziehung $C = aP + \dfrac{b}{c+P} + d$, wobei a, b, c, d positive Konstanten sind. Für welchen Output ist der Aufwand am geringsten?

\[ \dfrac{dC}{dP} = a - \frac{b}{(c+P)^2} = 0\quad \text{für Maximum oder Minimum;} \] $a = \dfrac{b}{(c+P)^2}$ und $P = \pm \sqrt{\dfrac{b}{a}} - c$.

Da der Output nicht negativ seien kann, $P=+\sqrt{\dfrac{b}{a}} - c$.

\begin{align*} \frac{d^2C}{dP^2} &= + \frac{b(2c + 2P)}{(c + P)^4}, \end{align*}

was für alle Werte von P positiv ist; daher entspricht, $P = +\sqrt{\dfrac{b}{a}} - c$ einem Minimum.

(5) Die Gesamtkosten pro Stunde $C$ für die Beleuchtung eines Gebäudes mit $N$ Lampen einer bestimmten Art betragen:

\[ C = N\left(\frac{C_l}{t} + \frac{EPC_e}{1000}\right), \] Wobei E die kommerzielle Effizienz (Watt pro Candela) ist. $ P $ ist die Lichtstärke (Candela) jeder Lampe, t ist die durchschnittliche Lebensdauer jeder Lampe in Stunden und $C_l =$ Erneuerungskosten in Pence pro Nutzungsstunde,$C_e =$ Energiekosten pro $1000$ Watt pro Stunde (kWh).

Außerdem beträgt die Beziehung zwischen der durchschnittlichen Lebensdauer einer Lampe und der kommerziellen Effizienz, mit der sie betrieben wird, ungefähr $t = mE^n$, wobei $m$ und n Konstanten in Abhängigkeit von der Art der Lampe sind.

Finden Sie die wirtschaftliche Effizienz, bei der die Gesamtkosten der Beleuchtung am geringsten sind.

\begin{align*} \text{ Wir haben }\; C &= N\left(\frac{C_l}{m} E^{-n} + \frac{PC_e}{1000} E\right), \\ \dfrac{dC}{dE} &= \frac{PC_e}{1000} - \frac{nC_l}{m} E^{-(n+1)} = 0 \end{align*}

für Maximum oder Minimum.

\[ E^{n+1} = \frac{1000 \times nC_l}{mPC_e}\quad \text{und}\quad E = \sqrt[n+1]{\frac{1000 \times nC_l}{mPC_e}}. \]

Dies ist eindeutig für das Minimum, da

\[ \frac{d^2C}{dE^2} = (n + 1) \frac{nC_l}{m} E^{-(n+2)}, \]

das ist positiv für einen positiven Wert von E.

Für einen bestimmten Typ von Lampen mit einer Lichtstärke (Kerzenleistung) von $16$ Candela wurden folgende Werte gefunden, $C_l= 17$ Pence, $C_e=5$ Pence, $ m = 10 $ und $ n = 3,6 $.

\[ E = \sqrt[4.6]{\frac{1000 \times 3.6 \times 17}{10 \times 16 \times 5}} = 2.6\text{Watt pro Kerzenleistung}. \]

Übungen X

(1) Bestimmen Sie Maxima und Minima von

\[ y = x^3 + x^2 - 10x + 8. \]

(2) Wenn $ y = \dfrac{b}{a} x - cx ^ 2 $ gegeben ist, bestimmen Sie die Ausdrücke für $ \dfrac{dy}{dx}$ und für $ \dfrac{d^2y}{dx^2}$. Bestimmen Sie auch den Wert von x, der y zu einem Maximum oder Minimum macht, und zeigen Sie, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist.

(3) Finden Sie heraus, wie viele Maxima und wie viele Minima es in der Kurve gibt, deren Gleichung:

\[ y = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}; \]

lautet und wie viele (Maxima/Minima) die Gleichung:

\[ y = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} \text{ hat.} \]

(4) Bestimmen Sie Maxima und Minima von

\[ y=2x+1+\frac{5}{x^2}. \]

(5) Bestimmen Sie Maxima und Minima von

\[ y=\frac{3}{x^2+x+1}. \]

(6) Bestimmen Sie Maxima und Minima von

\[ y=\frac{5x}{2+x^2}. \]

(7) Bestimmen Sie Maxima und Minima von

\[ y=\frac{3x}{x^2-3} + \frac{x}{2} + 5. \]

(8) Teilen Sie eine Zahl $ N $ so in zwei Teile, dass das Dreifache des Quadrats eines Teils plus das Doppelte des Quadrats des anderen Teils ein Minimum ist.

(9) Der Wirkungsgrad u eines elektrischen Generators bei verschiedenen Leistungswerten x wird durch die folgende allgemeine Gleichung ausgedrückt:

\[ u=\frac{x}{a+bx+cx^2}; \]

wobei a eine Konstante ist, die hauptsächlich von den Energieverlusten im Eisen abhängt und c eine Konstante ist, die hauptsächlich vom Widerstand der Kupferteile abhängt. Finden Sie einen Ausdruck für den Wert der Ausgabe, bei dem die Effizienz maximal ist.

(10)Angenommen, es sei bekannt, dass der Kohleverbrauch eines bestimmten Dampfers durch die Formel $y = 0,3 + 0,001 v^3 $ dargestellt werden kann; Dabei ist y die Anzahl der Tonnen Kohle, die pro Stunde verbrannt wird und v ist die Geschwindigkeit ausgedrückt in Seemeilen pro Stunde. Die Kosten für Löhne, Kapitalzinsen und Abschreibung dieses Schiffes entsprechen zusammengenommen pro Stunde den Kosten von 1 Tonne Kohle. Bei welcher Geschwindigkeit werden die Gesamtkosten einer Reise von $1000 $ Seemeilen auf ein Minimum reduziert? Und wenn Kohle 10 Schilling pro Tonne kostet, wie hoch werden dann diese Mindestkosten der Reise sein?

(11) Bestimmen Sie Maxima und Minima von

\[ y = \pm\frac{x}{6}\sqrt{x(10-x)}. \]

(12) Bestimmen Sie Maxima und Minima von

\[ y= 4x^3 - x^2 - 2x + 1. \]

Antworten

(1) Max.: $x = -2,19$, $y = 24,19$; Min.:, $x = 1,52$, $y = -1,38$.

(2) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{b}{a} - 2cx$; $\dfrac{d^2 y}{dx^2} = -2c$; $x = \dfrac{b}{2ac}$ (ein Maximum).

(3)

• (a ) Ein Maximum und zwei Minima.
• (b ) Ein Maximum. ($x = 0$; die anderen Punkte sind nicht real.)

(4) Min.: $x = 1,71$, $y = 6,14$.

(5) Max: $x = -0,5$, $y = 4$.

(6) Max.: $x = 1,414$, $y = 1,7675$. Min.: $x = -1,414$, $y = 1,7675$.

(7) Max.: $x = -3,565$, $y = 2,12$. Min.: $x = +3,565$, $y = 7,88$.

(8) $0,4N$, $0,6N$.

(9) $x = \sqrt{\dfrac{a}{c}}$.

(10) Geschwindigkeit $8,66$ nautische Meilen (Seemeilen) pro Stunde. Benötigte Zeit $115,47$ Stunden. Minimum Kosten £$112$. 12s .

(11) Max. und min. für $x = 7,5$, $y = \pm 5,414$. (Siehe Beispiel Nr.10, hier.)

(12) Min.: $x = \frac{1}{2}$, $y= 0,25$; max.: $x = - \frac{1}{3}$, $y= 1,408$.

Weitere nützliche Ausweichmanöver

Partielle Brüche.

Wir haben gesehen, dass wir, wenn wir einen Bruch differenzieren, wir eine ziemlich komplizierte Operation durchführen müssen; und wenn der Bruch selbst kein einfacher ist, ist das Ergebnis zwangsläufig ein komplizierter Ausdruck. Wenn wir den Bruch in zwei oder mehr einfachere Brüche aufteilen könnten, sodass ihre Summe dem ursprünglichen Bruch entspricht, könnten wir jeden dieser einfacheren Ausdrücke differenzieren. Und das Ergebnis der Differenzierung wäre die Summe von zwei (oder mehr) Differenzierungen, von denen jede relativ einfach ist; während der endgültige Ausdruck, obwohl er natürlich derselbe sein wird, der ohne diesen Trick erreicht werden könnte, so mit viel weniger Aufwand erhalten wird und in einer vereinfachten Form erscheint.

Lassen Sie uns sehen, wie Sie dieses Ergebnis erreichen. Versuchen Sie zunächst, zwei Brüche zu addieren, um einen resultierenden Bruch zu bilden. Nehmen wir zum Beispiel die beiden Brüche $\dfrac{1}{x+1}$ und $\dfrac{2}{x-1}$. Jeder Schüler kann diese zusammenzählen und als Summe $\dfrac{3x+1}{x^2-1}$ ermitteln. Ebenso lassen sich drei oder mehr Brüche addieren. Nun lässt sich dieser Vorgang durchaus umkehren: Das heißt, wenn dieser letzte Ausdruck gegeben wäre, ist es sicher, dass er irgendwie wieder in seine ursprünglichen Bestandteile oder Teilbrüche zerlegt werden kann. Nur wissen wir nicht in jedem Fall, der uns präsentiert wird, wie wir den Ausdruck so aufteilen können, das vergleichsweise einfache Ausdrücke entstehen. Um dies herauszufinden, betrachten wir zunächst einen einfachen Fall. Aber es ist wichtig, zu bedenken, dass alles Folgende nur für sogenannte echte algebraische Brüche gilt, d. h. Brüche wie die obigen, bei denen der Zähler einen geringeren Grad als der Nenner besitzt; d.h. diejenigen, bei denen der höchste Index von x im Zähler kleiner ist als im Nenner. Wenn wir es mit einem Ausdruck wie $\dfrac{x^2+2}{x^2-1}$ zu tun haben, können wir ihn durch Division vereinfachen, da er äquivalent zu $1+\dfrac{3}{x ^2-1}$ ist; und $\dfrac{3}{x^2-1}$ ist ein echter algebraischer Bruch, auf den die Aufspaltung in Teilbrüche angewendet werden kann, wie weiter unten erklärt.

Fall I. Wenn wir viele Additionen von zwei oder mehr Brüchen durchführen, deren Nenner nur Terme in x und keine Terme in x², x³ , oder jeder anderen Potenz von x enthalten, finden wir immer, dass der Nenner des resultierenden Bruches das Produkt der Nenner der Brüche ist, die addiert wurden. Daraus folgt, dass wir durch Faktorisierung des Nenners dieses letzten Bruchs jeden der Nenner der gesuchten Teilbrüche finden können.

Angenommen, wir möchten in seine $\dfrac{3x+1}{x^2-1}$ Komponenten zerlegen, von denen wir wissen, dass sie $\dfrac{1}{x+1}$ und $\dfrac{2}{x-1}$ sind. Wenn wir nicht wussten, welche diese Komponenten sind, können wir immer noch den Weg vorbereiten, indem wir Folgendes schreiben:

\[ \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{3x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{}{x+1} + \frac{}{x-1}, \]

Lassen Sie die Stellen für die Zähler leer, bis wir wissen, was wir dort einfügen sollen. Wir können immer annehmen, dass das Vorzeichen zwischen den Teilbrüchen plus ist, denn wenn es minus ist, finden wir einfach den entsprechenden negativen Zähler. Da die Teilbrüche nun echte Brüche sind, sind die Zähler bloße Zahlen ohne x, und wir können sie beliebig A, B, $C\dots$ nennen. In diesem Fall haben wir also:

\[ \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}. \]

Wenn wir nun die Addition dieser beiden Teilbrüche durchführen, erhalten wir $\dfrac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}$; und dieser muss gleich $\dfrac{3x+1}{(x+1)(x-1)}$ sein. Und da die Nenner in diesen beiden Ausdrücken gleich sind, müssen die Zähler gleich sein, und wir erhalten folgendes:

\[ 3x + 1 = A(x-1) + B(x + 1). \]

Nun, dies ist eine Gleichung mit zwei unbekannten Größen, und es scheint, dass wir eine andere Gleichung brauchen, bevor wir sie lösen und A und B finden können. Aber es gibt einen anderen Ausweg aus diesem Problem. Die Gleichung muss für alle Werte von x wahr sein; daher muss sie für solche Werte von x wahr sein, die bewirken, dass $x-1$ und $x+1$ null werden, d.h. für $x=1$ bzw. für $x=-1$. Wenn wir $x=1$ setzen, erhalten wir $4 = (A \times 0)+(B \times 2)$, so dass $B=2$ ist; und wenn wir $x=- 1$ setzen, erhalten wir $-2 = (A \times -2) + (B \times 0)$, so dass $A=1$ ist. Wenn wir A und B der Teilbrüche durch diese neuen Werte ersetzen, werden sie zu $\dfrac{1}{x+1}$ und $\dfrac{2}{x-1}$; und fertig ist die Sache.

Als weiteres Beispiel nehmen wir den Bruch $\dfrac{4x^2 + 2x - 14}{x^3 + 3x^2 - x - 3}$. Der Nenner wird null, wenn x den Wert 1 hat; daher ist $x-1$ ein Faktor davon, und offensichtlich ist dann der andere Faktor $x^2 + 4x + 3$ (Dieser lässt sich durch Polynomdivision bestimmen, also $x^3 + 3x^2 - x - 3 : x - 1 = x^2 + 4x + 3$) ; und dieser kann wiederum in $(x+1)(x+3)$ zerlegt werden. Wir können den Bruch also so schreiben:

\[ \frac{4x^2 + 2x - 14}{x^3 + 3x^2 - x - 3} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+3}, \]

Erstellen von drei Teilfaktoren.

Gehen wir wie bisher vor, und finden:

\[ 4x^2 + 2x - 14 = A(x-1)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x-1). \]

Wenn wir nun $x=1$ setzen, erhalten wir:

\[ -8 = (A \times 0) + B(2 \times 4) + (C \times 0);\quad \text{sodass } B = -1 \text{ ist.} \]

Wenn $x= -1$ ist, erhalten wir:

\[ -12 = A(-2 \times 2) + (B \times 0) + (C \times 0);\quad \text{daher } A = 3. \]

Wenn $x = -3$ ist, erhalten wir:

\[ 16 = (A \times 0) + (B \times 0) + C(-2 \times -4);\quad \text{daher } C = 2. \]

Also sind die Teilbrüche dann:

\[ \frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+3}, \]

was deutlicher einfacher nach x differenziert werden kann, als der komplizierte Ausdruck, aus dem sie abgeleitet wurden.

Fall II. Wenn einige der Faktoren des Nenners in der Form $x^{2}$ vorliegen, und sie sich nicht einfach in Faktoren zerlegen lassen, dann kann es sein, dass der dazugehörige Zähler einen Term mit x enthält, zum Beispiel eine Zahl wie etwa 2x; und daher ist notwendig diesen unbekannten Zähler nicht allein durch das Symbol A, sondern durch $Ax + B$ darzustellen; der Rest der Berechnung erfolgt wie zuvor.

Probieren Sie zum Beispiel:

\[ \frac{-x^2 - 3}{(x^2+1)(x+1)}. \\ \frac{-x^2 - 3}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x+1};\\ -x^2 - 3 = (Ax + B)(x+1) + C(x^2+1). \]

Wenn wir $x= -1$ setzen und erhalten $-4 = C \times 2$; und damit ist $C = -2$;

\begin{align*} \text{daher } \; -x^2 - 3 &= (Ax + B)(x + 1) - 2x^2 - 2; \\ \text{und } \; x^2 - 1 &= Ax(x+1) + B(x+1). \end{align*}

Setze $x = 0$, und wir erhalten $-1 = B$;

daher \[ x^2 - 1 = Ax(x + 1) - x - 1;\quad \text{bzw. } x^2 + x = Ax(x+1); \\ \text{und }\; x+1 = A(x+1), \]

sodass $A=1$ ist, und die Teilbrüche sind:

\[ \frac{x-1}{x^2+1} - \frac{2}{x+1}. \]

Nehmen Sie als weiteres Beispiel den Bruch

\[ \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)}. \]

Wir erhalten

\begin{align*} \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)} &= \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2}\\ &= \frac{(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2+2)}. \end{align*}

In diesem Fall ist die Bestimmung von A, B, $C$, D nicht so einfach. Einfacher geht man wie folgt vor: Da der gegebene Bruch und der durch Addition der Teilbrüche gefundene Bruch gleich sind und gleiche Nenner haben, müssen auch die Zähler gleich sein. In einem solchen Fall und für solche algebraischen Ausdrücke wie diese, mit denen wir es hier zu tun haben, sind die Koeffizienten derselben Potenzen von x gleich und haben dasselbe Vorzeichen. Diese Methode wird als Koeffizientenvergleich bezeichnet.

Daher, da

\begin{align*} x^3-2 &= (Ax+B)(x^2+2) + (Cx+D)(x^2+1) \\ &= (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (2A+C)x + 2B+D, \end{align*}

ist, haben wir $1=A+C$; $0=B+D$ (die Koeffizienten von x² im linken Ausdruck sind null); $0=2A+C$; und $-2=2B+D$. Das sind vier Gleichungen, aus denen wir leicht $A=-1$; $B=-2$; $C=2$; $D=0$ erhalten; so dass die Partialbrüche $\dfrac{2(x+1)}{x^2+2} - \dfrac{x+2}{x^2+1}$ sind.

Diese Methode kann immer verwendet werden; die zuerst gezeigte Methode ist aber im Fall, dass es nur Faktoren in x gibt, die schnellste.

Fall III. Wenn sich unter den Faktoren des Nenners, potenzierte Faktoren befinden, muss bei den Teilbrüchen berücksichtigt werden, das diese im Nenner die verschiedenen Potenzen dieses Faktors bis zum Höchsten haben beziehungsweise bis zur höchsten Potenz. Zum Beispiel müssen wir beim Teilen des Bruchs $\dfrac{3x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$ die Möglichkeit berücksichtigen, dass der Nenner $x+1$ sowie $(x+1)^2$ und $(x-2)$ seien kann.

Da der Zähler des Bruchs, dessen Nenner $(x+1)^2$ ist, Terme in x enthalten kann, müssen wir dies beim Zähler in der Form $Ax+B$ berücksichtigen, sodass:

\[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{Ax+B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{x-2}. \]

Wenn wir jedoch in diesem Fall versuchen, A, B, $C$ und D zu finden, scheitern wir, weil wir vier Unbekannte erhalten; und wir haben nur drei Beziehungen, die sie verbinden:

\[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{x-1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-2}. \]

Aber wenn wir stattdessen

\[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{A}{(x+1)^2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-2}, \]

schreiben, erhalten wir

\[ 3x^2 - 2x+1 = A(x-2) + B(x+1)(x-2) + C(x+1)^2, \]

was uns $C=1$ für $x=2$ gibt. Wenn wir $C$ durch seinen Wert ersetzen, umformen, (gleiche) Terme zusammenfassen, und durch $x-2$ teilen, erhalten wir $-2x= A+B(x+1)$, was $A=-2$ für $x=-1$ liefert. Wenn wir A durch seinen Wert ersetzen, erhalten wir:

\[ 2x = -2+B(x+1). \]

Dann ist $B=2$; sodass die Partialbrüche / Teilbrüche:

\[ \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2}, \]

anstelle von $\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{x-1}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x-2}$, die oben als die Brüche angegeben wurden, aus denen $\dfrac{3x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$ erhalten wurde.

Das Rätsel löst sich auf, wenn wir erkennen, dass $\dfrac{x-1}{(x+1)^2}$ selbst in die beiden Brüche $\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{2}{(x+1)^2}$ zerlegt werden kann, so dass die drei angegebenen Brüche äquivalent sind zu

\[ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2}, \]

das sind die erhaltenen Teilbrüche.

Wir sehen, dass es ausreicht, in jedem Zähler einen numerischen Term zu berücksichtigen, und wir erhalten letztendlich / am Ende immer die Partialbrüche.

Wenn der Nenner jedoch eine Potenz eines Faktors von x² enthält, müssen die entsprechenden Zähler die Form $Ax+B$ haben; zum Beispiel:

\[ \frac{3x-1}{(2x^2-1)^2(x+1)} = \frac{Ax+B}{(2x^2-1)^2} + \frac{Cx+D}{2x^2-1} + \frac{E}{x+1}, \] das gibt \[ 3x - 1 = (Ax + B)(x + 1) + (Cx + D)(x + 1)(2x^2 - 1) + E(2x^2 - 1)^2. \]

Für $x = -1$ erhalten wir $E = -4$. Einsetzen, umformen, gleichartige Terme zusammenfassen, und durch $x + 1$ teilen, und wir erhalten:

\[ 16x^3 - 16x^2 + 3 = 2Cx^3 + 2Dx^2 + x(A - C) + (B - D). \]

Daher ist $2C = 16$ und dem entsprechend $C = 8$; $2D = -16$ und $D = -8$; $A - C = 0$ bzw. $A - 8 = 0$ und $A = 8$, und schließlich, $B - D = 3$ bzw. $B = -5$. Damit erhalten wir als Partialbrüche :

\[ \frac{(8x - 5)}{(2x^2 - 1)^2} + \frac{8(x - 1)}{2x^2 - 1} - \frac{4}{x + 1}. \]

Es ist sinnvoll, die erhaltenen Ergebnisse zu überprüfen. Der einfachste Weg ist, x durch einen einzelnen Wert zu ersetzen, sagen wir $+1$, sowohl im gegebenen Ausdruck als auch in den erhaltenen Teilbrüchen.

Wenn der Nenner nur eine Potenz eines einzelnen Faktors enthält, ist eine sehr schnelle Methode wie folgt:

Nehmen Sie zum Beispiel $\dfrac{4x + 1}{(x + 1)^3}$, sei $x + 1 = z$; dann ist $x = z - 1$.

Einsetzen und wir erhalten

\[ \frac{4(z - 1) + 1}{z^3} = \frac{4z - 3}{z^3} = \frac{4}{z^2} - \frac{3}{z^3}. \]

Die Teilbrüche sind also

\[ \frac{4}{(x + 1)^2} - \frac{3}{(x + 1)^3}. \]

Anwendung auf Differenzierung. Angenommen wir möchten den folgenden Ausdruck $y = \dfrac{5-4x}{6x^2 + 7x - 3}$ differenzieren; dann haben wir:

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= -\frac{(6x^2+7x-3) \times 4 + (5 - 4x)(12x + 7)}{(6x^2 + 7x - 3)^2}\\ &= \frac{24x^2 - 60x - 23}{(6x^2 + 7x - 3)^2}. \end{align*}

Wenn wir den gegeben Ausdruck aufspalten in

\[ \frac{1}{3x-1} - \frac{2}{2x+3}, \]

erhalten wir

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{(3x-1)^2} + \frac{4}{(2x+3)^2}, \]

das ist wirklich das gleiche Ergebnis wie oben, aufgeteilt in Teilbrüche. Aber die Aufspaltung, wenn sie nach der Differenzierung durchgeführt wird, ist komplizierter, wie leicht zu sehen ist. Wenn wir uns mit der Integration solcher Ausdrücke beschäftigen, wird uns die Aufspaltung in Teilbrüche ein wertvolles Hilfsmittel sein (siehe hier).

Übung XI

Teilen Sie die Brüche auf:

(1) $\dfrac{3x + 5}{(x - 3)(x + 4)}$.

(2) $\dfrac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)}$.

(3) $\dfrac{3x + 5}{x^2 + x - 12}$.

(4) $\dfrac{x + 1}{x^2 - 7x + 12}$.

(5) $\dfrac{x - 8}{(2x + 3)(3x - 2)}$.

(6) $\dfrac{x^2 - 13x + 26}{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}$.

(7) $\dfrac{x^2 - 3x + 1}{(x - 1)(x + 2)(x - 3)}$.

(8) $\dfrac{5x^2 + 7x + 1}{(2x + 1)(3x - 2)(3x + 1)}$.

(9) $\dfrac{x^2}{x^3 - 1}$.

(10) $\dfrac{x^4 + 1}{x^3 + 1}$.

(11) $\dfrac{5x^2 + 6x + 4}{(x +1)(x^2 + x + 1)}$.

(12) $\dfrac{x}{(x - 1)(x - 2)^2}$.

(13) $\dfrac{x}{(x^2 - 1)(x + 1)}$.

(14) $\dfrac{x + 3}{ (x +2)^2(x - 1)}$.

(15) $\dfrac{3x^2 + 2x + 1}{(x + 2)(x^2 + x + 1)^2}$.

(16) $\dfrac{5x^2 + 8x - 12}{(x + 4)^3}$.

(17) $\dfrac{7x^2 + 9x - 1}{(3x - 2)^4}$.

(18) $\dfrac{x^2}{(x^3 - 8)(x - 2)}$.

Antworten

(1) $\dfrac{2}{ x - 3} + \dfrac{1}{ x + 4}$.

(2) $\dfrac{1}{ x - 1} + \dfrac{2}{ x - 2}$.

(3) $\dfrac{2}{ x - 3} + \dfrac{1}{ x + 4}$.

(4) $\dfrac{5}{ x - 4} - \dfrac{4}{ x - 3}$.

(5) $\dfrac{19}{13(2x + 3)} - \dfrac{22}{13(3x - 2)}$.

(6) $\dfrac{2}{ x - 2} + \dfrac{4}{ x - 3} - \dfrac{5}{ x - 4}$.

(7) $\dfrac{1}{6(x - 1)} + \dfrac{11}{15(x + 2)} + \dfrac{1}{10(x - 3)}$.

(8) $\dfrac{7}{9(3x + 1)} + \dfrac{71}{63(3x - 2)} - \dfrac{5}{7(2x + 1)}$.

(9) $\dfrac{1}{3(x - 1)} + \dfrac{2x + 1}{3(x^2 + x + 1)}$.

(10) $x + \dfrac{2}{3(x + 1)} + \dfrac{1 - 2x}{3(x^2 - x + 1)}$.

(11) $\dfrac{3}{(x + 1)} + \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$.

(12) $\dfrac{1}{ x - 1} - \dfrac{1}{ x - 2} + \dfrac{2}{(x - 2)^2}$.

(13) $\dfrac{1}{4(x - 1)} - \dfrac{1}{4(x + 1)} + \dfrac{1}{2(x + 1)^2}$.

(14) $\dfrac{4}{9(x - 1)} - \dfrac{4}{9(x + 2)} - \dfrac{1}{3(x + 2)^2}$.

(15) $\dfrac{1}{ x + 2} - \dfrac{x - 1}{ x^2 + x + 1} - \dfrac{1}{(x^2 + x + 1)^2}$.

(16) $\dfrac{5}{ x + 4} -\dfrac{32}{(x + 4)^2} + \dfrac{36}{(x + 4)^3}$.

(17) $\dfrac{7}{9(3x - 2)^2} + \dfrac{55}{9(3x - 2)^3} + \dfrac{73}{9(3x - 2)^4}$.

(18) $\dfrac{1}{6(x - 2)} + \dfrac{1}{3(x - 2)^2} - \dfrac{x}{6(x^2 + 2x + 4)}$.

Differential einer inversen Funktion

Betrachten Sie die Funktion $y = 3x$; sie kann in der Form $x = \dfrac{y}{3}$ ausgedrückt werden; diese letztere Form wird als die inverse Funktion der ersten (ursprünglichen) Form bezeichnet.

Wenn $y = 3x$,   $\dfrac{dy}{dx} = 3$; wenn $x=\dfrac{y}{3}$,   $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{3}$, und wir sehen das

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ }\quad \text{bzw. }\quad \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dy} = 1. \]

Betrachten Sie $y= 4x^2$, $\dfrac{dy}{dx} = 8x$; die inverse Funktion (Umkehrfunktion) ist

\[ x = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2},\quad \text{und}\quad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{4\sqrt{y}} = \frac{1}{4 \times 2x} = \frac{1}{8x}. \] \begin{align*} \text{Auch hier}\; \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dy} &= 1. \end{align*}

Es kann gezeigt werden, dass man für alle Funktionen, die in die inverse Form gebracht werden können, man immer schreiben kann

\[ \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dy} = 1\quad \text{bzw. }\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ }. \]

Daraus folgt, dass bei einer gegebenen Funktion, wenn es einfacher ist, die Umkehrfunktion zu differenzieren, dies möglich ist und der Kehrwert des Differentialkoeffizienten der Umkehrfunktion den Differentialkoeffizienten der gegebenen Funktion selbst ergibt.

Angenommen, wir wollen $y=\sqrt[2]{\dfrac{3}{x}-1}$ differenzieren. Wir haben einen Weg gesehen, dies zu tun, indem wir $u=\dfrac{3}{x}-1$ schreiben und $\dfrac{dy}{du}$ und $\dfrac{du}{dx}$ finden. Dies gibt

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{\dfrac{3}{x} -1}}. \]

Wenn wir die Vorgehensweise bei dieser Methode vergessen haben oder unser Ergebnis auf andere Weise überprüfen wollten, oder aus anderen Gründen die gewöhnliche Methode nicht verwenden könnten, um den Differentialkoeffizienten zu erhalten, können wir wie folgt vorgehen: Die Umkehrfunktion ist $x=\dfrac{3}{1+y^2}$.

\[ \frac{dx}{dy} = -\frac{3 \times 2y}{(1+y^2)^2} = -\frac{6y}{(1+y^2)^2}; \] also \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ } = -\frac{(1+y^2)^2}{6y} = -\frac{\left(1+\dfrac{3}{x} -1\right)^2}{6 \times \sqrt[2]{\dfrac{3}{x}-1}} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{\dfrac{3}{x}-1}}. \]

Nehmen wir, als weiteres Beispiel, die Funktion $y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\theta +5}}$.

Die Umkehrfunktion ist $\theta=\dfrac{1}{y^3}-5$ bzw. $\theta=y^{-3}-5$, und

\[ \frac{d\theta}{dy} = -3y^{-4} = -3\sqrt[3]{(\theta + 5)^4}. \]

Daraus folgt, dass $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{3\sqrt{(\theta +5)^4}}$, wie man es sonst auch hätte finden können.

Wir werden dieses Ausweichmanöver später am nützlichsten finden; in der Zwischenzeit sollten Sie sich damit vertraut machen, indem Sie die Ergebnisse der Übungen I (hier), Nr. 5, 6, 7; Beispiele (hier), Nr. 1, 2, 4; und Übungen VI. (hier), Nr. 1, 2, 3 und 4 überprüfen.

Sie werden sicherlich aus diesem und dem vorhergehenden Kapitel erkennen, dass das Calculus in vielerlei Hinsicht eher eine Kunst als eine Wissenschaft ist: eine Kunst, die man sich nur aneignen kann, wie alle anderen Künste, durch Praxis. Daher sollten Sie viele Beispiele bearbeiten und sich andere Beispiele suchen, um zu sehen, ob Sie sie ausarbeiten können, bis sie mit den verschiedenen Kunstgriffen vertraut sind.

Über den wahren Zinseszins und das Gesetz des organischen Wachstums

Es gebe eine Menge, die so wächst, dass der Zuwachs ihres Wachstums während einer bestimmten Zeit immer proportional zu ihrer eigenen Größe ist. Dies ähnelt dem Verfahren, Zinsen für Geld zu einem festen Zinssatz zu berechnen; denn je größer das Kapital, desto höher die Zinsen in einer bestimmten Zeit.

Nun müssen wir bei unserer Berechnung deutlich zwischen zwei Fällen unterscheiden, je nachdem die Berechnung durch das erfolgt, was die Rechenbücher einfachen Zins nennen, oder durch das, was sie Zinseszins nennen. Denn im ersten Fall bleibt das Kapital fest, während im letztem die Zinsen dem Kapital hinzugefügt werden, das sich also durch aufeinanderfolgende Hinzufügungen erhöht.

Zum einfachen Zins. Betrachten Sie einen konkreten Fall. Lassen Sie das Kapital zu Beginn 100 Euro sein, und lassen Sie den Zinssatz 10 Prozent pro Jahr sein. Dann beträgt der Zuwachs für den Eigentümer des Kapitals 10 Euro jedes Jahr. Lassen Sie ihn weiterhin jedes Jahr seine Zinsen beziehen und sie horten, indem er sie in einen Strumpf steckt oder in seinem Safe einschließt. Wenn er dann 10 Jahre lang weitermacht, wird er am Ende dieser Zeit 10 Teilbeträge von je 10 Euro beziehungsweise in Summe 100 Euro erhalten haben, was zusammen mit den ursprünglichen 100 Euro eine Summe von 2 Euro ergibt. Sein Vermögen wird sich in 10 Jahren verdoppelt haben. Wäre der Zinssatz 5 Prozent gewesen, hätte er $20$ Jahre lang horten müssen, um sein Vermögen zu verdoppeln. Wäre er nur 2 Prozent gewesen, hätte er $50$ Jahre lang horten müssen. Es ist leicht, einzusehen, dass er, wenn der Wert der jährlichen Zinsen $\dfrac{1}{n}$ des Kapitals beträgt, n Jahre lang weiter horten muss, um sein Vermögen zu verdoppeln.

Wenn y die ursprüngliche Summe des Kapitals ist, und der jährliche Zins ist $\dfrac{y}{n}$, dann wird am Ende von n Jahren sein Vermögen:

\[ y + n\dfrac{y}{n} = 2y \text{ betragen.} \]

(2) Mit Zinseszins. Wie zuvor, so möge der Eigentümer auch hier mit einem Kapital von 100 Euro beginnen, das jährlich mit 10 Prozent verzinst wird; aber, anstatt die Zinsen zu horten, möge man sie jedes Jahr dem Kapital hinzufügen, so dass das Kapital von Jahr zu Jahr wächst. Dann, am Ende des ersten Jahres, wird das Kapital auf $110$ Euro angewachsen sein; und im zweiten Jahr (immer noch zu 10%) wird dieses (gewachsene) Kapital $11$ Euro Zinsen einbringen. Der Eigentümer wird das dritte Jahr mit $121$ Euro beginnen, und die Zinsen darauf werden $12,1$ Euro betragen; so dass er das vierte Jahr mit $133,1$ Euro beginnt, und so weiter. Es ist leicht, auszurechnen, dass am Ende der zehn Jahre das Gesamtkapital auf $259,37$ Euro gewachsen sein wird. In der Tat sehen wir, dass am Ende eines jeden Jahres jeder Euro $\tfrac{1}{10}$ Euro eingebracht hat, und daher, wenn dies immer weiter addiert und jedes Jahr das Kapital mit dem Faktor $\tfrac{11}{10}$ multipliziert wird; und wenn es für zehn Jahre fortgesetzt wird, d.h. es wird zehnmal mit diesem Faktor multipliziert, wird das ursprüngliche Kapital mit $2,59374$ multipliziert. Lassen Sie uns dies in Symbole umsetzen. Setzen Sie $y_0$ für das ursprüngliche Kapital; $\dfrac{1}{n}$ für den Bruchteil, der bei jeder der n Operationen (Multiplikation mit dem Faktor) hinzukommt; und $y_n$ für den Wert des Kapitals am Ende der n-ten Operation. Dann ergibt sich folgender Ausdruck:

\[ y_n = y_0\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Aber diese Art, den Zinseszins einmal im Jahr zu berechnen, ist wirklich nicht ganz gerecht; denn schon im ersten Jahr hätten die 100 Euro wachsen müssen. Am Ende eines halben Jahres hätten es mindestens $105$ Euro sein müssen, und es wäre sicherlich gerechter gewesen, wenn die Zinsen für die zweite Jahreshälfte auf $105$ Euro berechnet worden wären. Dies wäre gleichbedeutend damit, dass man von 5% pro Halbjahr; und $20$ Operationen bei denen das Kapital jeweils mit $\tfrac{21}{20}$ multipliziert wird, ausgeht. Wenn auf diese Weise gerechnet wird, würde das Kapital am Ende von zehn Jahren auf $265,32$ Euro angewachsen sein; da

\[ (1 + \tfrac{1}{20})^{20} = 2,653. \]

Aber selbst dann ist der Vorgang noch nicht ganz gerecht; denn am Ende des ersten Monats wird ein gewisser Zins erwirtschaftet sein; und eine halbjährliche Rechnung setzt voraus, dass das Kapital jeweils sechs Monate lang fest bleibt. Nehmen wir an, wir teilen das Jahr in 10 Teile und rechnen für jedes Zehntel des Jahres einen Zins von einem Prozent (1\%). Wir haben nun 100 Operationen, die sich über die zehn Jahre erstrecken; oder

\[ y_n = 100 \text{Euro }\left( 1 + \tfrac{1}{100} \right)^{100}; \]

was $270,48$ Euro ergibt.

Aber das ist noch nicht das Ende. Lassen Sie uns die Jahre in $1000$ Perioden teilen, wobei jede $\frac{1}{100}$ von einem Jahr sei; der Zins für eine solche Periode ist dann $\frac{1}{10}$ Prozent beziehungsweise 1 Promille; dann

\[ y_n = 100 \text{Euro }\left( 1 + \tfrac{1}{1000} \right)^{1000}; \]

was $271,69$ Euro ergibt.

Gehen Sie noch weiter ins Detail und teilen Sie die zehn Jahre in $10.000$ Teile, jedes $\frac{1}{1000}$ eines Jahres, mit Zinsen von $\frac{1}{100}$ von 1 Prozent. Dann

\[ y_n = 100 \text{Euro }\left( 1 + \tfrac{1}{10,000} \right)^{10,000} \]

beträgt $271,81$ Euro.

Schließlich wird man sehen, dass das, was wir zu finden versuchen, in Wirklichkeit der letzte Wert des Ausdrucks $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ ist, der, wie wir sehen, größer als 2 ist; und der, wenn wir n größer und größer nehmen, einem bestimmten Grenzwert immer näher kommt. Wie groß man auch immer n macht, der Wert dieses Ausdrucks kommt der Zahl immer näher:

\[ 2.71828\ldots \]

eine Zahl, die Sie nicht vergessen dürfen.

Lassen Sie uns diese Dinge geometrisch veranschaulichen. In Abbildung 36 steht $OP$ für den ursprünglichen Wert. $OT$ ist die gesamte Zeit, in der der Wert wächst. Sie ist in 10 Perioden unterteilt, in denen jeweils ein gleicher Schritt nach oben erfolgt. Hier ist $\dfrac{dy}{dx}$ eine Konstante; und wenn jeder Schritt nach oben $\frac{1}{10}$ des ursprünglichen $OP$ ist, dann wird durch 10 solcher Schritte die Höhe verdoppelt. Hätten wir $20$ Schritte gemacht, jeder von der Hälfte der gezeigten Höhe, so wäre am Ende die Höhe immer noch gerade verdoppelt. Oder n solche Schritte, jeder von $\dfrac{1}{n}$ der ursprünglichen Höhe $OP$, würden ausreichen, um die Höhe zu verdoppeln. Dies ist der Fall des einfachen Zinses. Hier wächst 1, bis es zu 2 wird.

In Abbildung 37 haben wir die entsprechende Darstellung der geometrischen Progression. Jede der aufeinanderfolgenden Ordinaten soll $1 + \dfrac{1}{n}$ sein, also $\dfrac{n+1}{n}$ mal so hoch wie ihr Vorgänger. Die Schritte nach oben sind nicht gleich, denn jeder Schritt nach oben ist nun $\dfrac{1}{n}$ der Ordinate an diesem Teil der Kurve. Hätten wir buchstäblich 10 Schritte, mit $\left(1 + \frac{1}{10} \right)$ für den Multiplikationsfaktor, wäre die Endsumme $(1 + \t frac{1}{10})^{10}$ oder $2,594$ mal das ursprüngliche 1. Nehmen wir aber n hinreichend groß (und das entsprechende $\dfrac{1}{n}$ hinreichend klein), dann ist der Endwert $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$, auf den die Einheit anwächst, $2,71828$.

Epsilon. Dieser geheimnisvollen Zahl $2,7182818$ usw. haben die Mathematiker als Symbol den griechischen Buchstaben $\epsilon$ (ausgesprochen Epsilon) zugeordnet. Alle Schulkinder wissen, dass der griechische Buchstabe $\pi$ (genannt pi) für $3,141592$ usw. steht; aber wie viele von ihnen wissen, dass Epsilon $2,71828$ bedeutet? Dabei ist es eine noch wichtigere Zahl als $\pi$!

Hinweis: Heutzutage wird die Zahl $\epsilon$ als eulersche Zahl (benannt nach dem Mathematiker Leonhard Euler) bezeichnet.

Was also ist Epsilon?

Angenommen, wir würden 1 mit einfachem Zins wachsen lassen, bis es 2 geworden ist; dann, wenn wir 1 mit demselben Nominalzins und für dieselbe Zeit mit echtem Zinseszins wachsen lassen würden, statt mit einfachem, würde es auf den Wert Epsilon wachsen.

Diesen Vorgang, in jedem Augenblick proportional zur Größe in diesem Augenblick zu wachsen, nennen manche Leute eine logarithmische Wachstumsrate. Eine logarithmische Wachstumsrate ist diejenige Rate, die in einer Zeiteinheit 1 auf $2,718281$ anwachsen lässt. Man könnte sie auch als organische Wachstumsrate bezeichnen: Denn es ist charakteristisch für organisches Wachstum (unter bestimmten Umständen), da zu einer bestimmten Zeit der Zuwachs des Organismus proportional zur Größe des Organismus selbst ist. Der umgekehrte Prozess des Zerfallens basiert auch oft auf $\epsilon$.

Wenn wir 100% nehmen als Einheitsrate des Zinssatzes und jede feste Periode als Zeiteinheit, dann ist das Ergebnis, wenn man 1 arithmetisch zur Einheitsrate des Zinssatzes, für eine Zeiteinheit, wachsen lässt, 2, während das Ergebnis, wenn wir 1 logarithmisch mit der Einheitsrate für die gleiche Zeit wachsen lassen, $2,71828\ldots$ ist.

Ein wenig mehr über Epsilon. Wir haben gesehen, dass wir wissen müssen, welchen Wert der Ausdruck $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ erreicht, wenn n unendlich groß wird. Arithmetisch sind hier eine Menge von Werten tabelliert (die jeder mit Hilfe einer gewöhnlichen Logarithmentabelle ausrechnen kann), die man erhält, wenn man $n = 2$; $n = 5$; $n = 10$; und so weiter, bis $n = 10 000$ annimmt.

\begin{alignat*}{2} &(1 + \tfrac{1}{2})^2 &&= 2,25. \\ &(1 + \tfrac{1}{5})^5 &&= 2,48832. \\ &(1 + \tfrac{1}{10})^{10} &&= 2,59374. \\ &(1 + \tfrac{1}{20})^{20} &&= 2,65329. \\ &(1 + \tfrac{1}{100})^{100} &&= 2,70481. \\ &(1 + \tfrac{1}{1000})^{1000} &&= 2,71692. \\ &(1 + \tfrac{1}{10000})^{10000} &&= 2,71814. \end{alignat*}

Es lohnt sich jedoch, einen anderen Weg zu finden, diese immens wichtige Zahl zu berechnen. Dementsprechend bedienen wir uns des binomischen Theorems und erweitern den Ausdruck $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ auf diese bekannte Weise.

Der binomische Lehrsatz gibt die Regel, dass:

\begin{align*} (a + b)^n &= a^n + n \dfrac{a^{n-1} b}{1!} + n(n - 1) \dfrac{a^{n-2} b^2}{2!} \\ & \phantom{= a^n\ } + n(n -1)(n - 2) \dfrac{a^{n-3} b^3}{3!} + \text{etc}. \\ \end{align*}

Setzen wir $a = 1$ und $b = \dfrac{1}{n}$, dann erhalten wir:

\begin{align*} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} \left(\dfrac{n - 1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!} \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{n^2} \\ &\phantom{= 1 + 1\ } + \dfrac{1}{4!} \dfrac{(n - 1)(n - 2)(n - 3)}{n^3} + \text{etc}. \end{align*}

Nun, wenn wir annehmen, dass n unendlich groß wird, sagen wir eine Milliarde oder eine Milliarde Milliarden, dann werden $n - 1$, $n - 2$ und $n - 3$ usw. alle sinnvollerweise gleich n sein; und dann wird die Reihe

\[ \epsilon = 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} + \text{etc}.\ldots = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \]

Indem wir diese schnell konvergierende Reihe zu beliebig vielen Termen nehmen, können wir die Summe bis zu jedem gewünschten Punkt der Genauigkeit ausrechnen. Hier ist die Arbeit für zehn Terme:

	$1.000000$
geteilt durch 1!	$1.000000$
geteilt durch 2!	$0.500000$
geteilt durch 3!	$0.166667$
geteilt durch 4!	$0.041667$
geteilt durch 5!	$0.008333$
geteilt durch 6!	$0.001389$
geteilt durch 7!	$0.000198$
geteilt durch 8!	$0.000025$
geteilt durch 9!	$0.000002$
Summe	$2.718281$

$\epsilon$ ist inkommensurabel mit 1 und ähnelt $\pi$ insofern, als es eine endlose, sich nicht wiederholende Dezimalzahl ist.

Hinweis: Mit n! bezeichnet man das Produkt aller positiven ganzen Zahlen, die kleiner oder gleich n sind. Beispielsweise $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Der Wert von $0!$ ist 1.

Die Exponentialreihe. Wir werden noch eine weitere Reihe brauchen.

Lassen Sie uns, wiederum unter Verwendung des binomischen Satzes, den Ausdruck $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{nx}$ erweitern, das ist dasselbe wie $\epsilon^x$, wenn wir n unendlich groß machen.

\begin{align*} \epsilon^x &= 1^{nx} + nx \frac{1^{nx-1} \left(\dfrac{1}{n}\right)}{1!} + nx(nx - 1) \frac{1^{nx - 2} \left(\dfrac{1}{n}\right)^2}{2!} \\ & \phantom{= 1^{nx}\ } + nx(nx - 1)(nx - 2) \frac{1^{nx-3} \left(\dfrac{1}{n}\right)^3}{3!} + \text{etc}.\\ &= 1 + x + \frac{1}{2!} \cdot \frac{n^2x^2 - nx}{n^2} + \frac{1}{3!} \cdot \frac{n^3x^3 - 3n^2x^2 + 2nx}{n^3} + \text{etc}. \\ &= 1 + x + \frac{x^2 -\dfrac{x}{n}}{2!} + \frac{x^3 - \dfrac{3x^2}{n} + \dfrac{2x}{n^2}}{3!} + \text{etc}. \end{align*}

Wenn man aber n unendlich groß macht, vereinfacht sich das zu folgendem:

\[ \epsilon^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \text{etc.}\dots = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!} \]

Diese Reihe wird die Exponentialreihe genannt.

Der große Grund, warum $\epsilon$ als wichtig angesehen wird, ist der, dass $\epsilon^x$ eine Eigenschaft besitzt, die keine andere Funktion von x besitzt, dass nämlich bei ihrer Differenzierung ihr Wert unverändert bleibt; oder, mit anderen Worten, ihr Differentialkoeffizient ist derselbe wie sie selbst. Das kann man sofort sehen, wenn man sie nach x differenziert, also:

\begin{align*} \frac{d(\epsilon^x)}{dx} &= 0 + 1 + \frac{2x}{1 \cdot 2} + \frac{3x^2}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{4x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \\ &\phantom{= 0 + 1 + \frac{2x}{1 \cdot 2} + \frac{3x^2}{1 \cdot 2 \cdot 3}\ } + \frac{5x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} + \text{etc}. \\ \text{ or } &= 1 + x + \frac{x^2}{1 \cdot 2} + \frac{x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \text{etc}., \end{align*}

das ist genau das gleiche wie die ursprüngliche Reihe.

Nun hätten wir auch den umgekehrten Weg gehen und sagen können: Weiter; lasst uns eine Funktion von x finden, so dass ihr Differentialkoeffizient derselbe ist wie sie selbst. Oder gibt es irgendeinen Ausdruck, der nur Potenzen von x einbezieht, der durch Differenzierung unverändert bleibt? Lassen Sie uns annehmen es gibt einen solchen Ausdruck. Und ihn in der Form des folgenden allgemeinen Ausdrucks schreiben können,

\begin{align*} y &= A + Bx + Cx^2 + Dx^3 + Ex^4 + \text{etc}.,\\ \end{align*}

(wobei die Koeffizienten A, B, $C$ usw. noch bestimmt werden müssen), und differenzieren diesen Ausdruck.

\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= B + 2Cx + 3Dx^2 + 4Ex^3 + \text{etc}. \end{align*}

Wenn nun dieser neue Ausdruck wirklich derselbe sein soll wie der, aus dem er abgeleitet wurde, ist klar, dass A muss $=B$; dass $C=\dfrac{B}{2}=\dfrac{A}{1 \cdot 2}$; dass $D = \dfrac{C}{3} = \dfrac{A}{1 \cdot 2 \cdot 3}$; dass $E = \dfrac{D}{4} = \dfrac{A}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}$, usw.

Wenn wir alle Koeffizienten durch einen nur von A abhängigen Ausdruck ersetzen und das A ausklammern erhalten wir den folgenden Ausdruck:

\[ y = A\left(1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 \cdot 2} + \dfrac{x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \text{etc}.\right). \]

Wenn wir nun der weiteren Einfachheit halber $A = 1$ nehmen, haben wir

\[ y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 \cdot 2} + \dfrac{x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \text{etc}. \]

Wenn man sie beliebig oft differenziert, erhält man immer wieder die gleiche Reihe.

Wenn wir nun den speziellen Fall von $A=1$ nehmen und die Reihe auswerten, erhalten wir einfach

\begin{align*} \text{wenn } x &= 1,\quad & y &= 2,718281 \text{ etc.}; & \text{das ist, } y &= \epsilon; \\ \text{wenn } x &= 2,\quad & y &=(2,718281 \text{ etc.})^2; & \text{das ist, } y &= \epsilon^2; \\ \text{wenn } x &= 3,\quad & y &=(2,718281 \text{ etc.})^3; & \text{das ist, } y &= \epsilon^3; \end{align*}

Und daher

\[ \text{wenn } x=x,\quad y=(2,718281 \text{ etc}.)^x;\quad\text{das ist, } y=\epsilon^x, \]

Und damit ist letztlich gezeigt das

\[ \epsilon^x = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 \cdot 2} + \dfrac{x^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \text{etc}. \]

[Hinweis.-Wie man Exponentialwerte liest . Für diejenigen, die keinen Tutor zur Hand haben, kann es nützlich sein zu sagen, dass $\epsilon^x$ als Epsilon hoch x beziehungsweise als e hoch x gelesen wird; oder manche Leute lesen es als exp x. Also wird $\epsilon^{pt}$ Epsilon hoch der p-t-Potenz oder exp pt gelesen. Nehmen Sie einige ähnliche Ausdrücke: - So wird $\epsilon^{-2}$ e hoch minus zwei oder exp minus zwei gelesen. $\epsilon ^{-ax}$ wird e hoch minus ax oder exp minus ax gelesen.]

Natürlich bleibt $\epsilon^y$ unverändert, wenn nach y differenziert wird. Auch $\epsilon^{ax}$, das gleich $(\epsilon^a)^x$ ist, wird, wenn es nach x differenziert wird, $a\epsilon^{ax}$ sein, weil $a $ eine Konstante ist.

Natürliche oder Napiersche Logarithmen.

Ein weiterer Grund, warum $\epsilon$ wichtig ist, ist, dass es von Napier, dem Erfinder der Logarithmen, zur Grundlage seines Systems gemacht wurde. Wenn y der Wert von $\epsilon^x$ ist, dann ist x der Logarithmus zur Basis $\epsilon$ von y. Oder, wenn

\begin{align*} y &= \epsilon^x, \\ \text{dann}\; x &= \log_\epsilon y. \end{align*}

Die beiden Kurven in Abb. 38 und Abb. 39 stellen diese Gleichungen dar.

Die Punkte sind hier berechnet:

Für Abbildung 38:

x	0	$0.5$	1	$1.5$	2
y	1	$1.65$	$2.71$	$4.50$	$7.39$

Für Abbildung 39:

y	1	2	3	4	$8$
x	0	$0.69$	$1.10$	$1.39$	$2.08$

Es ist ersichtlich, dass die Berechnungen zwar unterschiedliche Punkte für die Darstellung ergeben, das Ergebnis jedoch identisch ist. Die beiden Gleichungen bedeuten wirklich dasselbe.

Da viele Personen, die gewöhnliche Logarithmen verwenden, die zur Basis von 10 anstelle von $\epsilon$ berechnet werden, mit den natürlichen Logarithmen nicht vertraut sind, kann es sich lohnen, ein Wort darüber zu verlieren, dass die gewöhnliche Regel, dass das Addieren von Logarithmen den Logarithmus des Produkts ergibt, immer noch gilt;

\[ \log_\epsilon a + \log_\epsilon b = \log_\epsilon ab. \]

Auch die Regel für Potenzen gilt

\[ n \times \log_\epsilon a = \log_\epsilon a^n. \] Aber da 10 nicht mehr die Basis sind, kann man nicht mit 100 oder $1000$ multiplizieren, indem man einfach 2 oder 3 zum Index hinzufügt. Man kann den natürlichen Logarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus ändern, indem man ihn einfach mit $0.4343$ multipliziert;

\begin{align*} \log_{10} x &= 0.4343 \times \log_{\epsilon} x, \\ \text{ und umgekehrt,}\; \log_{\epsilon} x &= 2.3026 \times \log_{10} x. \end{align*}

Eine nützliche Tabelle mit napierschen Logarithmen

(Auch natürliche Logarithmen oder hyperbolische Logarithmen genannt)

Nummer	$\log_{\epsilon}$		Nummer	$\log_{\epsilon}$
1	$0,0000$		$6$	$1,7918$
$1,1$	$0,0953$		7	$1,9459$
$1,2$	$0,1823$		$8$	$2,0794$
$1,5$	$0,4055$		$9$	$2,1972$
$1,7$	$0,5306$		10	$2,3026$
$2,0$	$0,6931$		$20$	$2,9957$
$2,2$	$0,7885$		$50$	$3,9120$
$2,5$	$0,9163$		100	$4,6052$
$2,7$	$0,9933$		2	$5,2983$
$2,8$	$1,0296$		$500$	$6,2146$
$3,0$	$1,0986$		$1000$	$6,9078$
$3,5$	$1,2528$		$2000$	$7,6009$
$4,0$	$1,3863$		$5000$	$8,5172$
$4,5$	$1,5041$		$10 000$	$9,2103$
$5,0$	$1,6094$		$20 000$	$9,9035$

Exponentielle und logarithmische Gleichungen.

Versuchen wir nun, bestimmte Ausdrücke zu differenzieren, die Logarithmen oder Exponenten enthalten.

Nehmen Sie die Gleichung:

\[ y = \log_\epsilon x. \]

Wandeln Sie diese zuerst um in

\[ \epsilon^y = x, \]

da das Differential von $\epsilon^y$ bezüglich y, die ursprüngliche unveränderte Funktion ist (siehe hier),

\[ \frac{dx}{dy} = \epsilon^y, \]

und wenn man von der Umkehrfunktion auf die ursprüngliche Funktion zurückgreift,

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{ \dfrac{dx}{dy} } = \frac{1}{\epsilon^y} = \frac{1}{x}. \]

Das ist ein sehr merkwürdiges Ergebnis. Es kann geschrieben werden als

\[ \frac{d(\log_\epsilon x)}{dx} = x^{-1}. \]

Beachten Sie, dass $x^{-1}$ ein Ergebnis ist, das wir nach der Regel für die Differenzierung von Potenzen niemals hätten bekommen können. Diese Regel lautet, mit der Potenz zu multiplizieren und die Potenz um 1 zu reduzieren. Die Differenzierung von x³ ergab also $3x^2$; und die Differenzierung von x² ergab $2x^1$. Aber die Differenzierung von $x^0$ liefert uns nicht $x^{-1}$ oder $0 \times x^{-1}$, weil $x^0$ selbst $= 1$ und eine Konstante ist. Wir werden auf diese merkwürdige Tatsache zurückkommen müssen, dass die Differenzierung von $\log_\epsilon x$ uns $\dfrac{1}{x}$ gibt, wenn wir das Kapitel über die Integration erreichen.

Versuchen Sie jetzt, Folgendes zu differenzieren.

\begin{align*} y &= \log_\epsilon(x+a),\\ \text{das ist }\; \epsilon^y &= x+a; \end{align*}

wir haben $\dfrac{d(x+a)}{dy} = \epsilon^y$, da das Differential von $\epsilon^y$ bleibt $\epsilon^y$.

Dies gibt

\begin{align*} \frac{dx}{dy} &= \epsilon^y = x+a; \\ \end{align*}

daher zurück zur ursprünglichen Funktion, wir erhalten

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;} = \frac{1}{x+a}. \end{align*}

Nächster Versuch

\begin{align*} y &= \log_{10} x. \end{align*}

Ändern Sie zuerst zu natürlichen Logarithmen, indem Sie mit $0,4343$ multiplizieren. Das gibt uns

\begin{align*} y &= 0,4343 \log_\epsilon x; \\ \text{daher }\; \frac{dy}{dx} &= \frac{0,4343}{x}. \end{align*}

Das Nächste ist nicht ganz so einfach. Versuchen Sie dies:

\[ y = a^x. \]

Wenn wir den Logarithmus beider Seiten nehmen (m.a.W. wenn wir beide Seiten logarithmieren), erhalten wir:

\begin{align*} \log_\epsilon y &= x \log_\epsilon a, \\ \text{ bzw. }\; x = \frac{\log_\epsilon y}{\log_\epsilon a} &= \frac{1}{\log_\epsilon a} \times \log_\epsilon y. \end{align*}

Da $\dfrac{1}{\log_\epsilon a}$ eine Konstante ist, erhalten wir:

\[ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\log_\epsilon a} \times \frac{1}{y} = \frac{1}{a^x \times \log_\epsilon a}; \]

Wir kehren zur ursprünglichen Funktion zurück.

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;} = a^x \times \log_\epsilon a. \]

Wir sehen das:

\[ \frac{dx}{dy} \times \frac{dy}{dx} =1\quad\text{und}\quad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y} \times \frac{1}{\log_\epsilon a},\quad \frac{1}{y} \times \frac{dy}{dx} = \log_\epsilon a. \]

Wir werden feststellen, dass wir immer dann, wenn wir einen Ausdruck wie $\log_\epsilon y =$ eine Funktion von x haben, wir immer mit $\dfrac{1}{y}\, \dfrac{dy}{dx} =$ den Differentialkoeffizienten der Funktion von x haben, so dass wir sofort aus $\log_\epsilon y = x \log_\epsilon a$, hätten schreiben können

\[ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \log_\epsilon a\quad\text{und}\quad \frac{dy}{dx} = a^x \log_\epsilon a. \]

Versuchen wir nun weitere Beispiele.

Beispiele

(1) $y=\epsilon^{-ax}$. Sei $-ax=z$; dann ist $y=\epsilon^z$. \[ \frac{dy}{dz} = \epsilon^z;\quad \frac{dz}{dx} = -a;\quad\text{also }\quad \frac{dy}{dx} = -a\epsilon^{-ax}. \]

Oder so:

\[ \log_\epsilon y = -ax;\quad \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = -a;\quad \frac{dy}{dx} = -ay = -a\epsilon^{-ax}. \]

(2) $y=\epsilon^{\frac{x^2}{3}}$. Sei $\dfrac{x^2}{3}=z$; dann ist $y=\epsilon^z$.

\[ \frac{dy}{dz} = \epsilon^z;\quad \frac{dz}{dx} = \frac{2x}{3};\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3}\, \epsilon^{\frac{x^2}{3}}. \]

Oder so:

\[ \log_\epsilon y = \frac{x^2}{3};\quad \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3};\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3}\, \epsilon^{\frac{x^2}{3}}. \]

(3) $y = \epsilon^{\frac{2x}{x+1}}$.

\begin{align*} \log_\epsilon y &= \frac{2x}{x+1},\quad \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \frac{2(x+1)-2x}{(x+1)^2}; \\ \text{ also } \frac{dy}{dx} &= \frac{2}{(x+1)^2} \epsilon^{\frac{2x}{x+1}}. \end{align*}

Prüfen Sie es indem Sie $\dfrac{2x}{x+1}=z$ schreiben.

(4) $y=\epsilon^{\sqrt{x^2+a}}$. $\log_\epsilon y=(x^2+a)^{\frac{1}{2}}$.

\[ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \frac{x}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}}\quad\text{und}\quad \frac{dy}{dx} = \frac{x \times \epsilon^{\sqrt{x^2+a}}}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}}. \]

Denn wenn $(x^2+a)^{\frac{1}{2}}=u$ und $x^2+a=v$, $u=v^{\frac{1}{2}}$,

\[ \frac{du}{dv} = \frac{1}{{2v}^{\frac{1}{2}}};\quad \frac{dv}{dx} = 2x;\quad \frac{du}{dx} = \frac{x}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}}. \]

Prüfen Sie es indem Sie $\sqrt{x^2+a}=z$ schreiben.

(5) $y=\log(a+x^3)$. Sei $(a+x^3)=z$; dann ist $y=\log_\epsilon z$.

\[ \frac{dy}{dz} = \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 3x^2;\quad\text{also }\quad \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{a+x^3}. \]

(6) $y=\log_\epsilon\{{3x^2+\sqrt{a+x^2}}\}$. Sei $3x^2 + \sqrt{a+x^2}=z$; dann ist $y=\log_\epsilon z$.

\begin{align*} \frac{dy}{dz} &= \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 6x + \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{6x + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a}}}{3x^2 + \sqrt{a+x^2}} = \frac{x(1 + 6\sqrt{x^2+a})}{(3x^2 + \sqrt{x^2+a}) \sqrt{x^2+a}}. \end{align*}

(7) $y=(x+3)^2 \sqrt{x-2}$.

\begin{align*} \log_\epsilon y &= 2 \log_\epsilon(x+3)+ \tfrac{1}{2} \log_\epsilon(x-2). \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \frac{2}{(x+3)} + \frac{1}{2(x-2)}; \\ \frac{dy}{dx} &= (x+3)^2 \sqrt{x-2} \left\{\frac{2}{x+3} + \frac{1}{2(x-2)}\right\}. \end{align*}

(8) $y=(x^2+3)^3(x^3-2)^{\frac{2}{3}}$.

\begin{align*} \log_\epsilon y &= 3 \log_\epsilon(x^2+3) + \tfrac{2}{3} \log_\epsilon(x^3-2); \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= 3 \frac{2x}{(x^2+3)} + \frac{2}{3} \frac{3x^2}{x^3-2} = \frac{6x}{x^2+3} + \frac{2x^2}{x^3-2}. \end{align*}

Denn wenn $y=\log_\epsilon(x^2+3)$, sei $x^2+3=z$ und $u=\log_\epsilon z$.

\[ \frac{du}{dz} = \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 2x;\quad \frac{du}{dx} = \frac{2x}{x^2+3}. \]

Ähnlich, wenn $v=\log_\epsilon(x^3-2)$, $\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{3x^2}{x^3-2}$ und

\[ \frac{dy}{dx} = (x^2+3)^3(x^3-2)^{\frac{2}{3}} \left\{ \frac{6x}{x^2+3} + \frac{2x^2}{x^3-2} \right\}. \]

(9) $y=\dfrac{\sqrt[2]{x^2+a}}{\sqrt[3]{x^3-a}}$.

\begin{align*} \log_\epsilon y &= \frac{1}{2} \log_\epsilon(x^2+a) - \frac{1}{3} \log_\epsilon(x^3-a). \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{2}\, \frac{2x}{x^2+a} - \frac{1}{3}\, \frac{3x^2}{x^3-a} = \frac{x}{x^2+a} - \frac{x^2}{x^3-a} \\ \text{ und } \frac{dy}{dx} &= \frac{\sqrt[2]{x^2+a}}{\sqrt[3]{x^3-a}} \left\{ \frac{x}{x^2+a} - \frac{x^2}{x^3-a} \right\}. \end{align*}

(10) $y=\dfrac{1}{\log_\epsilon x}$

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\log_\epsilon x \times 0 - 1 \times \dfrac{1}{x}} {\log_\epsilon^2 x} = -\frac{1}{x \log_\epsilon^2x}. \]

(11) $y=\sqrt[3]{\log_\epsilon x} = (\log_\epsilon x)^{\frac{1}{3}}$. Sei $z=\log_\epsilon x$; $y=z^{\frac{1}{3}}$.

\[ \frac{dy}{dz} = \frac{1}{3} z^{-\frac{2}{3}};\quad \frac{dz}{dx} = \frac{1}{x};\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x \sqrt[3]{\log_\epsilon^2 x}}. \]

(12) $y=\left(\dfrac{1}{a^x}\right)^{ax}$.

\begin{align*} \log_\epsilon y &= ax(\log_\epsilon 1 - \log_\epsilon a^x) = -ax \log_\epsilon a^x. \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= -ax \times a^x \log_\epsilon a - a \log_\epsilon a^x. \\ \text{ und } \frac{dy}{dx} &= -\left(\frac{1}{a^x}\right)^{ax} (x \times a^{x+1} \log_\epsilon a + a \log_\epsilon a^x). \end{align*}

Versuchen Sie nun die folgenden Übungen.

Übungen XII

(1) Differenzieren Sie $y=b(\epsilon^{ax} -\epsilon^{-ax})$.

(2) Bestimmen Sie den Differentialkoeffizient bezüglich t für den Ausdruck $u=at^2+2\log_\epsilon t$.

(3) Wenn $y=n^t$ ist, bestimmen Sie $\dfrac{d(\log_\epsilon y)}{dt}$.

(4) Zeigen Sie, dass wenn $y=\dfrac{1}{b} \cdot \dfrac{a^{bx}}{\log_\epsilon a}$ ist,   $\dfrac{dy}{dx}=a^{bx}$ ist.

(5) Wenn $w=pv^n$ ist, bestimmen Sie $\dfrac{dw}{dv}$.

Differenzieren Sie

(6) $y=\log_\epsilon x^n$.

(7) $y=3\epsilon^{-\frac{x}{x-1}}$.

(8) $y=(3x^2+1)\epsilon^{-5x}$.

(9) $y=\log_\epsilon(x^a+a)$.

(10) $y=(3x^2-1)(\sqrt{x}+1)$.

(11) $y=\dfrac{\log_\epsilon(x+3)}{x+3}$.

(12) $y=a^x \times x^a$.

(13) Es wurde von Lord Kelvin gezeigt, dass die Geschwindigkeit der Signalübertragung durch ein Unterseekabel vom Wert des Verhältnisses des Außendurchmessers des Kabels zum Durchmesser des eingeschlossenen Kupferdrahtes abhängt. Nennt man dieses Verhältnis y, so kann die Anzahl der Signale $s$, die pro Minute gesendet werden können, durch die folgende Formel ausgedrückt werden:

\[ s=ay^2 \log_\epsilon \frac{1}{y}; \]

wobei a eine Konstante ist, die von der Länge und der Qualität des Materials abhängt. Zeigen Sie, dass wenn diese gegeben sind, $s$ ein Maximum ist, wenn $y=1 \div \sqrt{\epsilon}$ gilt.

(14) Bestimmen Sie das Maximum oder Minimum von

\[ y=x^3-\log_\epsilon x. \]

(15) Differenzieren Sie $y=\log_\epsilon(ax\epsilon^x)$.

(16) Differenzieren Sie $y=(\log_\epsilon ax)^3$.

Antworten

(1) $ab(\epsilon^{ax} + \epsilon^{-ax})$.

(2) $2at + \dfrac{2}{t}$.

(3) $\log_\epsilon n$.

(5) $npv^{n-1}$.

(6) $\dfrac{n}{x}$.

(7) $\dfrac{3\epsilon^{- \frac{x}{x-1}}}{(x - 1)^2}$.

(8) $6x \epsilon^{-5x} - 5(3x^2 + 1)\epsilon^{-5x}$.

(9) $\dfrac{ax^{a-1}}{x^a + a}$.

(10) $\left(\dfrac{6x}{3x^2-1} + \dfrac{1}{2\left(\sqrt x + x\right)}\right) \left(3x^2-1\right)\left(\sqrt x + 1\right)$.

(11) $\dfrac{1 - \log_\epsilon \left(x + 3\right)}{\left(x + 3\right)^2}$.

(12) $a^x\left(ax^{a-1} + x^a \log_\epsilon a\right)$.

(14) Min.: $y = 0.7$ for $x = 0.694$.

(15) $\dfrac{1 + x}{x}$.

(16) $\dfrac{3}{x} (\log_\epsilon ax)^2$.

Die logarithmische Kurve.

Kehren wir zu der Kurve zurück, die ihre aufeinanderfolgenden Ordinaten in geometrischer Abfolge hat, wie sie beispielsweise durch die Gleichung $y=bp^x$ dargestellt wird.

Wir können sehen, indem wir $x=0$ setzen, dass b die Anfangshöhe von y ist.

Dann, wenn

\[ x=1,\quad y=bp;\qquad x=2,\quad y=bp^2;\qquad x=3,\quad y=bp^3,\quad \text{etc.} \]

Außerdem sehen wir, dass $p$ der numerische Wert des Verhältnisses zwischen der Höhe einer beliebigen Ordinate und der der nächsthöheren ist. In Abbildung 40 haben wir angenommen das $p$ $\frac{6}{5}$ ist; jede Ordinate ist $\frac{6}{5}$ so hoch wie die vorhergehende.

Wenn zwei aufeinanderfolgende Ordinaten also in einem konstanten Verhältnis zueinanderstehen, haben ihre Logarithmen eine konstante Differenz; wenn wir also eine neue Kurve zeichnen sollten, Abbildung 41, mit Werten von $\log_\epsilon y$ als Ordinate, wäre dies eine gerade Linie mit einer Steigung von gleiche Schritte. Tatsächlich folgt aus der Gleichung, dass:

\begin{align*} \log_\epsilon y &= \log_\epsilon b + x \cdot \log_\epsilon p, \\ \text{daher }\; \log_\epsilon y &- \log_\epsilon b = x \cdot \log_\epsilon p. \end{align*}

Da $\log_\epsilon p$ bloß eine Zahl ist und als $\log_\epsilon p=a$ geschrieben werden kann, folgt daraus

\[ \log_\epsilon \frac{y}{b}=ax, \]

und die Gleichung nimmt die neue Form an

\[ y = b\epsilon^{ax}. \]

Die Zerfallskurve

Wenn wir annehmen dass es sich bei $p$ um einen echten Bruch, weniger als eins, handelt, würde die Kurve offensichtlich dazu neigen, nach unten zu sinken, wie in Abbildung 42, wobei jede aufeinanderfolgende Ordinate $\frac{3}{4}$ der Höhe der vorhergehenden entspricht.

Die Gleichung ist immer noch:

\[ y=bp^x; \]

da aber $p$ kleiner als eins ist, wird $\log_\epsilon p$ eine negative Größe sein und kann als $-a$ geschrieben werden; so dass $p=\epsilon^{-a}$ ist, und jetzt hat unsere Gleichung, für die Kurve, die Form

\[ y=b\epsilon^{-ax}. \]

Die Bedeutung dieses Ausdrucks besteht darin, dass für den Fall, dass die unabhängige Variable Zeit ist, die Gleichung den Verlauf vieler physikalischer Prozesse darstellt, bei denen etwas abnimmt. Somit wird die Abkühlung eines heißen Körpers (in Newtons berühmtem Gesetz der Abkühlung) durch die Gleichung:

\[ \theta_t=\theta_0 \epsilon^{-at} \text{ beschrieben;} \]

wobei $\theta_0$ der ursprüngliche Temperaturüberschuss eines heißen Körpers gegenüber seiner Umgebung ist, $\theta_t$ der Temperaturüberschuss am Ende der Zeit t und a eine Konstante ist, nämlich, die Abnahmekonstante, abhängig von der vom Körper exponierten Oberfläche und von seinen Leitfähigkeits- und Emissionsgrad usw.

Ein ähnlich Formel ist:

\[ Q_t=Q_0 \epsilon^{-at}, \]

diese wird verwendet, um die Ladung eines elektrifizierten Körpers auszudrücken, der ursprünglich eine Ladung $Q_0$ hatte, die mit einer abnehmenden Konstanten a entweicht; welche Konstante hängt in diesem Fall von der Kapazität des Körpers und vom Widerstand der Kriechstrecke (Kriechstrecke ist definiert als kürzeste Entfernung entlang der Oberfläche eines Isolierstoffes zwischen zwei leitenden Teilen) ab. Es handelt sich dabei um die Entladung eines Kondensators über einen Widerstand

Schwingungen einer flexiblen Feder klingen nach einiger Zeit ab; und das Abklingen der Bewegungsamplitude kann auf ähnliche Weise ausgedrückt werden.

Tatsächlich dient $\epsilon^{-at}$ als Abklingfaktor für all jene Phänomene, bei denen die Abnahmerate proportional zur Größe der Abnahme ist; oder wo, in unseren üblichen Symbolen, $\dfrac{dy}{dt}$ zu jedem Zeitpunkt proportional zu dem Wert ist, den y gerade hat. Denn wir müssen nur die Kurve untersuchen, Abbildung 42 oben, um zu sehen, dass die Steigung $\dfrac{dy}{dx}$ an jedem Teil davon proportional ist zur Höhe y; die Kurve wird flacher, wenn y kleiner wird. In Symbolen, also

$y=b\epsilon^{-ax}$ or \[ \log_\epsilon y = \log_\epsilon b - ax \log_\epsilon \epsilon = \log_\epsilon b - ax,\\ \text{und, differenzieren, }\; \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = -a;\\ \text{daher }\; \frac{dy}{dx} = b\epsilon^{-ax} \times (-a) = -ay; \]

oder, in Worten, die Steigung der Kurve ist nach unten gerichtet und proportional zu y und zur Konstanten a.

Wir hätten das gleiche Ergebnis erhalten, wenn wir die Gleichung in der folgenden Form genommen hätten

\begin{align*} y &= bp^x; \\ \text{für }\; \frac{dy}{dx} &= bp^x \times \log_\epsilon p. \\ \text{aber }\; \log_\epsilon p &= -a; \\ \text{gibt uns }\; \frac{dy}{dx} &= y \times (-a) = -ay, \end{align*}

wie zuvor.

Die Zeitkonstante. Im Ausdruck für den Abnahmefaktor / Zerfallsfaktor $\epsilon^{-at}$ ist die Größe a der Kehrwert von einer anderen Größe, die als Zeitkonstante bekannt ist und die wir mit dem Symbol T bezeichnen können. Dann lautet der Abnahmefaktor $\epsilon^{-\frac{t}{T}}$; indem man $t = T$ setzt, erkennt man die Bedeutung von T bzw. von $\dfrac{1}{a}$, es handelt sich hierbei um die Zeitlänge, die es braucht, damit die ursprüngliche Menge (in den vorhergehenden Fällen $\theta_0$ oder $Q_0$ genannt) den $\dfrac{1}{\epsilon}$ten Teil - das heißt, auf $0,3678$ - ihres ursprünglichen Wertes abnimmt.

Die Werte von $\epsilon^x$ und $\epsilon^{-x}$ werden in verschiedenen Bereichen der Physik ständig benötigt, und da sie in sehr wenigen Sätzen mathematischer Tabellen angegeben sind, sind einige der Werte hier aus Bequemlichkeit tabellarisch aufgeführt.

 

x	$\epsilon^x$	$\epsilon^{-x}$	$1-\epsilon^{-x}$
0	$1.0000$	$1.0000$	$0.0000$
$0.10$	$1.1052$	$0.9048$	$0.0952$
$0.20$	$1.2214$	$0.8187$	$0.1813$
$0.50$	$1.6487$	$0.6065$	$0.3935$
$0.75$	$2.1170$	$0.4724$	$0.5276$
$0.90$	$2.4596$	$0.4066$	$0.5934$
$1.00$	$2.7183$	$0.3679$	$0.6321$
$1.10$	$3.0042$	$0.3329$	$0.6671$
$1.20$	$3.3201$	$0.3012$	$0.6988$
$1.25$	$3.4903$	$0.2865$	$0.7135$
$1.50$	$4.4817$	$0.2231$	$0.7769$
$1.75$	$5.755$	$0.1738$	$0.8262$
$2.00$	$7.389$	$0.1353$	$0.8647$
$2.50$	$12.182$	$0.0821$	$0.9179$
$3.00$	$20.086$	$0.0498$	$0.9502$
$3.50$	$33.115$	$0.0302$	$0.9698$
$4.00$	$54.598$	$0.0183$	$0.9817$
$4.50$	$90.017$	$0.0111$	$0.9889$
$5.00$	$148.41$	$0.0067$	$0.9933$
$5.50$	$244.69$	$0.0041$	$0.9959$
$6.00$	$403.43$	$0.00248$	$0.99752$
$7.50$	$1808.04$	$0.00055$	$0.99947$
$10.00$	$22026.5$	$0.000045$	$0.999955$

Als Beispiel für die Verwendung dieser Tabelle nehmen wir an, es gibt eine Abkühlung des heißen Körpers und zu Beginn des Experiments (d.h. zum Zeitpunkt t = 0) ist der Körper $72^{\circ}$ heißer als die umgebenden Objekte und wenn die Zeitkonstante seiner Abkühlung $20$ Minuten beträgt (d.h. wenn es $20$ Minuten dauert, bis der Temperaturüberschuss auf $\dfrac{1}{\epsilon}$ Teil von $72^{\circ}$ gefallen ist), dann können wir berechnen, auf welche Temperatur er nach einer bestimmten Zeit gefallen seien wird. Lassen Sie t beispielsweise 60 Minuten sein. Dann $\dfrac{t}{T} = 60 \div 20 = 3$, und wir müssen den Wert von $\epsilon^{-3}$ finden, und dann die ursprünglichen $72^{\circ}$ damit multiplizieren. Die Tabelle zeigt, dass $\epsilon^{-3}$ $0,0498$ ist. Nach 60 Minuten wird der Temperaturüberschuss also auf $72^{\circ} \times 0,0498 = 3,586^{\circ}$ gefallen sein.

Weitere Beispiele.

(1) Die Stärke eines elektrischen Stroms in einem Leiter zu einem Zeitpunkt t sek nach dem Aufbringen der sie erzeugenden elektromotorischen Kraft ergibt sich, durch den Ausdruck $C = \dfrac{E}{R}\left\{1 - \epsilon^{-\frac{Rt}{L}}\right\}$ .

Die Zeitkonstante ist $\dfrac{L}{R}$.

Wenn $E = 10$, $R =1$, $L = 0,01$; dann wenn t sehr groß ist, wird der Term $\epsilon^{-\frac{Rt}{L}}$ 1 werden und $C = \dfrac{E}{R} = 10$; also:

\[ \frac{L}{R} = T = 0.01. \]

Der Wert zu jedem Zeitpunkt kann so geschrieben werden:

\[ C = 10 - 10\epsilon^{-\frac{t}{0,01}}, \]

Die Zeitkonstante ist $0,01$. Das bedeutet, dass es $0,01$ Sek dauert bis der variable Term auf $\dfrac{1}{\epsilon} = 0.3678$ seines ursprünglichen Wertes von $10\epsilon^{-\frac{0}{0,01}} = 10$ gefallen ist.

Um den Wert des Stroms im Zeitpunkt $t = 0,001 \text{Sek}$ zu ermitteln, setzen wir $\dfrac{t}{T} = 0,1$, $\epsilon^{-0,1} = 0,9048$ (aus der Tabelle).

p>Daraus folgt, dass nach $0,001$ Sek. der variable Term $0,9048 \times 10 = 9,048$ beträgt und der Strom zu diesem Zeitpunkt $10 - 9,048 = 0,952$ beträgt.

In ähnlicher Weise, am Ende von $0,1$ Sek.

\[ \frac{t}{T} = 10;\quad \epsilon^{-10} = 0,000045; \]

Der variable Term ist $10 \times 0,000045 = 0,00045$, und der Strom ist $9,9995$.

(2) Die Intensität $I$ eines Lichtstrahls, der eine Dicke l cm eines transparenten Mediums durchquert hat, ist $I = I_0\epsilon^{-Kl}$, wobei $I_0$ die Anfangsintensität des Strahls und $K$ eine Absorptionskonstante ist.

Diese Konstante wird normalerweise durch Experimente bestimmt. Wenn beispielsweise festgestellt wird, dass die Intensität eines Lichtstrahls sich beim Durchgang durch 10 cm, eines bestimmten transparenten Mediums, um 18% verringert, bedeutet dies das $82 = 100 \times \epsilon^{-K \times 10}$ ist beziehungsweise $\epsilon^{-10K} = 0,82$, und in der Tabelle findet man $10K = 0,20$ (fast); daher $K = 0,02$.

Um die Dicke zu finden, die die Intensität auf die Hälfte reduziert, muss man den Wert von l finden, der die Gleichung $50 = 100 \times \epsilon^{-0,02l}$ oder $0,5 = \epsilon^{-0,02l}$ erfüllt. Sie wird gefunden, indem man diese Gleichung in ihre logarithmische Form setzt, nämlich:

\[ \log 0.5 = -0.02 \times l \times \log \epsilon, \]

was Folgendes ergibt:

\[ l = \frac{-0.3010}{-0.02 \times 0.4343} = 34.7 \text{cm (ungefähr)}. \]

(3) Die (verbliebene) Menge Q eines radioaktiven Stoffes, die noch nicht zerfallen ist, steht mit der ursprünglich (vorhandenen) Menge $Q_0$ der Substanz in Beziehung. Der Zusammenhang zwischen den Mengen Q und $Q_0$ lässt sich, durch die Gleichung $Q = Q_0 \epsilon^{-\lambda t}$ beschreiben, wobei $\lambda$ eine Konstante ist und t für die Zeit in Sekunden steht, die seit dem Beginn des Zerfallsprozesses vergangen ist.

Für Radium A zeigt das Experiment, wenn die Zeit in Sekunden ausgedrückt wird, dass $\lambda = 3,85 \times 10^{-3}$ ist. Bestimmen Sie die Zeit, die für den Zerfall der Hälfte der Substanz benötigt wird. (Diese Zeit wird als mittlere Lebensdauer der Substanz bezeichnet.)

Wir haben $0,5 = \epsilon^{-0,00385t}$.

\begin{align*} \log 0,5 &= -0,00385t \times \log \epsilon; \\ \text{und }\; t &= 3\text{ Minuten (fast)}. \end{align*}

Übungen XIII

(1) Zeichnen Sie die Kurve von $y = b \epsilon^{-\frac{t}{T}}$; für $b = 12$, $T = 8$ und t mit verschiedene Werten von 0 bis $20$.

(2) Wenn ein heißer Körper so abkühlt, dass sein Temperaturüberschuss in 24Minuten auf die Hälfte des ursprünglichen Betrags gefallen ist, leiten Sie die Zeitkonstante ab und bestimmen Sie, wie lange es dauert bis er sich auf 1 Prozent des ursprünglichen Überschusses abgekühlt hat.

(3) Zeichnen Sie die Kurve von $y = 100(1-\epsilon^{-2t})$.

(4) Die folgenden Gleichungen ergeben sehr ähnliche Kurven:

\begin{align*} \text{(i)}\ y &= \frac{ax}{x + b}; \\ \text{(ii)}\ y &= a(1 - \epsilon^{-\frac{x}{b}}); \\ \text{(iii)}\ y &= \frac{a}{90^{\circ}} \arctan \left(\frac{x}{b}\right). \end{align*}

Zeichnen Sie alle drei Kurven, mit $a= 100$ Millimeter; $b = 30$ Millimeter.

(5) Bestimmen Sie den Differential Koeffizienten von y bezüglich x, für die folgenden drei Gleichungen:

\[ (a) y = x^x;\quad (b) y = (\epsilon^x)^x;\quad (c) y = \epsilon^{x^x}. \]

(6) Für Thorium A beträgt der Wert von $\lambda$ 5; bestimmen Sie die mittlere Lebensdauer, d.h. die Zeit, die für den Zerfall einer Menge Q von Thorium A auf die Hälfte der Anfangsmenge $Q_0$ benötigt wird, mit Hilfe des folgenden Ausdrucks:

\[ Q = Q_0 \epsilon^{-\lambda t}; \]

t ist in Sekunden.

(7) Ein Kondensator mit der Kapazität $K = 4 \times 10^{-6}$, wird auf ein Potential $V_0 = 20$ aufgeladen, und entlädt sich über einen Widerstand von $10 000$ Ohm. Bestimmen Sie das Potential V nach (a ) $0,1$ Sekunde; (b ) $0,01$ Sekunde; unter der Annahme, dass der Potentialabfall der Regel $V = V_0 \epsilon^{-\frac{t}{KR}}$ folgt.

(8) Die Ladung Q einer elektrifizierten isolierten Metallkugel wird in 10 Minuten von $20$ auf $16$ Einheiten reduziert. Bestimmen Sie den Koeffizienten $\mu$ der Entladung, wenn $Q = Q_0 \times \epsilon^{-\mu t}$; und $Q_0$ die anfängliche Ladung und t in Sekunden ist. Bestimmen Sie die Zeitdauer, die benötigt wird, bis sich die Ladung auf die Hälfte der ursprünglichen Ladung reduziert hat.

(9) Die Dämpfung einer Telefonleitung lässt sich, aus der Beziehung $i = i_0 \epsilon^{-\beta l}$ ermitteln, wobei i die Stärke des Telefonstroms nach t Sekunden, bei einer anfänglichen Stärke von $i_0$, ist. l ist die Länge der Leitung in Kilometern und $\beta$ ist eine Konstante. Für das 1910 verlegte französisch-englische Unterseekabel gilt $\beta = 0,0114$. Bestimmen Sie die Dämpfung am Ende des Kabels ($40$ Kilometer) und die Länge, auf der i noch $8$% des ursprünglichen Stroms beträgt (Grenzwert für sehr gutes Hören).

(10) Der Druck $p$ der Atmosphäre in einer Höhe h Kilometer, wird durch $p=p_0 \epsilon^{-kh}$ beschrieben; wobei $p_0$ der Druck auf Meereshöhe ($760$ Millimeter) ist.

Die Drücke bei 10 , $20 $ und $50 $ Kilometern betragen jeweils $ 199,2 $, $ 42,2 $ bzw. $ 0,32 $. Ermitteln Sie mit dem Mittelwert von k jeweils den prozentualen Fehler.

(11) Bestimmen Sie das Minimum oder Maximum von $y = x^x$.

(12) Bestimmen Sie das Minimum oder Maximum von $y = x^{\frac{1}{x}}$.

(13) Bestimmen Sie das Minimum oder Maximum von $y = xa^{\frac{1}{x}}$.

 

Antworten

(1) Sei $\dfrac{t}{T} = x$ ($\therefore t = 8x$), und benutzen Sie die obige Tabelle.

(2) $T = 34,627$; $159,46$ Minuten.

(3) Setzen Sie $2t = x$; und benutzen Sie die obige Tabelle.

(5) (a) $x^x \left(1 + \log_\epsilon x\right)$;   (b ) $2x(\epsilon^x)^x$;   (c ) $\epsilon^{x^x} \times x^x \left(1 + \log_\epsilon x\right)$.

(6) $0,14$ Sekunden.

(7) (a) $1,642$;   (b) $15,58$.

(8) $\mu = 0,00037$; $31^m \frac{1}{4}$.

(9) i ist $63,4$% von $i_0$, $220$ Kilometer.

(10) $0,133$; $0,145$; $0,155$, Mittelwert $0,144$; $-10,2$%; $-0,9$%; $+77,2$%.

(11) Minimum für $x = \dfrac{1}{\epsilon}$.

(12) Maximum für $x = \epsilon$.

(13) Minimum für $x = \log_\epsilon a$.

Wie man mit Sinus und Cosinus umgeht

Griechische Buchstaben sind üblich, um Winkel zu bezeichnen, wir nehmen als üblichen Buchstaben für jeden variablen Winkel den Buchstaben $\theta$ (Theta).

Betrachten wir die Funktion:

\[ y= \sin \theta. \]

 

Was wir untersuchen müssen, ist der Wert von $\dfrac{d(\sin\theta)}{d \theta}$; oder anders ausgedrückt, wenn der Winkel $\theta$ variiert, müssen wir die Beziehung zwischen dem Sinusinkrement (der Zunahme von Sinus) und dem Winkelinkrement (der Zunahme des Winkels) finden, wobei beide Inkremente für sich genommen unendlich klein sind. Betrachten Sie Abbildung 43, wobei, wenn der Radius des Kreises eins ist, die Höhe von y der Sinus und $\theta$ der Winkel ist. Wenn nun $\theta$ durch die Addition des kleinen Winkels $d \theta$ - ein Element des Winkels - vergrößert werden soll, wird die Höhe von y, der Sinus, um ein kleines Element dy vergrößert. Die neue Höhe y + dy ist der Sinus des neuen Winkels $\theta + d\theta$ oder, als Gleichung ausgedrückt,

\[ y+dy = \sin(\theta + d \theta); \]

Und wenn die erste Gleichung davon subtrahiert wird, erhalten wir:

\[ dy = \sin(\theta + d \theta)- \sin \theta. \]

Die Größe auf der rechten Seite ist die Differenz zwischen zwei Sinus und Bücher über Trigonometrie zeigen uns, wie man dies berechnet. Denn sie sagen uns, dass, wenn $M$ und $N$ zwei verschiedene Winkel sind,

\[ \sin M - \sin N = 2 \cos\frac{M+N}{2} \cdot \sin\frac{M-N}{2}. \]

Wenn wir dann $M= \theta + d \theta$ für einen Winkel und $N= \theta$ für den anderen setzen, können wir schreiben:

\begin{align*} dy &= 2 \cos\frac{\theta + d\theta + \theta}{2} \cdot \sin\frac{\theta + d\theta - \theta}{2},\\ \text{bzw, }\; dy &= 2\cos(\theta + \tfrac{1}{2}d\theta) \cdot \sin\tfrac{1}{2} d\theta. \end{align*}

Wenn wir aber $d \theta$ als unendlich klein ansehen, dann können wir im Grenzfall $\frac{1}{2} d \theta$ im Vergleich zu $\theta$ vernachlässigen und auch $\sin\frac{1}{2} d \theta$ als dasselbe wie $\frac{1}{2} d \theta$ betrachten. Die Gleichung lautet dann:

\begin{align*} dy &= 2 \cos \theta \times \tfrac{1}{2} d \theta; \\ dy &= \cos \theta \cdot d \theta, \\ \text{ und am Ende, }\; \dfrac{dy}{d \theta} &= \cos \theta. \end{align*}

Die beigefügten Kurven, Abb. 44 und Abb. 45 zeigen maßstabsgetreu die Werte von $y=\sin\theta$ und $\dfrac{dy}{d\theta}=\cos\theta$ für die entsprechenden Werte von $\theta $.

Nehmen wir als Nächstes den Cosinus.

Sei $y=\cos \theta$.

Dann $\cos \theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$.

Daher

\begin{align*} &\begin{aligned} dy = d\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right) &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \times d(-\theta), \\ &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \times (-d\theta), \end{aligned} \\ &\frac{dy}{d\theta} = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right). \end{align*}

Und es folgt, dass:

\begin{align*} &\frac{dy}{d\theta} = -\sin \theta. \end{align*}

Schließlich nehmen Sie die Tangente. Sei

\begin{align*} y &= \tan \theta, \\ dy &= \tan(\theta + d\theta) - \tan\theta. \\ \end{align*}

Erweitern Sie, wie in Büchern über Trigonometrie gezeigt wird,

\begin{align*} \tan(\theta + d\theta) &= \frac{\tan\theta + \tan d\theta} {1 - \tan\theta \cdot \tan d\theta}; \\ \text{dann }\; dy &= \frac{\tan\theta + \tan d\theta} {1-\tan\theta \cdot \tan d\theta} - \tan\theta \\ &= \frac{(1 + \tan^2\theta)\tan d\theta} {1-\tan\theta \cdot \tan d\theta}. \end{align*}

Denken Sie daran, dass, wenn $d\theta$ unendlich verkleinert wird, der Wert von $\tan d\theta$ mit $d\theta$ identisch wird und $\tan\theta \cdot d\theta$ vernachlässigbar klein ist verglichen mit 1, so dass sich der Ausdruck auf:

\begin{align*} dy &= \frac{(1+\tan^2 \theta)\, d\theta}{1}, \\ \text{so that }\; \frac{dy}{d\theta} &= 1 + \tan^2\theta, \\ \text{or}\; \frac{dy}{d\theta} &= \sec^2 \theta \end{align*}

reduziert.

Sammeln wir diese Ergebnisse, und wir erhalten:

y	$\dfrac{dy}{d\theta}$
$\sin\theta$	$\cos\theta$
$\cos\theta$	$-\sin\theta$
$\tan\theta$	$\sec^2\theta$

Manchmal haben wir es in mechanischen und physikalischen Fragen, wie zum Beispiel bei einfachen harmonischen Bewegungen und bei Wellenbewegungen, mit zunehmenden Winkeln, im Verhältnis zur Zeit, zu tun. Wenn also T die Zeit einer vollständigen Periode oder einer Bewegung um den Kreis ist, dann ist der Winkel rund um den Kreis $2\pi$ Radiant oder $360^{\circ} $, der Betrag des in der Zeit t bewegten Winkels, wird:

\begin{align*} \theta &= 2\pi\frac{t}{T},\quad \text{in Radian,} \\ \text{or }\; \theta &= 360\frac{t}{T},\quad \text{in Grad.} \end{align*}

Wenn die Frequenz oder die Anzahl / Häufigkeiten der Perioden pro Sekunde mit n bezeichnet wird, dann ist $n = \dfrac{1}{T}$, und wir können dann schreiben:

\[ \theta=2\pi nt. \]

Dann haben wir:

\[ y = \sin 2\pi nt. \]

Wenn wir nun wissen wollen, wie sich der Sinus zeitlich ändert, müssen wir nicht nach $\theta$, sondern nach t differenzieren. Dazu müssen wir auf den in Kapitel IX erklärten Kunstgriff zurückgreifen und setzen:

\[ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt}. \]

Jetzt ist $\dfrac{d\theta}{dt}$ offensichtlich $2\pi n$; und damit:

\begin{align*} \frac{dy}{dt} &= \cos \theta \times 2\pi n \\ &= 2\pi n \cdot \cos 2\pi nt. \\ \end{align*}

In ähnlicher Weise folgt daraus

\begin{align*} \frac{d(\cos 2\pi nt)}{dt} &= -2\pi n \cdot \sin 2\pi nt. \end{align*}

Zweiter Differentialkoeffizient von Sinus oder Cosinus

Wir haben gesehen, dass, wenn $\sin\theta$ nach $\theta$ differenziert wird, es zu $\cos\theta$ wird; und dass, wenn $\cos\theta$ nach $\theta$ differenziert wird, es zu $-\sin\theta$ wird; oder, in Symbolen können wir für die zweite Differenzierung von $\sin\theta$ daher folgendes schreiben,

\[ \frac{d^2(\sin \theta)}{d\theta^2} = -\sin \theta. \]

Also haben wir dieses merkwürdige Ergebnis, dass wir eine Funktion gefunden haben, bei der wir, wenn wir sie zweimal differenzieren, dasselbe Ergebnis erhalten, von dem wir ausgegangen sind, jedoch mit geändertem Vorzeichen von $+$ auf $-$.

 

Das gleiche gilt für den Kosinus; denn die Differenzierung von $\cos\theta$ gibt uns $-\sin\theta$, und die Differenzierung von $-\sin\theta$ gibt uns $-\cos\theta$; so:

\[ \frac{d^2(\cos\theta)}{d\theta^2} = -\cos\theta. \]

Sinus und Kosinus sind die einzigen Funktionen, bei denen der zweite Differentialkoeffizient gleich (und mit entgegengesetztem Vorzeichen) der ursprünglichen Funktion ist.

Beispiele Mit dem, was wir bisher gelernt haben, können wir nun komplexere Ausdrücke differenzieren.

(1) $y=\arcsin x$.

Wenn y der arc (Bogen) ist, dessen Sinus x ist, dann ist $x = \sin y$.

\[ \frac{dx}{dy}=\cos y. \]

Wenn wir nun von der inversen Funktion zur ursprünglichen übergehen, erhalten wir

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;} = \frac{1}{\cos y}. \\ \text{Jetzt }\; \cos y &= \sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2}; \\ \text{daher }\; \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \end{align*}

ein eher unerwartetes Ergebnis.

(2) $y=\cos^3 \theta$.

Das ist dasselbe, wie $y=(\cos \theta)^3$.

Sei $\cos\theta=v$; dann ist $y=v^3$; $\dfrac{dy}{dv}=3v^2$.

\begin{align*} \frac{dv}{d\theta} &= -\sin\theta.\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{dy}{dv} \times \frac{dv}{d\theta} = -3 \cos^2 \theta \sin\theta. \end{align*}

(3) $y=\sin(x+a)$.

Sei $x+a=v$; dann ist $y=\sin v$.

\[ \frac{dy}{dv}=\cos v;\qquad \frac{dv}{dx}=1 \quad\text{und}\quad \frac{dy}{dx}=\cos(x+a). \]

(4) $y=\log_\epsilon \sin \theta$.

Sei $\sin\theta=v$; $y=\log_\epsilon v$.

\begin{align*} \frac{dy}{dv} &= \frac{1}{v};\quad \frac{dv}{d\theta}=\cos\theta;\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{1}{\sin\theta} \times \cos\theta = \cot\theta. \end{align*}

(5) $y=\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$.

\begin{align*} \frac{dy}{d\theta} &= \frac{-\sin^2\theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\\ &= -(1+\cot^2 \theta) = -\text{cosec}^2 \theta. \end{align*}

(6) $y=\tan 3\theta$.

Let $3\theta=v$; $y=\tan v$; $\dfrac{dy}{dv}=\sec^2 v$.

\[ \frac{dv}{d\theta}=3;\quad \frac{dy}{d\theta}=3 \sec^2 3\theta. \]

(7) $y = \sqrt{1+3\tan^2\theta}$; $y=(1+3 \tan^2 \theta)^{\frac{1}{2}}$.

Sei $3\tan^2\theta=v$.

\begin{align*} y &= (1+v)^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{1+v}} \end{align*}

(siehe hier);

\begin{align*} \frac{dv}{d\theta} &= 6\tan\theta \sec^2 \theta \\ \end{align*}

denn, wenn $\tan \theta = u$,

\begin{align*} v &= 3u^2;\quad \frac{dv}{du} = 6u;\quad \frac{du}{d\theta} = \sec^2 \theta; \\ \text{ dann } \frac{dv}{d\theta} &= 6 (\tan \theta \sec^2 \theta) \\ \text{ und } \frac{dy}{d\theta} &= \frac{6\tan\theta \sec^2\theta}{2\sqrt{1 + 3\tan^2\theta}}. \end{align*}

(8) $y=\sin x \cos x$.

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \sin x(-\sin x) + \cos x \times \cos x \\ &= \cos^2 x - \sin^2 x. \end{align*}

Übungen XIV

(1) Differenzieren Sie die folgenden Ausdrücke:

\begin{align*} \text{(i)}\quad y &= A \sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right).\\ \text{(ii)}\quad y &= \sin^2 \theta;\quad \text{und } y = \sin 2\theta.\\ \text{(iii)}\quad y &= \sin^3 \theta;\quad \text{und } y = \sin 3\theta. \end{align*}

(2) Bestimme Sie den Wert von $\theta$, für den $\sin\theta \times \cos\theta$ ein Maximum ist.

(3) Differenzieren Sie $y=\dfrac{1}{2\pi} \cos 2\pi nt$.

(4) Wenn $y = \sin a^x$ ist, bestimmen Sie $\dfrac{dy}{dx}$.

(5) Differenzieren Sie $y=\log_\epsilon \cos x$.

(6) Differenzieren Sie $y=18.2 \sin(x+26^{\circ})$.

(7) Zeichnen Sie die Kurve $y=100 \sin(\theta-15^{\circ})$; und zeigen Sie, dass die Steigung der Kurve bei $\theta = 75^{\circ}$ die halbe maximale Steigung hat.

(8) Wenn $y=\sin \theta \cdot \sin 2\theta$ ist, bestimmen Sie $\dfrac{dy}{d\theta}$.

(9) Wenn $y=a \cdot \tan^m(\theta^n)$ ist, bestimmen Sie den Differential Koeffizienten von y in Bezug auf $\theta$.

(10) Differenzieren Sie $y=\epsilon^x \sin^2 x$.

(11) Differenzieren Sie die drei Gleichungen aus Übung XIII. (hier), Nr. 4, und vergleichen ihre Differentialkoeffizienten, ob sie für sehr kleine Werte von x oder für sehr große Werte von x oder für Werte von x in der Umgebung von $x= 30$ gleich oder nahezu gleich sind.

(12) Differenzieren Sie die folgenden Ausdrücke:

\begin{align*} \text{(i)}\quad y &= \sec x. \\ \text{(ii)}\quad y &= \arccos x. \\ \text{(iii)}\quad y &= \arctan x. \\ \text{(iv)}\quad y &= \text{arcsec} x. \\ \text{(v)}\quad y &= \tan x \times \sqrt{3 \sec x}. && \end{align*}

(13) Differenzieren Sie $y=\sin(2\theta +3)^{2.3}$.

(14) Differenzieren Sie $y=\theta^3+3 \sin(\theta+3)-3^{\sin \theta} - 3^\theta$.

(15) Bestimmen Sie das Maximum oder Minimum von $y=\theta \cos \theta$.

Antworten

(1) (i) $\dfrac{dy}{d\theta} = A \cos \left( \theta - \dfrac{\pi}{2} \right)$;

(ii) $\dfrac{dy}{d\theta} = 2\sin\theta \cos\theta = \sin2\theta$ und $\dfrac{dy}{d\theta} = 2\cos2\theta$;

(iii) $\dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2 \theta \cos\theta$ und $\dfrac{dy}{d\theta} = 3\cos3\theta$.

(2) $\theta = 45^{\circ}$ oder $\dfrac{\pi}{4}$ rad.

(3) $\dfrac{dy}{dt} = -n \sin 2\pi nt$.

(4) $a^x \log_\epsilon a \cos a^x$.

(5) $\dfrac{\cos x}{\sin x} = \text{cotan}\; x$

(6) $18,2 \cos \left(x + 26^{\circ} \right)$.

(7) Die Steigung ist $\dfrac{dy}{d\theta} = 100\cos\left(\theta - 15^{\circ} \right)$, was ein Maximum ist wenn $(\theta -15^{\circ}) = 0$, oder $\theta = 15^{\circ}$ ist; der Wert der Steigung ist dann ${}= 100$. Wenn $\theta = 75^{\circ}$ ist die Steigung dann $100\cos(75^{\circ} - 15^{\circ}) = 100\cos 60^{\circ} = 100 \times \frac{1}{2} = 50$.

(8) $\begin{aligned}[t] \cos\theta \sin2\theta + 2\cos2\theta \sin\theta &= 2\sin\theta\left(\cos^2 \theta + \cos2\theta\right) \\ &= 2\sin\theta\left(3\cos^2 \theta - 1\right). \end{aligned}$

(9) $amn\theta^{n-1} \tan^{m-1}\left(\theta^n\right)\sec^2 \theta^n$.

(10) $\epsilon^x \left(\sin^2 x + \sin2x\right)$;   $\epsilon^x \left(\sin^2 x + 2\sin2x + 2\cos2x\right)$.

(11) $\left(i\right) \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ab}{\left(x + b\right)^2}$;   (ii) $\dfrac{a}{b} \epsilon^{-\frac{x}{b}}$;   (iii) $\dfrac{1}{90}^{\circ} \times \dfrac{ab}{\left(b^2 + x^2\right)}$.

(12) (i) $\dfrac{dy}{dx} = \sec x \tan x$; (ii) $\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - x^2}}$; (iii) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ 1 + x^2}$; (iv) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \sqrt{ x^2 - 1}}$; (v) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sqrt{ 3\sec x} \left(3\sec^2 x - 1\right)}{2}$.

(13) $\dfrac{dy}{d\theta} = 4.6\left(2\theta + 3\right)^{1.3} \cos\left(2\theta + 3\right)^{2.3}$.

(14) $\dfrac{dy}{d\theta} = 3\theta^2 + 3\cos \left( \theta + 3 \right) - \log_\epsilon 3 \left( \cos\theta \times 3^{\sin\theta} + 3\theta \right)$.

(15) $\theta = \cot\theta; \theta = \pm 0,86$; ist max. für $+\theta$, min. für $-\theta$.

Partial Differentiation

Manchmal stoßen wir auf Größen, die Funktionen von mehr als einer unabhängigen Variablen sind. So können wir einen Fall finden, in dem y von zwei anderen variablen Größen abhängt, von denen wir eine u und die andere v nennen werden. In Symbolen

\[ dy = \frac{\partial y}{\partial u}\, du + \dfrac{\partial y}{\partial v}\, dv; \] \[ y = f(u, v). \]

Nehmen wir den einfachsten konkreten Fall. Sei

\[ y = u \times v. \]

Was sollen wir tun? Wenn wir v als eine Konstante behandeln und nach u differenzieren, sollten wir folgendes erhalten

\[ dy_v = v\, du; \]

oder wenn wir u als Konstante behandeln, und nach v differenzieren, erhalten wir:

\[ dy_u = u\, dv. \]

Die kleinen Buchstaben, die hier als Indizes stehen, sollen zeigen, welche Größe bei der Operation als konstant angenommen wurde.

Eine weitere Möglichkeit, anzuzeigen, dass die Differentiation nur teilweise, also nur bezüglich einer der unabhängigen Variablen durchgeführt wurde, ist die Schreibweise der Differentialkoeffizienten mit griechischen Deltas / russisches d, wie $\partial$, anstelle des kleinen d. Auf diese Weise

\begin{align*} \frac{\partial y}{\partial u} &= v, \\ \frac{\partial y}{\partial v} &= u. \end{align*}

Setzen wir diese Werte für v bzw. u ein, so haben wir

\[ dy_v = \frac{\partial y}{\partial u}\, du, \\ dy_u = \frac{\partial y}{\partial v}\, dv, \]

Das sind partielle Differentiale.

Wenn Sie aber darüber nachdenken, werden Sie feststellen, dass die Gesamtvariation von y von beiden dieser Faktoren gleichzeitig abhängt. Das heißt, wenn beide sich verändern, müsste das wahre/tatsächliche dy geschrieben werden

\[ dy = \frac{\partial y}{\partial u}\, du + \dfrac{\partial y}{\partial v}\, dv; \]

Und das nennt man ein Totales Differential. In manchen Büchern wird es wie folgt geschrieben:

$dy = \left(\dfrac{dy}{du}\right)\, du + \left(\dfrac{dy}{dv}\right)\, dv$.

Beispiel (1)

Bestimmen Sie, die partiellen Differentialkoeffizienten des Ausdrucks $w = 2ax^2 + 3bxy + 4cy^3$. Die Antworten sind:

\[ \left. \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial x} &= 4ax + 3by. \\ \frac{\partial w}{\partial y} &= 3bx + 12cy^2. \end{aligned} \right\} \]

Das erste erhält man, indem man y als konstant annimmt, das zweite erhält man, indem man x als konstant annimmt; dann

\[ dw = (4ax+3by)\, dx + (3bx+12cy^2)\, dy. \]

Beispiel (2) Sei $z = x^y$. Wenn wir zuerst y und dann x als konstant behandeln, erhalten wir auf die übliche Weise

\[ \left. \begin{aligned} \dfrac{\partial z}{\partial x} &= yx^{y-1}, \\ \dfrac{\partial z}{\partial y} &= x^y \times \log_\epsilon x, \end{aligned}\right\} \] sodass $dz = yx^{y-1}\, dx + x^y \log_\epsilon x \, dy$.

Beispiel (3) Ein Kegel mit der Höhe h und dem Radius (der Grundfläche) r hat das Volumen $V=\frac{1}{3} \pi r^2 h$. Bleibt seine Höhe konstant, während sich r ändert, so ist das Verhältnis der Änderung des Volumens in Bezug auf den Radius anders als das Verhältnis der Änderung des Volumens in Bezug auf die Höhe, das sich ergeben würde, wenn die Höhe variiert und der Radius konstant gehalten würde, denn

\[ \left. \begin{aligned} \frac{\partial V}{\partial r} &= \dfrac{2\pi}{3} rh, \\ \frac{\partial V}{\partial h} &= \dfrac{\pi}{3} r^2. \end{aligned}\right\} \]

Die Veränderung, wenn sich sowohl der Radius als auch die Höhe ändern, ist gegeben durch, $dV = \dfrac{2\pi}{3} rh\, dV + \dfrac{\pi}{3} r^2\, dh$.

Beispiel (4) Im folgenden Beispiel bezeichnen F und f zwei beliebige Funktionen von beliebiger Form. Sie können z. B. Sinusfunktionen sein, oder Exponentialfunktionen, oder einfach algebraische Funktionen der beiden unabhängigen Variablen t und x. Betrachten wir nun den Ausdruck

\begin{align*} y &= F(x+at) + f(x-at), \\ \text{bzw.}\;\quad y &= F(w) + f(v); \\ \text{mit }\;\quad w &= x+at,\quad \text{und}\quad v = x-at. \\ \text{Dann }\;\quad \frac{\partial y}{\partial x} &= \frac{\partial F(w)}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial f(v)}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \\ &= F'(w) \cdot 1 + f'(v) \cdot 1 \end{align*}

(wobei die Zahl 1 einfach der Koeffizient von x in w und v ist)

\begin{align*} \text{und}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} &= F''(w) + f''(v). && \\ \text{Also}\; \ \frac{\partial y}{\partial t} &= \frac{\partial F(w)}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial f(v)}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial t} \\ &= F'(w) \cdot a - f'(v) a; \\ \text{und}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= F''(w)a^2 + f''(v)a^2; \\ \text{daher }\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= a^2\, \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. \end{align*}

Diese Differentialgleichung ist von immenser Bedeutung in der mathematischen Physik.

Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen.

Beispiel (5) Nehmen wir noch einmal Bezug auf Übung IX Nr. 4. hier

Sei x und y die Länge von zwei der Abschnitte des Umfanges. Der dritte sei $30-(x+y)$, und der Flächeninhalt des Dreiecks sei $A = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-30+x+y)}$, wobei $s$ der halbe Umfang, $15$, sei, so dass $A = \sqrt{15P}$, wobei

\begin{align*} P &= (15-x)(15-y)(x+y-15) \\ &= xy^2 + x^2y - 15x^2 - 15y^2 - 45xy + 450x + 450y - 3375. \end{align*}

Klarerweise ist A maximal, wenn P maximal ist.

\[ dP = \dfrac{\partial P}{\partial x}\, dx + \dfrac{\partial P}{\partial y}\, dy. \]

Für ein Maximum (in diesem Fall wird es eindeutig kein Minimum sein) muss gleichzeitig folgendes gelten

\[ \dfrac{\partial P}{\partial x} = 0 \quad\text{und}\quad \dfrac{\partial P}{\partial y} = 0; \] das ist, \begin{aligned} 2xy - 30x + y^2 - 45y + 450 &= 0, \\ 2xy - 30y + x^2 - 45x + 450 &= 0. \end{aligned}

Eine unmittelbare Lösung ist $x=y$.

Wenn wir nun diese Bedingung in den Wert von P einsetzen, erhalten wir

\[ P = (15-x)^2 (2x-15) = 2x^3 - 75x^2 + 900x - 3375. \]

Für Maximum oder Minimum gilt $\dfrac{dP}{dx} = 6x^2 - 150x + 900 = 0$, was $x=15$ oder $x=10$ ergibt.

Klarerweise ergibt $x=15$ die minimale Fläche; $x=10$ ergibt das Maximum, denn $\dfrac{d^2 P}{dx^2} = 12x - 150$, was $+30$ für $x=15$ und $-30$ für $x=10$ ist.

Beispiel (6) Bestimmen Sie die Abmessungen eines gewöhnlichen Eisenbahnkohlewaggons mit rechteckigen Boden, so dass bei gegebenem Volumen V die Fläche der Seiten und des Bodens zusammen möglichst klein ist.

Der Waggon ist ein rechteckiger, nach oben offener Kasten. Mit anderen Worten, es handelt sich um einem Quader bei dem eine Seite, die obere, fehlt. Sei x die Länge und y die Breite; dann sei die Tiefe $\dfrac{V}{xy}$. Der Flächeninhalt sei $S=xy + \dfrac{2V}{x} + \dfrac{2V}{y}$.

\[ dS = \frac{\partial S}{\partial x}\, dx + \frac{\partial S}{\partial y}\, dy = \left(y - \frac{2V}{x^2}\right) dx + \left(x - \frac{2V}{y^2}\right) dy. \]

Für Minimum (das wird hier eindeutig kein Maximum sein) gilt,

\[ y - \frac{2V}{x^2} = 0,\quad x - \frac{2V}{y^2} = 0. \]

Auch hier ist eine unmittelbare Lösung, $x = y$, so dass $S = x^2 + \dfrac{4V}{x}\quad$, $\dfrac{dS}{dx}= 2x - \dfrac{4V}{x^2} =0$ für das Minimum, und

\[ x = \sqrt[3]{2V}. \]

Übungen XV

(1) Differenzieren Sie den Ausdruck $\dfrac{x^3}{3} - 2x^3y - 2y^2x + \dfrac{y}{3}$ nur in Bezug auf x, und nur in Bezug auf y.

(2) Bestimmen Sie die partiellen Differential Koeffizienten bezüglich x, y und z, für den Ausdruck:

\[ x^2yz + xy^2z + xyz^2 + x^2y^2z^2. \]

(3) Sei $r^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2$.

Bestimmen Sie den Wert von $\dfrac{\partial r}{\partial x} + \dfrac{\partial r}{\partial y} + \dfrac{\partial r}{\partial z}$. Bestimmen Sie auch den Wert von $\dfrac{\partial^2r}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2r}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2r}{\partial z^2}$.

(4) Bestimmen Sie das totale Differential von $y=u^v$.

(5) Bestimmen Sie das totale Differential von $y=u^3 \sin v$; von $y = (\sin x)^u$; und von $y = \dfrac{\log_\epsilon u}{v}$.

(6) Beweisen Sie, dass die Summe der drei Größen x, y, z, deren Produkt eine Konstante k ist, maximal ist, wenn diese drei Größen gleich sind.

(7) Bestimmen Sie das Maximum oder Minimum der Funktion

\[ u = x + 2xy + y. \]

(8) Die Postvorschriften besagen, dass kein Paket so groß sein darf, dass seine Länge plus seinen Umfang $ 6 $ Fuß überschreitet. Was ist das größte Volumen, das bei einem Paket mit rechteckigem Querschnitt per Post (a ) versendet werden kann; (b ) bei einem Paket mit kreisförmigem Querschnitt.

(9) Teilen Sie $\pi$ in 3 Teile, so dass das zusammengesetzte Produkt ihrer Sinusse ein Maximum oder Minimum sein kann.

(10) Bestimmen Sie das Maximum oder Minimum von $u = \dfrac{\epsilon^{x+y}}{xy}$.

(11) Bestimmen Sie das Maximum und Minimum von

\[ u = y + 2x - 2 \log_\epsilon y - \log_\epsilon x. \]

(12) Ein Eimer/Lore an einer (Luft-)Seilbahn mit gegebener Kapazität hat die Form eines horizontalen gleichschenkligen Dreiecksprismas mit der Spitze nach unten und der gegenüberliegenden Seite offen. Ermitteln Sie die Abmessungen, damit bei der Konstruktion möglichst wenig Eisenblech verwendet werden kann.

Antworten

(1) $x^3 - 6x^2 y - 2y^2;\quad \frac{1}{3} - 2x^3 - 4xy$.

(2) $2xyz + y^2 z + z^2 y + 2xy^2 z^2$; $2xyz + x^2 z + xz^2 + 2x^2 yz^2$; $2xyz + x^2 y + xy^2 + 2x^2 y^2 z$.

(3) $\dfrac{1}{r} \{ \left(x - a\right) + \left( y - b \right) + \left( z - c \right) \} = \dfrac{ \left( x + y + z \right) - \left( a + b + c \right) }{r}$; $\dfrac{3}{r}$.

(4) $dy = vu^{v-1}\, du + u^v \log_\epsilon u\, dv$.

(5) $dy = 3\sin v u^2\, du + u^3 \cos v\, dv$, $dy = u \sin x^{u-1} \cos x\, dx + (\sin x)^u \log_\epsilon \sin x du$, $dy = \dfrac{1}{v}\, \dfrac{1}{u}\, du - \log_\epsilon u \dfrac{1}{v^2}\, dv$.

(6) Siehe Beispiel mit Maximum von Produkt, wenn beide Zahlen gleich groß sind.

(7) Minimum für $x = y = -\frac{1}{2}$.

(8) (a ) Länge 2 Fuß, Breite = Tiefe = 1 Fuß, Volumen = 2 Kubikfuß. (b ) Radius = $\dfrac{2}{\pi}$ Fuß = $7.46$ inch., Länge = 2 Fuß, Volumen = $2.54$ Kubikfuß.

(9) Alle drei Teile / Zahlen gleich groß, dann wird das Produkt maximal.

(10) Minimum für $x = y = 1$.

(11) Min.: $x = \frac{1}{2}$ und $y = 2$.

(12) Winkel am Scheitelpunkt $= 90^{\circ}$; gleiche Seiten = Länge = $\sqrt[3]{2V}$.

Integration

Das große Geheimnis ist schon gelüftet, dass dieses rätselhafte Symbol $\int$, das ja nur ein langes $S$ ist, nur die Summe von bedeutet, oder die Summe aller solchen Mengen wie. Es ähnelt also jenem anderen Symbol $\sum$ (dem griechischen Sigma), das ebenfalls ein Zeichen der Summation ist. Es gibt jedoch einen Unterschied in der Praxis der Mathematik, was den Gebrauch dieser Zeichen betrifft: Während $\sum$ im Allgemeinen verwendet wird, um die Summe einer Anzahl endlicher Mengen anzugeben, wird das Integralzeichen $\int$ im Allgemeinen verwendet, um die Summierung einer riesigen Anzahl kleiner Mengen von unbestimmter Größe anzugeben, eigentlich nur Elemente, die die erforderliche Summe ausmachen. So ist $\int dy = y$, und $\int dx = x$.

Jeder kann verstehen, wie das Ganze von irgendetwas als aus vielen kleinen Stücken bestehend aufgefasst werden kann; und je kleiner die Stücke sind, desto mehr von ihnen wird es geben. So kann man sich eine Linie, die einen Zentimeter lang ist, als aus 10 Teilen zusammengesetzt denken, von denen jedes $\frac{1}{10}$ eines Zentimeters lang ist; oder aus 100 Teilen, von denen jedes Teil $\frac{1}{100}$ eines Zentimeters lang ist; oder aus $1 000 000$ Teilen, von denen jedes $\frac{1}{1 000 000}$ eines Zentimeters lang ist; oder, den Gedanken bis an die Grenzen des Vorstellbaren treibend, kann es als aus einer unendlichen Anzahl von Elementen zusammengesetzt betrachtet werden, von denen jedes unendlich klein ist.

Ja, werden Sie sagen, aber was nützt es, etwas auf diese Weise zu betrachten? Warum kann man es nicht gleich als Ganzes betrachten? Der einfache Grund ist, dass es eine große Anzahl von Fällen gibt, in denen man die Größe der Sache als Ganzes nicht berechnen kann, ohne die Summe vieler kleiner Teile zusammenzurechnen. Der Prozess des Integrierens soll es uns ermöglichen, Summen zu berechnen, die wir sonst nicht direkt berechnen könnten.

Lassen Sie uns zunächst ein oder zwei einfache Fälle betrachten, um uns mit dem Begriff der Summierung vieler Einzelteile vertraut zu machen.

Betrachten Sie die Reihe:

\[ 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{16} + \tfrac{1}{32} + \tfrac{1}{64} + \text{etc.} \]

Hier wird jedes Glied der Reihe gebildet, indem man ihm die Hälfte des Wertes des vorhergehenden nimmt. Wie hoch ist der Wert der Summe, wenn wir zu einer unendlichen Anzahl von Termen übergehen könnten? Jeder Schuljunge weiß, dass die Antwort 2 ist. Stellen Sie es sich, wenn Sie wollen, als eine Linie vor. Beginnen Sie mit einem Zentimeter; fügen Sie einen halben Zentimeter hinzu, fügen Sie ein Viertel hinzu, fügen Sie ein Achtel hinzu, und so weiter. Wenn wir an irgendeinem Punkt der Operation aufhören, wird es immer noch ein Stück geben, das die ganzen 2 Zentimeter ausmachen will; und das fehlende Stück wird immer die gleiche Größe haben wie das zuletzt hinzugefügte Stück. Wenn wir also, nachdem wir 1, $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{4}$ zusammengefügt haben, aufhören, so fehlt noch $\frac{1}{4}$. Wenn wir weitermachen, bis wir $\frac{1}{64}$ addiert haben, wird immer noch $\frac{1}{64}$ fehlen. Der benötigte Rest ist immer gleich dem zuletzt hinzugefügten Term. Nur durch eine unendliche Anzahl von Operationen sollten wir die tatsächliche 2-Zahl erreichen. Praktisch sollten wir sie erreichen, wenn wir zu Stücken kommen, die so klein sind, dass sie nicht gezeichnet werden können - das wäre nach etwa 10 Termen, denn der elfte Term ist $\frac{1}{1024}$. Wenn wir so weit gehen wollen, dass nicht einmal eine Whitworth'sche Messmaschine sie erkennen würde, müssten wir nur bis etwa $20$ Terme gehen. Ein Mikroskop würde nicht einmal den $18^{\text{th}}$-Term anzeigen! Die unendliche Anzahl von Operationen ist also doch keine so furchtbare Sache. Das Integral ist einfach die ganze Menge. Aber, wie wir sehen werden, gibt es Fälle, in denen die Integralrechnung es ermöglicht, auf die exakte Summe zu kommen, die sich als Ergebnis einer unendlichen Anzahl von Operationen ergeben würde. In solchen Fällen gibt uns die Integralrechnung einen schnellen und einfachen Weg, um zu einem Ergebnis zu kommen, das sonst eine unendliche Menge an aufwändiger Ausarbeitung erfordern würde. Wir sollten also keine Zeit verlieren, um zu lernen, wie man integriert.

Steigungen von Kurven und die Kurven selbst.

Lassen Sie uns eine kleine Vorüberlegung über die Steigungen von Kurven anstellen. Denn wir haben gesehen, dass das Differenzieren einer Kurve bedeutet, einen Ausdruck für ihre Steigung (oder für ihre Steigungen an verschiedenen Punkten) zu finden. Können wir den umgekehrten Prozess der Rekonstruktion der gesamten Kurve durchführen, wenn uns die Steigung (oder die Steigungen) vorgegeben sind?

Gehen Sie zurück zu Fall (2) hier. Hier haben wir die einfachste aller Kurven, eine schräge Linie mit der Gleichung

\[ y = ax+b. \]

Wir wissen, dass hier b die Anfangshöhe von y bei $x= 0$ darstellt, und dass a, dass gleich $\dfrac{dy}{dx}$ ist, die Steigung der Geraden ist. Die Gerade hat eine konstante Steigung. Entlang der Geraden haben die elementaren Dreiecke

das gleiche Verhältnis zwischen Höhe und Grundseite. Nehmen wir an, dass die dx's und dy's von endlicher Größe sind, sodass 10 dx's einen Zentimeter ausmachen, dann gäbe es zehn kleine Dreiecke wie

Nun nehmen wir an, wir hätten die Aufgabe, die Kurve zu rekonstruieren, indem wir lediglich von der Information ausgehen, dass $\dfrac{dy}{dx} = a$ ist. Was könnten wir tun? Nehmen wir weiterhin an, dass die kleinen d endlich groß sind, könnten wir 10 von ihnen (elementar Dreiecke) zeichnen, alle mit der gleichen Steigung, und sie dann aneinanderreihen, so wie hier:

Und da die Steigung für alle gleich ist, würden sie sich, wie in Abbildung 48, zu einer schrägen Linie mit der richtigen Steigung $\dfrac{dy}{dx} = a$ verbinden. Und ob wir die dy's und dx's als endlich oder unendlich klein nehmen, da sie alle gleich sind, ist eindeutig $\dfrac{y}{x} = a$, wenn wir y als die Summe aller dy's und x als die Summe aller dx's auffassen. Wo aber sollen wir diese schräge Linie ansetzen? Sollen wir am Ursprung $O$ beginnen, oder weiter oben? Da die einzige Information, die wir haben, die Steigung ist, haben wir keine Hinweise auf die bestimmte Höhe über $O$; in der Tat ist die Anfangshöhe unbestimmt. Die Steigung wird gleich sein, unabhängig von der Anfangshöhe. Machen wir also einen Versuch und beginnen wir die (steigende) Linie in einer Höhe $C$ über $O$. Das heißt, wir haben die Gleichung

\[ y = ax + C. \]

Es wird nun deutlich, dass in diesem Fall die hinzugefügte Konstante den bestimmten Wert meint, den y hat, wenn $x = 0$.

Nehmen wir nun einen schwierigeren Fall, nämlich den einer Geraden, deren Steigung nicht konstant ist, sondern immer mehr ansteigt. Nehmen wir an, dass die Steigung mit wachsendem x immer größer wird. Als Formel ist das:

\[ \frac{dy}{dx} = ax. \]

Oder, um einen konkreten Fall zu nennen, nehmen Sie $a = \frac{1}{5}$, so dass gilt

\[ \frac{dy}{dx} = \tfrac{1}{5} x. \]

Dann beginnen wir am besten damit, einige Werte der Steigung bei verschiedenen Werten von x zu berechnen und auch kleine Diagramme davon zu zeichnen.

Wenn

$x =0$	$ \frac{dy}{dx} = 0 $
$x =1$	$ \frac{dy}{dx} = 0,2 $
$x =2$	$ \frac{dy}{dx} = 0,4 $
$x =3$	$ \frac{dy}{dx} = 0,6 $
$x =4$	$ \frac{dy}{dx} = 0,8 $
$x =5$	$ \frac{dy}{dx} = 1,0 $

Versuchen Sie nun, die Teile so zusammenzusetzen, dass die Mitte ihrer Basis den richtigen Abstand nach rechts hat und dass sie an den Ecken zusammenpassen; also Abbildung 49. Das Ergebnis ist natürlich keine glatte Kurve, aber es ist eine Annäherung an eine solche. Hätten wir halb so lange und doppelt so viele Elemente / Teilstücke genommen, wie Abbildung 50, hätten wir eine bessere Annäherung. Aber für eine perfekte Kurve müssten wir jedes dx und sein entsprechendes dy unendlich klein und unendlich viele davon nehmen.

Wie groß soll dann der Wert eines beliebigen y sein? Es ist klar, dass an jedem Punkt P der Kurve der Wert von y die Summe aller kleinen dy von 0 bis zu dieser Höhe ist, also $\int dy = y$. Und da jedes dy gleich $\frac{1}{5}x \cdot dx$ ist, folgt daraus, dass das ganze y gleich der Summe all dieser Teilstücke wie $\frac{1}{5}x \cdot dx$ sein wird, oder, wie wir es schreiben sollten, $\int \tfrac{1}{5}x \cdot dx$.

Wenn nun x konstant gewesen wäre, wäre $\int \tfrac{1}{5}x \cdot dx$ dasselbe wie $\frac{1}{5} x \int dx$, oder $\frac{1}{5}x^2$ gewesen. Aber x begann mit 0 und steigt bis zu dem bestimmten Wert von x am Punkt P an, so dass sein Mittelwert von 0 bis zu diesem Punkt $\frac{1}{2}x$ ist. Daraus folgt $\int \tfrac{1}{5} x\, dx = \tfrac{1}{10} x^2$; oder $y=\frac{1}{10}x^2$.

Aber auch hier müssen wir eine unbestimmte Konstante $C$ hinzufügen, weil wir nicht wissen, in welcher Höhe über dem Ursprung die Kurve beginnt, wenn $x = 0$ ist. Wir schreiben also, als Gleichung der in Abbildung 51 gezeichneten Kurve,

\[ y = \tfrac{1}{10}x^2 + C. \]

Übungen XVI

(1) Bestimmen Sie die Endsumme von $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \text{etc}$.

(2) Zeigen Sie dass die Reihe $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$ etc., konvergent ist, und bestimmen Sie ihre Summe für die ersten $8$ Terme.

(3) Wenn $\log_\epsilon(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \text{etc}$ ist., bestimmen Sie $\log_\epsilon 1.3$.

(4) Bestimmen Sie y nach einer ähnlichen Argumentation wie in diesem Kapitel erläutert wurde, für den Fall

\[ (a) \text{wenn}\; \frac{dy}{dx} = \tfrac{1}{4} x;   (b) \text{wenn}\; \frac{dy}{dx} = \cos x. \]

(5) Bestimmen Sie für $\dfrac{dy}{dx} = 2x + 3$, den Wert von y.

Antworten

(1) $1\frac{1}{3}$.

(2) $0,6344$.

(3) $0,2624$.

(4) (a ) $y = \frac{1}{8} x^2 + C$;   (b ) $y = \sin x + C$.

(5) $y = x^2 + 3x + C$.

Integration als Umkehrung der Differentiation

Wie jede andere mathematische Operation kann auch der Prozess des Differenzierens umgekehrt werden; wenn also das Differenzieren von $y = x^4$ zu einem Ergebnis von $\dfrac{dy}{dx} = 4x^3$ führt, würde man sagen, dass die Umkehrung des Prozesses $y = x^4$ ergeben würde, wenn man mit $\dfrac{dy}{dx} = 4x^3$ beginnt. Doch hier kommt ein kurioser Punkt ins Spiel. Wir müssten $\dfrac{dy}{dx} = 4x^3$ erhalten, wenn wir mit einer beliebigen der folgenden Möglichkeiten begonnen hätten: x⁴, oder $x^4 + a$, oder $x^4 + c$, oder x⁴ mit einer beliebigen Zusatzkonstante. Es ist also klar, dass man bei der Rückrechnung von $\dfrac{dy}{dx}$ auf y die Möglichkeit einer addierten Konstante mit einkalkulieren muss, deren Wert unbestimmt bleibt, bis diese auf andere Weise ermittelt wird. Wenn also die Differenzierung von xⁿ nx^n-1 ergibt, erhalten wir beim Rückrechnen von $\dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1}$ $y = x^n + C$; wobei $C$ für die noch unbestimmte mögliche Konstante steht.

Beim Umgang mit Potenzen von x ist die Regel für das Zurückrechnen eindeutig: Erhöhe die Potenz um 1, teile dann durch diese erhöhte Potenz und addiere die unbestimmte Konstante.

Also, in dem Fall, wenn

\[ \frac{dy}{dx} = x^n, \]

zurückgerechnet wird, erhalten wir

\[ y = \frac{1}{n + 1} x^{n+1} + C. \]

Wenn die Differenzierung der Gleichung y = axⁿ uns folgendes

\[ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1} \]

ergibt, ist es eine Frage des gesunden Menschenverstandes, dass wir so

\[ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}, \]

mit dem Prozess beginnen und ihn umkehren, was uns folgendes gibt

\[ y = ax^n. \]

Wenn wir es also mit einer multiplizierenden Konstante zu tun haben, müssen wir die Konstante einfach als Multiplikator des Integrationsergebnisses einsetzen.

Wenn also $\dfrac{dy}{dx} = 4x^2$ ist, erhalten wir durch den umgekehrten Vorgang $y = \frac{4}{3}x^3$.

Aber dies ist unvollständig. Denn wir müssen uns daran erinnern, dass, wenn wir mit

\[ y = ax^n + C, \]

begonnen hätten, wobei $C$ eine beliebige konstante Größe ist, hätten wir ebenso

\[ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}. \]

gefunden.

Wenn wir also den Prozess umkehren, müssen wir immer daran denken, diese unbestimmte Konstante zu addieren, auch wenn wir noch nicht wissen, welchen Wert sie haben wird.

Dieses Verfahren, die Umkehrung des Differenzierens, nennt man Integrieren; denn es besteht darin, den Wert der ganzen Menge y zu finden, wenn man nur einen Ausdruck für dy oder für $\dfrac{dy}{dx}$ gegeben hat. Bisher haben wir dy und dx als Differentialkoeffizienten möglichst zusammen gehalten: in Zukunft werden wir sie öfter trennen müssen.

Beginnen wir mit einem einfachen Fall,

\[ \frac{dy}{dx} = x^2. \]

Wir können dies, wenn wir wollen, als

\[ dy = x^2\, dx \]

schreiben.

Dies ist nun eine Differentialgleichung, die uns mitteilt, dass ein Element von y gleich dem entsprechenden Element von x multipliziert mit x² ist. Was wir nun wollen, ist das Integral; schreiben Sie also mit dem richtigen Symbol die Anweisungen zur Integration beider Seiten auf, also:

\[ \int dy = \int x^2\, dx. \]

[Hinweis zum Lesen von Integralen: Die obigen werden so gelesen: Integral d-y ist gleich Integral iks quadrat d-iks.]

Wir haben noch nicht integriert: Wir haben nur Anweisungen aufgeschrieben, um dies zu integrieren - wenn wir es können. Lassen Sie es uns versuchen. Viele andere Narren können es - warum nicht auch wir? Die linke Seite ist die Einfachheit selbst. Die Summe aller Teilstücke von y ist dasselbe wie y selbst. Wir können also sofort sagen:

\[ y = \int x^2\, dx. \]

Aber wenn wir zur rechten Seite der Gleichung kommen, müssen wir bedenken, dass wir nicht alle dx's zusammenzählen müssen, sondern alle Terme wie $x^2\, dx$; und das wird nicht dasselbe sein wie $x^2 \int dx$, denn x² ist keine Konstante. Denn einige der dx werden mit großen Werten von x² multipliziert werden, und einige werden mit kleinen Werten von x² multipliziert werden, je nachdem, welchen Wert x gerade besitzt. Wir müssen uns also überlegen, inwieweit es uns hier helfen kann, dass wir wissen, dass dieser Prozess der Integration die Umkehrung der Differenzierung ist. Unsere Regel für diesen umgekehrten Prozess - siehe hier - lautet nun bei xⁿ: Erhöhung der Potenz um eins, und Division durch die gleiche Zahl wie diese erhöhte Potenz. Das heißt, $x^2\, dx$ wird * zu $\frac{1}{3} x^3$ geändert. Setzen Sie dies in die Gleichung ein; vergessen Sie aber nicht, die Integrationskonstante $C$ am Ende hinzuzufügen. Wir erhalten also:

\[ y = \tfrac{1}{3} x^3 + C. \]

Sie haben die Integration tatsächlich durchgeführt. Wie einfach!

* Sie fragen sich vielleicht, was aus dem kleinen dx am Ende geworden ist? Nun, denken Sie daran, dass es eigentlich Teil des Differentialkoeffizienten war und, wenn es auf die rechte Seite gebracht wird, wie in $x^2\, dx$, es als Erinnerung dafür dient, dass x die unabhängige Variable ist, in Bezug auf die die Operation ausgeführt werden soll; und als Ergebnis der Aufsummierung des Produkts hat sich die Potenz von x um eins erhöht. Damit werden Sie bald vertraut sein.

Lassen Sie uns einen anderen einfachen Fall versuchen.

Sei

\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= ax^{12}, \end{align*}

wobei a ein beliebiger konstanter Multiplikator ist. Nun, wir haben beim Differenzieren (siehe hier) festgestellt, dass jeder konstante Faktor im Wert von y unverändert im Wert von $\dfrac{dy}{dx}$ wieder auftaucht. Im umgekehrten Prozess des Integrierens wird er also auch im Wert von y wieder auftauchen. Wir können also wie bisher vorgehen, also

\begin{align*} dy &= ax^{12} \cdot dx,\\ \int dy &= \int ax^{12} \cdot dx,\\ \int dy &= a \int x^{12}\, dx,\\\ y &= a \times \tfrac{1}{13} x^{13} + C. \end{align*}

Das wäre also geschafft. Wie einfach!

Wir beginnen nun zu begreifen, dass das Integrieren ein Prozess des Zurückfindens ist, im Gegensatz zum Differenzieren. Wenn wir beim Differenzieren einmal einen bestimmten Ausdruck gefunden haben - in diesem Beispiel $ax^{12}$, können wir zu dem y zurückfinden, von dem er abgeleitet wurde. Der Gegensatz zwischen den beiden Verfahren mag durch die folgende Bemerkung veranschaulicht werden, die auf einen bekannten Lehrer zurückgeht. Wenn man einen Fremden am Trafalgar Square absetzt und ihm sagt, er solle den Weg zur Euston Station finden, könnte er die Aufgabe für hoffnungslos halten. Aber wenn er zuvor persönlich von der Euston Station zum Trafalgar Square geführt worden wäre, würde es ihm vergleichsweise leicht fallen, den Weg zurück zur Euston Station zu finden.

Integration der Summe oder Differenz zweier Funktionen.

\begin{align*} \mbox{Sei } \frac{dy}{dx} &= x^2 + x^3, \\ \mbox{dann } dy &= x^2\, dx + x^3\, dx. \end{align*}

Es gibt keinen Grund, warum wir nicht jeden Term einzeln integrieren sollten: Denn wie man hier sehen kann, haben wir festgestellt, dass, wenn wir die Summe von zwei separaten Funktionen differenzieren, der Differentialkoeffizient einfach die Summe der beiden separaten Differentionen ist. Wenn wir also rückwärts arbeiten und integrieren, wird die Integration einfach die Summe der beiden separaten Integrationen sein.

Unsere Anleitung ist dann: \begin{align*} \int dy &= \int (x^2 + x^3)\, dx \\ &= \int x^2\, dx + \int x^3\, dx \\ y &= \tfrac{1}{3} x^3 + \tfrac{1}{4} x^4 + C. \end{align*}

Wäre einer der Terme eine negative Größe gewesen, wäre der entsprechende Term im Integral ebenfalls negativ gewesen. Damit sind Differenzen genauso leicht zu behandeln wie Summen.

Wie man mit konstanten Termen umgeht

Angenommen, in dem zu integrierenden Ausdruck gibt es einen konstanten Term - wie zum Beispiel diesen:

\[ \frac{dy}{dx} = x^n + b. \]

Das ist einfach. Denn Sie müssen sich nur daran erinnern, dass beim Differenzieren des Ausdrucks $y = ax$ das Ergebnis $\dfrac{dy}{dx} = a$ war. Wenn Sie also in die andere Richtung arbeiten und integrieren, taucht die Konstante, multipliziert mit x wieder auf. Wir erhalten also

\begin{align*} dy &= x^n\, dx + b \cdot dx, \\ \int dy &= \int x^n\, dx + \int b\, dx, \\ y &= \frac{1}{n+1} x^{n+1} + bx + C. \end{align*}

Hier sind einige Beispiele, an denen Sie Ihre neu erworbenen Fähigkeiten ausprobieren können.

Examples

(1) Sei $\dfrac{dy}{dx} = 24x^{11}$. Bestimmen Sie y.

Antwort. $y = 2x^{12} + C$.

(2) Bestimmen Sie $\int (a + b)(x + 1)\, dx$.

Ist es $(a + b) \int (x + 1)\, dx$ oder $(a + b) \left[\int x\, dx + \int dx\right]$ oder $(a + b) \left(\dfrac{x^2}{2} + x\right) + C$.

(3) Sei $\dfrac{du}{dt} = gt^{\frac{1}{2}}$. Bestimmen Sie u.

Antwort. $u = \frac{2}{3} gt^{\frac{3}{2}} + C$.

(4) $\dfrac{dy}{dx} = x^3 - x^2 + x$. Bestimmen Sie y.

\begin{align*} dy &= (x^3 - x^2 + x)\, dx\quad\text{ bzw.} \\ dy &= x^3\, dx - x^2\, dx + x\, dx;\quad y = \int x^3\, dx - \int x^2\, dx + \int x\, dx; \end{align*} und \begin{align*} y &= \tfrac{1}{4} x^4 - \tfrac{1}{3} x^3 + \tfrac{1}{2} x^2 + C. \end{align*}

(5) Integrieren Sie $9,75x^{2,25}\, dx$.

Antwort . $y = 3x^{3,25} + C$.

Die sind einfach genug. Lassen Sie uns einen anderen Fall versuchen.

Beginnen wir. Sei

\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= ax^{-1}. \end{align*}

Wir verfahren wie bisher und schreiben

\[ dy = a x^{-1} - dx,\quad \int dy = a \int x^{-1}\, dx. \]

Gut, aber was ist das Integral von $x^{-1}\, dx$?

Wenn Sie auf die Ergebnisse des Differenzierens von x² und x³ und xⁿ usw. zurückblicken, werden Sie feststellen, dass wir nie $x^{-1}$ aus irgendeinem von ihnen als Wert für $\dfrac{dy}{dx}$ erhalten haben. Wir bekamen $3x^2$ von x³; wir bekamen 2x von x²; wir bekamen 1 von $x^1$ (also von x selbst); aber wir bekamen nicht $x^{-1}$ von $x^0$, und zwar aus zwei sehr guten Gründen. Erstens ist $x^0$ einfach $= 1$, und das ist eine Konstante, die keinen Differentialkoeffizienten haben kann. Zweitens, selbst wenn es differenziert werden könnte, wäre sein Differentialkoeffizient (den man durch sklavisches Befolgen der üblichen Regel erhält) $0 \times x^{-1}$, und die Multiplikation mit null ergibt den Wert null! Wenn wir also nun versuchen, $x^{-1}\, dx$ zu integrieren, sehen wir, dass es nirgendwo in den Potenzen von x vorkommt, die durch die Regel gegeben sind: \[ \int x^n\, dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1}. \] Das ist ein Ausnahmefall.

Nun; aber versuchen Sie es noch einmal. Gehen Sie alle verschiedenen Differentiale durch, die sich aus verschiedenen Funktionen von x in den bisherigen Aufgaben ergeben haben, und versuchen Sie, unter ihnen $x^{-1}$ zu finden. Eine ausreichende Suche wird zeigen, dass wir tatsächlich $\dfrac{dy}{dx} = x^{-1}$ als Ergebnis der Differenzierung der Funktion $y = \log_\epsilon x$ erhalten haben (siehe hier).

Da wir wissen, dass die Differenzierung von $\log_\epsilon x$ uns $x^{-1}$ liefert, wissen wir natürlich auch, dass wir durch Umkehrung des Prozesses, durch Integration von $dy = x^{-1}\, dx$, $y = \log_\epsilon x$ erhalten. Wir dürfen aber weder den gegebenen konstanten Faktor a vergessen, noch die unbestimmte Integrationskonstante. Dies gibt uns dann als Lösung des vorliegenden Problems,

\[ y = a \log_\epsilon x + C. \]

Anmerkung: Hier sei die sehr bemerkenswerte Tatsache angemerkt, dass wir im obigen Fall nicht hätten integrieren können, wenn wir nicht zufällig die entsprechende Differentiation gekannt hätten. Hätte man nicht herausgefunden, dass die Differenzierung von $\log_\epsilon x$ $x^{-1}$ ergibt, wären wir an dem Problem, wie man $x^{-1}\, dx$ integriert, völlig hängen geblieben. In der Tat sollte man offen zugeben, dass dies eine der seltsamen Eigenschaften der Integralrechnung ist: dass man nichts integrieren kann, bevor der umgekehrte Prozess des Differenzierens von etwas anderem den Ausdruck ergeben hat, den man integrieren will. Niemand, selbst heute nicht, ist in der Lage, das allgemeine Integral des Ausdrucks zu finden, \[ \frac{dy}{dx} = a^{-x^2}, \] zu finden, weil $a^{-x^2}$ noch nie als Ergebnis einer Differenzierung von etwas anderem gefunden wurde.

Anmerkung: Mit Hilfe der gaußschen Fehlerfunktion erf (https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion) läßt sich eine Lösung für dieses Problem finden. \[ \int a^{-x^{2}} = \dfrac{\sqrt{{\pi}}\operatorname{erf}\left(\sqrt{\ln\left(a\right)}x\right)}{2\sqrt{\ln\left(a\right)}} + C \]

Ein weiterer einfacher Fall.

Bestimmen Sie $\int (x + 1)(x + 2)\, dx$.

Bei der Betrachtung der zu integrierenden Funktion fällt Ihnen auf, dass sie das Produkt zweier verschiedener Funktionen von x ist. Man könnte, so denken Sie, $(x + 1)\, dx$ für sich alleine integrieren, oder $(x + 2)\, dx$ für sich allein. Natürlich könnte man das. Aber was macht man mit einem Produkt? Bei keiner der gelernten Differenzierungen haben Sie für den Differentialkoeffizienten ein solches Produkt erhalten. Wenn das nicht der Fall ist, ist es am einfachsten, die beiden Funktionen zu multiplizieren und dann zu integrieren. Das gibt uns

> \[ \int (x^2 + 3x + 2)\, dx. \]

Und das ist das Gleiche wie

\[ \int x^2\, dx + \int 3x\, dx + \int 2\, dx. \]

Und wenn wir die Integrationen durchführen, erhalten wir

\[ \tfrac{1}{3} x^3 + \tfrac{3}{2} x^2 + 2x + C. \]

Einige andere Integrale

Nachdem wir nun wissen, dass die Integration die Umkehrung der Differenzierung ist, können wir sofort die Differentialkoeffizienten nachschlagen, die wir bereits kennen, und sehen, von welchen Funktionen sie abgeleitet wurden. Dadurch erhalten wir die bereits fertigen Integrale für:

\begin{alignat*}{4} &x^{-1} &&\qquad && \int x^{-1}\, dx &&= \log_\epsilon x + C. \\ %\label{intex2} &\frac{1}{x+a} && && \int \frac{1}{x+a}\, dx &&= \log_\epsilon (x+a) + C. \\ &\epsilon^x && && \int \epsilon^x\, dx &&= \epsilon ^x + C. \\ &\epsilon^{-x} &&&& \int \epsilon^{-x}\, dx &&= -\epsilon^{-x} + C \\ \end{alignat*} (for if $y = - \dfrac{1}{\epsilon^x}$, $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\epsilon^x × 0 - 1 × \epsilon^x}{\epsilon^{2x}} = \epsilon^{-x}$). \begin{alignat*}{4} &\sin x && && \int \sin x\, dx &&= -\cos x + C. \\ &\cos x && && \int \cos x\, dx &&= \sin x + C. \\ \end{alignat*}

Außerdem können wir Folgende ableiten:

\begin{alignat*}{4} &\log_\epsilon x; &&&& \int\log_\epsilon x\, dx &&= x(\log_\epsilon x - 1) + C \\ \end{alignat*} (wenn $y = x \log_\epsilon x - x$, $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{x} + \log_\epsilon x - 1 = \log_\epsilon x$). \begin{alignat*}{4} &\log_{10} x; &&&& \int\log_{10} x\, dx &&= 0,4343x (\log_\epsilon x - 1) + C. \\ &a^x && && \int a^x\, dx &&= \dfrac{a^x}{\log_\epsilon a} + C. \\ % \label{cosax} &\cos ax; &&&& \int\cos ax\, dx &&= \frac{1}{a} \sin ax + C \\ \end{alignat*} (denn wenn $y = \sin ax$, $\dfrac{dy}{dx} = a \cos ax$; daher, um $\cos ax$ zu erhalten, muss man $y = \dfrac{1}{a} \sin ax$ differenzieren). \begin{alignat*}{4} &\sin ax; &&&& \int\sin ax\, dx &&= -\frac{1}{a} \cos ax + C. \\ \end{alignat*}

Versuchen Sie $\cos^2\theta$; ein wenig ausweichen wird die Aufgabe vereinfachen: \[ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2 \theta - 1; \\ \] daher \[ \cos^2\theta = \tfrac{1}{2}(\cos 2\theta + 1), \] und \begin{align*} \int\cos^2 \theta\, d\theta &= \tfrac{1}{2} \int (\cos 2\theta + 1)\, d\theta \\ &= \tfrac{1}{2} \int \cos 2 \theta\, d\theta + \tfrac{1}{2} \int d\theta. \\ &= \frac{\sin 2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} + C. \end{align*}

(Siehe auch hier)

Siehe auch die Tabelle der Standardformen. Eine solche Tabelle sollten Sie für sich selbst erstellen und darin die allgemeinen Funktionen eintragen, die Sie erfolgreich differenziert und integriert haben. Sorgen Sie dafür, dass die Tabelle stetig wächst!

Zu Doppel- und Dreifachintegralen.

In vielen Fällen ist es notwendig, einen Ausdruck für zwei oder mehr darin enthaltene Variablen zu integrieren; und in diesem Fall erscheint das Zeichen der Integration mehr als einmal. Beispiel, \[ \iint f(x,y,)\, dx\, dy \] bedeutet, dass eine Funktion der Variablen x und y, für jede Variable integriert werden muss. Dabei spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge dies geschieht. Nehmen wir also die Funktion $x^2 + y^2$. Integrieren wir sie bezüglich x, so erhalten wir: \[ \int (x^2+y^2)\, dx = \tfrac{1}{3} x^3 + xy^2. \]

Integrieren Sie dies nun bezüglich y:

\[ \int (\tfrac{1}{3} x^3 + xy^2)\, dy = \tfrac{1}{3} x^3y + \tfrac{1}{3} xy^3, \]

dazu muss natürlich noch die Konstante addiert werden. Hätten wir die Reihenfolge der Operationen umgedreht, wäre das Ergebnis dasselbe.

Bei der Behandlung von Flächen und Körpern müssen wir oft sowohl für die Länge als auch für die Breite integrieren und haben daher Integrale der Form

\[ \iint u \cdot dx\, dy, \]

wobei u eine Eigenschaft ist, die in jedem Punkt von x und von y abhängt. Dies nennt man dann ein Oberflächenintegral. Es gibt an, dass der Wert von allen Elemente wie $u \cdot dx \cdot dy$ (also der Wert von u über ein kleines Rechteck welches dx lang und dy breit ist) über die ganze Länge und die ganze Breite aufsummiert werden muss.

Gleiches gilt für den Fall von Körpern, wo wir es mit drei Dimensionen zu tun haben. Betrachten wir ein beliebiges Volumenelement, den kleinen Würfel, dessen Abmessungen dx dy $dz$ sind. Wenn die Abbildung eines Körpers durch die Funktion $f(x, y, z)$ ausgedrückt wird, dann hat der ganze Körper das Volumen-Integral,

\[ \text{Volumen} = \iiint f(x,y,z) \cdot dx \cdot dy \cdot dz. \]

Natürlich müssen solche Integrationen zwischen geeigneten Grenzwerten (Siehe hier für die Integration zwischen Grenzwerten.) in jeder Dimension durchgeführt werden; und die Integration kann nur durchgeführt werden, wenn man weiß, in welcher Weise die Grenzen der Fläche von x, y und z abhängen. Wenn die Grenzen für x von $x_1$ bis $x_2$, die für y von $y_1$ bis $y_2$ und die für z von $z_1$ bis $z_2$ sind, dann haben wir:

\[ \text{Volumen} = \int_{z1}^{z2} \int_{y1}^{y2} \int_{x1}^{x2} f(x,y,z) \cdot dx \cdot dy \cdot dz. \]

Es gibt natürlich viele komplizierte und schwierige Fälle; aber im Allgemeinen ist es recht einfach, die Bedeutung der Symbole zu erkennen, wenn sie darauf hinweisen sollen, dass eine bestimmte Integration über eine gegebene Fläche oder über einen gegebenen Körper durchgeführt werden muss.

Übungen XVII

(1) Bestimmen Sie $\int y\, dx$ wenn $y^2 = 4 ax$.

(2) Bestimmen Sie $\int \frac{3}{x^4}\, dx$.

(3) Bestimmen Sie $\int \frac{1}{a} x^3\, dx$.

(4) Bestimmen Sie $\int (x^2 + a)\, dx$.

(5) Integrieren Sie $5x^{-\frac{7}{2}}$.

(6) Bestimmen Sie $\int (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1)\, dx$.

(7) Wenn $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ax}{2} + \dfrac{bx^2}{3} + \dfrac{cx^3}{4}$; bestimmen Sie y.

(8) Bestimmen Sie $\int \left(\frac{x^2 + a}{x + a}\right) dx$.

(9) Bestimmen Sie $\int (x + 3)^3\, dx$.

(10) Bestimmen Sie $\int (x + 2)(x - a)\, dx$.

(11) Bestimmen Sie $\int (\sqrt x + \sqrt[3] x) 3a^2\, dx$.

(12) Bestimmen Sie $\int (\sin \theta - \tfrac{1}{2})\, \frac{d\theta}{3}$.

(13) Bestimmen Sie $\int \cos^2 a \theta\, d\theta$.

(14) Bestimmen Sie $\int \sin^2 \theta\, d\theta$.

(15) Bestimmen Sie $\int \sin^2 a \theta\, d\theta$.

(16) Bestimmen Sie $\int \epsilon^{3x}\, dx$.

(17) Bestimmen Sie $\int \dfrac{dx}{1 + x}$.

(18) Bestimmen Sie $\int \dfrac{dx}{1 - x}$.

 

Antworten

(1) $\dfrac{4\sqrt{a} x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$.

(2) $-\dfrac{1}{x^3} + C$.

(3) $\dfrac{x^4}{4a} + C$.

(4) $\tfrac{1}{3} x^3 + ax + C$.

(5) $-2x^{-\frac{5}{2}} + C$.

(6) $x^4 + x^3 + x^2 + x + C$.

(7) $\dfrac{ax^2}{4} + \dfrac{bx^3}{9} + \dfrac{cx^4}{16} + C$.

(8) $\dfrac{x^2 + a}{x + a} = x - a + \dfrac{a^2 + a}{x + a}$ durch Division. Daher ist die Antwort $\dfrac{x^2}{2} - ax + (a^2 + a)\log_\epsilon (x + a) + C$. (Siehe hier und hier.)

(9) $\dfrac{x^4}{4} + 3x^3 + \dfrac{27}{2} x^2 + 27x + C$.

(10) $\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2 - a}{2} x^2 - 2ax + C$.

(11) $a^2(2x^{\frac{3}{2}} + \tfrac{9}{4} x^{\frac{4}{3}}) + C$.

(12) $-\tfrac{1}{3} \cos\theta - \tfrac{1}{6} \theta + C$.

(13) $\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\sin 2a\theta}{4a} + C$.

(14) $\dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\sin 2\theta}{4} + C$.

(15) $\dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\sin 2a\theta}{4a} + C$.

(16) $\tfrac{1}{3} \epsilon^{3x} +C$.

(17) $\log(1 + x) + C$.

(18) $-\log_\epsilon (1 - x) + C$.

Über das Bestimmen von Flächen durch Integrieren

Eine Anwendung der Integralrechnung ist es, die Werte von Flächen, die durch Kurven begrenzt sind, zu ermitteln.

Lassen Sie uns versuchen, dem Thema Stück für Stück näher zu kommen.

Lassen Sie AB (Abbildung 52) eine Kurve sein, deren Gleichung bekannt ist. Das heißt, y ist in dieser Kurve eine bekannte Funktion von x. Stellen Sie sich ein Stück der Kurve vom Punkt P zum Punkt Q vor.

Lassen Sie eine Senkrechte $PM$ vom Punkt P und eine weitere $QN$ vom Punkt Q fallen. Dann seien $OM = x_1$ und $ON = x_2$, und die Ordinaten $PM = y_1$ und $QN = y_2$. Damit haben wir die Fläche $PQNM$ abgesteckt, die unter dem Stück $PQ$ liegt. Das Problem ist, wie können wir den Wert dieser Fläche berechnen?

Das Geheimnis zur Lösung dieses Problems besteht darin, sich die Fläche als in viele schmale Streifen aufgeteilt vorzustellen, von denen jeder die Breite dx hat. Je kleiner wir dx nehmen, desto mehr davon gibt es zwischen $x_1$ und $x_2$. Nun ist die Gesamtfläche offensichtlich gleich der Summe der Flächen aller dieser Streifen. Unsere Aufgabe wird es nun sein, einen Ausdruck für die Fläche eines beliebigen schmalen Streifens zu finden und diesen zu integrieren, um alle Streifen zu addieren. Denken Sie nun an einen der Streifen. Er wird so aussehen: Er wird von zwei senkrechten Seiten begrenzt, hat eine flache Unterseite dx und eine leicht gekrümmte, schräge Oberseite.

Angenommen, wir nehmen ihre mittlere Höhe als y an; dann ist, da ihre Breite dx ist, ist ihre Fläche $y\, dx$. Und da wir die Breite so schmal nehmen können, wie wir wollen, wird, wenn wir sie nur schmal genug nehmen, ihre durchschnittliche Höhe gleich der Höhe in ihrer Mitte sein. Nennen wir nun den unbekannten Wert der gesamten Fläche $S$ (für Surface engl. Oberfläche bzw. Fläche), hier Fläche. Die Fläche eines Streifens wird einfach ein Teil der Gesamtfläche sein, und kann daher $dS$ genannt werden. Wir können also schreiben

\[ \text{Fläche eines 1-Streifens} = dS = y \cdot dx. \]

Wenn wir dann alle Streifen zusammenzählen, erhalten wir

\[ \text{Gesamtfläche $S$} = \int dS = \int y\, dx. \]

Dass wir $S$ finden, hängt also davon ab, ob wir $y \cdot dx$ für den speziellen Fall integrieren können, also wenn wir wissen, wie groß der Wert von y in Abhängigkeit von x ist. M.a.W. wenn wir die Funktion kennen.

Wenn Ihnen zum Beispiel gesagt würde, dass für die betreffende Kurve $y = b + ax^2$ gilt, könnten Sie zweifellos diesen Wert in den Ausdruck einsetzen und sagen: Dann muss ich $\int (b + ax^2)\, dx$ finden.

Das ist alles schön und gut; aber ein wenig Nachdenken wird Ihnen zeigen, dass etwas mehr getan werden muss. Da die Fläche, die wir zu finden versuchen, nicht die Fläche unter der gesamten Länge der Kurve ist, sondern nur die Fläche, die links durch $PM$ und rechts durch $QN$ begrenzt ist, daraus folgt, dass wir etwas tun müssen, um unsere Fläche zwischen diesen Grenzen zu definieren.

Dies führt uns zu einem neuen Begriff, nämlich dem des Integrierens zwischen Grenzen. Wir nehmen an, dass x variiert, und für den vorliegenden Fall benötigen wir weder einen Wert von x unterhalb von $x_1$ (also $OM$) noch einen Wert von x oberhalb von $x_2$ (also $ON$). Wenn ein Integral auf diese Weise zwischen zwei Grenzen definiert werden soll, nennen wir den unteren der beiden Werte die untere Grenze und den oberen Wert die obere Grenze. Ein so begrenztes Integral bezeichnen wir als bestimmtes Integral beziehungsweise als definites Integral, um es von einem unbestimmten Integral beziehungsweise allgemeinen Integral zu unterscheiden, dem keine Grenzen zugeordnet sind.

In den Symbolen, die Anweisungen zum Integrieren geben, werden die Grenzen markiert, indem man sie an den oberen beziehungsweise unteren Rand des Integrationszeichens setzt.
So steht die Anweisung

\[ \int_{x=x_1}^{x=x_2} y \cdot dx \]

dafür: Finde das Integral von $y \cdot dx$ zwischen der unteren Grenze $x_1$ und der oberen Grenze $x_2$.

Manchmal wird das Ganze auch einfacher geschrieben

\[ \int^{x_2}_{x_1} y \cdot dx. \]

Nun, aber wie findet man ein Integral zwischen Grenzwerten, wenn man diese Aufgabe hat?

Schauen Sie sich noch einmal Abbildung 52 an. Angenommen, wir könnten die Fläche unter dem größeren Kurvenstück von A bis Q, also von $x = 0$ bis $x = x_2$, finden und nennen die Fläche $AQNO$. Dann nehmen wir an, wir könnten die Fläche unter dem kleineren Kurvenstück von A bis P, also von $x = 0$ bis $x = x_1$, finden, nämlich die Fläche $APMO$. Wenn wir dann die kleinere Fläche von der größeren subtrahieren würden, müsste als Rest die Fläche $PQNM$ übrig bleiben, was wir ja wollen. Hier haben wir den Anhaltspunkt, was zu tun ist; das bestimmte Integral zwischen den beiden Grenzen ist die Differenz zwischen dem für die obere Grenze errechneten Integral und dem für die untere Grenze errechneten Integral.

Lassen Sie uns also fortfahren. Zunächst bestimmen wir das unbestimmte/allgemeine Integral:

\[ \int y\, dx, \]

Und da $y = b + ax^2$ die Gleichung für die Kurve (Abbildung 52) ist,

\[ \int (b + ax^2)\, dx \]

das unbestimmte/allgemeine Integral, das wir finden müssen.

Wenn wir die Integration nach den Regeln durchführen, erhalten wir

\[ bx + \frac{a}{3} x^3 + C; \]

Und dies ist die gesamte Fläche von 0 bis zu einem beliebigen Wert von x, den wir festlegen / einsetzen können.

Der größere Bereich bis zur oberen Grenze $x_2$ ist also

\[ bx_2 + \frac{a}{3} x_2^3 + C; \]

und die kleinere Fläche bis zur unteren Grenze $x_1$ ist dann

\[ bx_1 + \frac{a}{3} x_1^3 + C. \]

Ziehen wir nun die kleinere von der größeren Fläche ab, so erhalten wir für die Fläche $S$ den Wert,

\[ \text{Fläche $S$} = b(x_2 - x_1) + \frac{a}{3}(x_2^3 - x_1^3). \]

Das ist die Antwort, die wir wollten. Geben wir nun einige Zahlenwerte an. Nehmen wir an, dass $b = 10$, $a = 0,06$, sowie $x_2 = 8$ und $x_1 = 6$. Dann ist die Fläche $S$ gleich

\begin{gather*} 10(8 - 6) + \frac{0,06}{3} (8^3 - 6^3) \\ \begin{aligned} &= 20 + 0,02(512 - 216) \\ &= 20 + 0,02 \times 296 \\ &= 20 + 5,92 \\ &= 25,92. \end{aligned} \end{gather*}

Lassen Sie uns hier symbolisch festhalten, was wir über die Grenzen herausgefunden haben:

\[ \int^{x=x_2}_{x=x_1} y\, dx = y_2 - y_1, \]

Dabei ist $y_2$ der integrierte Wert von $y\, dx$ entsprechend $x_2$ und $y_1$ derjenige entsprechend $x_1$.

Bei jeder Integration zwischen Grenzen muss also die Differenz zwischen zwei Werten gefunden werden. Beachten Sie auch, dass bei der Subtraktion die addierte Konstante $C$ verschwunden ist.

Beispiele
(1) Um uns mit dem Verfahren vertraut zu machen, nehmen wir einen Fall, von dem wir die Antwort schon vorher kennen. Wir wollen den Flächeninhalt des Dreiecks (Abbildung 53) bestimmen, das die Basis $x = 12$ und die Höhe $y = 4$ hat. Da wir die Abmessungen kennen, wissen wir bereits vorher schon, dass die Antwort 24 lauten wird.

Nun haben wir hier als Kurve eine schräge Linie, für die die Gleichung lautet

\[ y = \frac{x}{3}. \]

Die Fläche, um die es geht, ist

\[ \int^{x=12}_{x=0} y \cdot dx = \int^{x=12}_{x=0} \frac{x}{3} \cdot dx. \]

Integriert man $\dfrac{x}{3}\, dx$ (hier), und setzt den Wert des unbestimmte/allgemeinen Integrals in eckige Klammern, wobei die Grenzen oben und unten markiert sind, so erhält man

\begin{align*} \text{Fläche }\; &= \left[ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^2 \right]^{x=12}_{x=0} + C \\ &= \left[ \frac{x^2}{6} \right]^{x=12}_{x=0} + C \\ &= \left[ \frac{12^2}{6} \right] - \left[ \frac{0^2}{6} \right] \\\ &= \frac{144}{6} = 24.\quad \text{Antwort}. \end{align*}

Überzeugen wir uns von diesem recht überraschenden Rechenweg, indem wir ihn an einem einfachen Beispiel ausprobieren. Besorgen Sie sich ein kariertes Papier, vorzugsweise eines, das in kleinen Quadraten von je einem halben Zentimeter liniert ist. Zeichnen Sie auf diesem Papier den Graphen der Gleichung,

\[ y = \frac{x}{3}. \]

Die zu zeichnenden Werte sind:

x	0	3	$6$	$9$	12
y	0	1	2	3	4

Die Darstellung findet sich in Abbildung 54.

Berechnen Sie nun die Fläche unter der Kurve durch Zählen der kleinen Quadrate unterhalb der Linie, von $x = 0$ bis $x = 12$. Es gibt $18$ ganze Quadrate und vier Dreiecke, von denen jedes eine Fläche hat, die $1\frac{1}{2}$ Quadraten entspricht; insgesamt also 24 Quadrate. Daher ist 24 der numerische Wert des Integrals von $\dfrac{x}{3}\, dx$ zwischen der unteren Grenze von $x = 0$ und der oberen Grenze von $x = 12$.

Zeigen Sie, als weitere Übung, dass der Wert des gleichen Integrals zwischen den Grenzen $x = 3$ und $x = 15$ den (numerischen) Wert 36 besitzt.

(2) Bestimmen Sie die Fläche unter der Kurve $y = \dfrac{b}{x + a}$ zwischen den Grenzen $x = x_1$ und $x = 0$.

\begin{align*} \text{Fläche} &= \int^{x=x_1}_{x=0} y \cdot dx = \int^{x=x_1}_{x=0} \frac{b}{x+a}\, dx \\ &= b \bigl[\log_\epsilon(x + a) \bigr]^{x_1} _{0} + C \\ &= b \bigl[\log_\epsilon(x_1 + a) - \log_\epsilon(0 + a)\bigr] \\ &= b \log_\epsilon \frac{x_1 + a}{a}.\quad Antwort . \end{align*}

Hinweis Beachten Sie, dass beim Umgang mit bestimmten/definitiven Integralen die Konstante $C$ immer durch Subtraktion verschwindet.

An dieser Stelle sei angemerkt, dass dieses Verfahren, einen Teil von einem größeren zu subtrahieren, um die Differenz zu finden, durchaus gängige Praxis ist. Wie bestimmt man den Flächeninhalt eines ebenen Rings (Abbildung 56), dessen äußerer Radius $r_2$ und der innere Radius $r_1$ ist? Man weiß aus der Formelsammlung (Fläche eines Kreises), dass der Flächeninhalt des äußeren Kreises $\pi r_2^2$ ist; dann bestimmt man den Flächeninhalt des inneren Kreises, $\pi r_1^2$; dann subtrahiert man Letzteren vom Ersteren und findet so, den Flächeninhalt des Rings $= \pi(r_2^2 - r_1^2)$; das kann man schreiben als

\[ \pi(r_2 + r_1)(r_2 - r_1) \] $= \text{Mittelwert des Ringumfangs} \times \text{Breite des Rings}$.

Der Mittelwert des Ringumfangs lässt sich durch die Umfänge des äußeren und inneren Kreises berechnen, und ist $\dfrac{2\pi \cdot r_2 + 2\pi \cdot r_1}{2} = \pi \cdot r_2 + \pi \cdot r_1 = \pi (r_2 + r_1)$. Die Breite des Rings ergibt sich aus der Differenz der Radi des äußeren und inneren Kreises, also $r_2 - r_1$.

(3) Hier ist ein weiterer Fall, der der Zerfallskurve. Bestimmen Sie die Fläche, zwischen $x = 0$ und $x = a$, der Kurve (Abbildung 57), deren Gleichung

\begin{align*} y &= b\epsilon^{-x}. \\ \text{Fläche } &= b\int^{x=a} _{x=0} \epsilon^{-x} \cdot dx \\ \end{align*}

lautet.

Die Integration (hier) ergibt

\begin{align*} &= b\left[-\epsilon^{-x}\right]^a _0 \\ &= b\bigl[-\epsilon^{-a} - (-\epsilon^{-0})\bigr] \\\ &= b(1-\epsilon^{-a}). \end{align*}

(4) Ein weiteres Beispiel bietet die adiabatische Kurve eines perfekten Gases, deren Gleichung $pv^n = c$ lautet, wobei $p$ für den Druck, v für das Volumen und n den Wert $1,42$ hat (Abbildung 58).

Bestimmen Sie die Fläche unter der Kurve (die proportional zur Arbeit ist, die bei der plötzlichen Kompression des Gases geleistet wird) vom Volumen $v_2$ zum Volumen $v_1$.

Hier haben wir \begin{align*} \text{Fläche } &= \int^{v=v_2}_{v=v_1} cv^{-n} \cdot dv \\ &= c\left[\frac{1}{1-n} v^{1-n} \right]^{v_2} _{v_1} \\ &= c \frac{1}{1-n} (v_2^{1-n} - v_1^{1-n}) \\ &= \frac{-c}{0.42}\left(\frac{1}{v_2^{0.42}} - \frac{1}{v_1^{0.42}}\right). \end{align*}

Eine Übung.

Beweise Sie, dass die Formel die gewöhnlich für die Berechnung der Fläche A eines Kreises, dessen Radius $R$ ist, verwendet wird, gleich $\pi R^2$ ist.

Betrachten wir eine Elementarzone beziehungsweise einen Ring der Fläche (Abbildung 59), mit der Breite $dr$, die sich in einem Abstand r vom Zentrum befindet. Wir können die gesamte Oberfläche, als aus solchen schmalen Zonen bestehend betrachten, und die gesamte Fläche A wird einfach das Integral aller solcher elementaren Zonen von der Mitte bis zum Rand sein, integriert von $r = 0$ bis $r = R$.

Wir müssen also einen Ausdruck für die Elementarfläche $dA$ der schmalen Zone finden. Stellen Sie sich diese als einen Streifen der Breite $dr$ und einer Länge vor, die dem Umfang des Kreises mit dem Radius r entspricht, also einer Länge von $2 \pi r$. Dann haben wir als Fläche der schmalen Zone,

\[ dA = 2 \pi r\, dr. \]

Der Flächeninhalt des gesamten Kreises ist demnach:

\[ A = \int dA = \int^{r=R}_{r=0} 2 \pi r \cdot dr = 2 \pi \int^{r=R}_{r=0} r \cdot dr. \]

Nun ist das unbestimmte/allgemeine Integral von $r \cdot dr$ ist $\frac{1}{2} r^2$. Daraus folgt:

\begin{align*} A &= 2 \pi \bigl[\tfrac{1}{2} r^2 \bigr]^{r=R}_{r=0}; \\ \text{ } A &= 2 \pi \bigl[\tfrac{1}{2} R^2 - \tfrac{1}{2}(0)^2\bigr]; \\ \text{und daher } \; A &= \pi R^2. \end{align*}

Eine weitere Übung

Wir bestimmen die mittlere Ordinate, des positiven Teils, der Kurve $y = x - x^2$, die in Abbildung 60 dargestellt ist. Um die mittlere Ordinate zu finden, müssen wir den Flächeninhalt des Stücks $OMN$ bestimmen und diesen dann durch die Länge der Basis $ON$ teilen. Bevor wir aber den Flächeninhalt bestimmen können, müssen wir die Länge der Basis ermitteln, um zu wissen, bis zu welcher Grenze wir integrieren sollen. Bei $N$ hat die Ordinate y den Wert null; wir müssen also die Gleichung betrachten und sehen, bei welchem Wert von x $y = 0$ wird. Nun ist klar, wenn x 0 ist, dann wird y auch 0 sein, da die Kurve geht durch den Ursprung $O$; es gilt aber auch, dass wenn $x=1$ ist, dann ist $y=0$; so dass $x=1$ uns die Position des Punktes $N$ gibt.

Die gesuchte Fläche ist dann \begin{align*} &= \int^{x=1}_{x=0} (x-x^2)\, dx \\ &= \left[\tfrac{1}{2} x^2 - \tfrac{1}{3} x^3 \right]^{1}_{0} \\ &= \left[\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} \right] - [0-0] \\ &= \tfrac{1}{6}. \end{align*}

Da die Basislänge 1 ist. Ist die mittlere Ordinate der Kurve $= \frac{1}{6}$.

Anmerkung: Es ist eine schöne und einfache Übung in Maxima und Minima, durch Differenzieren herauszufinden, wie hoch die maximale Ordinate ist. Sie muss größer sein als der Mittelwert.

Die mittlere Ordinate einer beliebigen Kurve, über einen Bereich von $x= 0$ bis $x = x_1$, ist durch den Ausdruck,

\[ \text{mittleres y} = \frac{1}{x_1} \int^{x=x_1}_{x=0} y \cdot dx \]

gegeben.

Auf die gleiche Weise kann man auch den Flächeninhalt eines Rotationskörpers ermitteln.

Beispiel

Die Kurve $y=x^2 - 5$ dreht sich um die Achse von x. Bestimmen Sie den Flächeninhalt, der von der Kurve erzeugten Fläche, zwischen $x=0$ und $x=6$.

Ein Punkt auf der Kurve, deren Ordinate y ist, beschreibt einen Umfang der Länge $2\pi y$, und ein schmaler Streifen der Fläche mit der Breite dx, der zu diesem Punkt gehört, hat für den Flächeninhalt $2\pi y dx$. Die Gesamtfläche ist

\begin{align*} 2\pi \int^{x=6}_{x=0} y\, dx &= 2\pi \int^{x=6}_{x=0} (x^2-5)\, dx\\ &= 2\pi \left[\frac{x^3}{3} - 5x\right]^6_0 \\ &= 6,28 \times 42\\ & =263,76. \end{align*}

Flächen in Polarkoordinaten

Wenn die Gleichung der Begrenzung einer Fläche als Funktion des Abstandes r eines Punktes davon von einem festen Punkt O (siehe Abbildung 61), der als Pol bezeichnet wird, und des Winkels, den r mit der positiven horizontalen Richtung OX bildet, gegeben ist, kann das soeben erläuterte Verfahren mit einer kleinen Modifikation genauso einfach angewendet werden.

Anstelle eines Flächenstreifens betrachten wir ein kleines Dreieck OAB, wobei der Winkel an O $d\theta$ ist, und wir finden die Summe aller kleinen Dreiecke, die die erforderliche Fläche bilden.

Der Flächeninhalt eines solchen kleinen Dreiecks ist ungefähr $\dfrac{AB}{2} \times r$ beziehungsweise $\dfrac{r\, d\theta}{2} \times r$; daher ist der Teil der Fläche, der zwischen der Kurve und zwei Positionen von r liegt, die den Winkeln $\theta_1$ und $\theta_2$ entsprechen, gegeben durch

\[ \tfrac{1}{2} \int^{\theta=\theta_2}_{\theta=\theta_1} r^2\, d\theta. \]

Beispiele

(1) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Kreissektors, bei dem der Kreisbogen 1 rad lang ist. Der Radius des Kreises ist a.

Die Polarkoordinaten des Umfangs (bzw. des Teils des Umfanges der zu dem untersuchten Kreisbogen gehört) ist offensichtlich $r=a$. Der Flächeninhalt ist

\[ \tfrac{1}{2} \int^{\theta=\theta_2}_{\theta=\theta_1} a^2\, d\theta = \frac{a^2}{2} \int^{\theta=1}_{\theta=0} d\theta = \frac{a^2}{2}. \]

(2) Finden Sie den Flächeninhalt des ersten Quadranten der Kurve (bekannt als pascalsche Schnecke), deren Polarkoordinaten $r=a(1+\cos \theta)$ sind.

\begin{align*} \text{Fläche} &= \tfrac{1}{2} \int^{\theta=\frac{\pi}{2}}_{\theta=0} a^2(1+\cos \theta)^2\, d\theta \\ &= \frac{a^2}{2} \int^{\theta=\frac{\pi}{2}}_{\theta=0} (1+2 \cos \theta + \cos^2 \theta)\, d\theta \\ &= \frac{a^2}{2} \left[\theta + 2 \sin \theta + \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2 \theta}{4} \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} \\ &= \frac{a^2(3\pi+8)}{8}. \end{align*}

Volumina durch Integration

Was wir mit der Fläche eines kleinen Streifens einer Oberfläche gemacht haben, können wir natürlich genauso gut mit dem Volumen eines kleinen Streifens eines Körpers machen. Wir können alle kleinen Streifen, aus denen der gesamte Körper besteht, zusammenzählen und sein Volumen bestimmen, genau so wie wir alle kleinen Teile, aus denen sich eine Fläche zusammensetzt, addiert haben, um die endgültige Fläche der betrachteten Kurve / Abbildung zu finden.

Beispiele

(1) Bestimme das Volumen einer Kugel mit dem Radius r.

Eine dünne Kugelschale besitzt als Volumen $4\pi x^2\, dx$ (siehe Abbildung 59;). Summiert man alle konzentrischen Schalen auf, aus denen die Kugel besteht, so erhält man \[ \text{Volumen der Kugel} = \int^{x=r}_{x=0} 4\pi x^2\, dx = 4\pi \left[\frac{x^3}{3} \right]^r_0 = \tfrac{4}{3} \pi r^3. \]

Wir können auch folgendermaßen vorgehen: Eine Scheibe der Kugel, mit der Dicke dx, hat ein Volumen von $\pi y^2\, dx$ (siehe Abbildung 62).

Auch gibt es zwischen x und y den folgenden Zusammenhang:

\[ y^2 = r^2 - x^2. \]

\begin{align*} \text{Volumen der Kugel} &= 2 \int^{x=r}_{x=0} \pi(r^2-x^2)\, dx \\ &= 2 \pi \left[ \int^{x=r}_{x=0} r^2\, dx - \int^{x=r}_{x=0} x^2\, dx \right] \\ &= 2 \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]^r_0 = \frac{4\pi}{3} r^3. \end{align*}

(2) Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, das durch die Drehung der Kurve $y^2=6x$ um die x-Achse, zwischen $x=0$ und $x=4$, entsteht.

Das Volumen eines Streifens des Körpers ist $\pi y^2\, dx$. Daher ist das Volumen des Körpers

\begin{align*} \text{Volumen} &= \int^{x=4}_{x=0} \pi y^2\, dx = 6\pi \int^{x=4}_{x=0} x\, dx \\ &= 6\pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]^4_0 = 48\pi = 150,8. \end{align*}

Über quadratische Mittelwerte

In bestimmten Bereichen der Physik, insbesondere bei der Untersuchung elektrischer Wechselströme, ist es notwendig, das quadratische Mittel einer variablen Größe berechnen zu können. Mit quadratischem Mittelwert bezeichnet man die Quadratwurzel aus dem Mittelwert der Quadrate aller Werte zwischen den betrachteten Grenzen. Andere Bezeichnungen für den quadratischen Mittelwert einer beliebigen Größe sind sein virtueller Wert oder sein r.m.s. (d.h. root-mean-square) Wert. Der französische Begriff ist valeur efficace . Wenn y die betrachtete Funktion ist und der quadratische Mittelwert zwischen den Grenzen von $x=0$ und $x=l$ genommen werden soll; dann wird der quadratische Mittelwert ausgedrückt als

\[ \sqrt[2] {\frac{1}{l} \int^l_0 y^2\, dx}. \]

Beispiele

(1) Es soll das quadratische Mittel der Funktion $y=ax$ (Abbildung 63) gefunden werden.

Hier ist das Integral $\int^l_0 a^2 x^2\, dx$, das ist $\frac{1}{3} a^2 l^3$.

Teilt man durch l und zieht die Quadratwurzel, so erhält man:

\[ \text{quadratisches Mittel} = \frac{1}{\sqrt 3}\, al. \]

Hier ist das arithmetische Mittel $\frac{1}{2}al$; und das Verhältnis von quadratischem zu arithmetischem Mittel (dieses Verhältnis nennt man den Formfaktor) ist $\dfrac{2}{\sqrt 3}=1,155$.

(2) Es soll das quadratische Mittel der Funktion $y=x^a$ gefunden werden.

Das Integral ist $\int^{x=l}_{x=0} x^{2a}\, dx$, also $\dfrac{l^{2a+1}}{2a+1}$.

Daraus folgt: quadratisches Mittel = $\sqrt[2]{\dfrac{l^{2a}}{2a+1}}$.

(3) Es soll das quadratische Mittel der Funktion $y=a^{\frac{x}{2}}$ bestimmt werden.

Das Integral ist $\int^{x=l}_{x=0} (a^{\frac{x}{2}})^2\, dx$, also $\int^{x=l}_{x=0} a^x\, dx$,

$\left[ \frac{a^x}{\log_\epsilon a} \right]^{x=l}_{x=0}$, was $\dfrac{a^l-1}{\log_\epsilon a}$ ist.

Das quadratische Mittel ist also $\sqrt[2] {\dfrac{a^l - 1}{l \log_\epsilon a}}$.

Übungen XVIII

(1) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Kurve $y=x^2+x-5$ zwischen $x=0$ und $x=6$ sowie die mittleren Ordinaten zwischen diesen Grenzen.

(2) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Parabel $y=2a\sqrt x$ zwischen $x=0$ und $x=a$. Zeigen Sie, dass er zwei Drittel des Rechtecks der begrenzenden Ordinate und ihrer Abszisse beträgt.

(3) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des positiven Teils einer Sinuskurve und der mittleren Ordinate.

(4) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des positiven Anteils der Kurve $y=\sin^2 x$ und die mittlere Ordinate.

(5) Bestimmen Sie die Fläche, die zwischen den beiden Schenkeln der Kurve $y=x^2 ± x^{\frac{5}{2}}$ von $x=0$ bis $x=1$ eingeschlossen ist, und außerdem die Fläche des positiven Anteils des unteren Schenkels der Kurve (siehe Abbildung 30).

(6) Bestimmen Sie das Volumen eines Kegels mit dem Radius der Grundfläche r und der Höhe h.

(7) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Kurve $y=x^3-\log_\epsilon x$ zwischen $x=0$ und $x=1$.

(8) Bestimmen Sie das Volumen, das die Kurve $y=\sqrt{1+x^2}$ bei ihrer Drehung um die Achse x zwischen $x=0$ und $x=4$ erzeugt.

(9) Bestimmen Sie das Volumen, das eine Sinuskurve erzeugt, die um die Achse von x kreist. Finde auch den Flächeninhalt ihrer Oberfläche.

(10) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Teils der Kurve $xy=a$, der zwischen $x=1$ und $x = a$ liegt. Bestimmen Sie die mittlere Ordinate zwischen diesen Grenzen.

(11) Zeigen Sie, dass das quadratische Mittel der Funktion $y=\sin x$ zwischen den Grenzen 0 und $\pi$ im Bogenmaß $\dfrac{\sqrt2}{2}$ ist. Bestimmen Sie auch das arithmetische Mittel derselben Funktion zwischen denselben Grenzen; und zeigen Sie, dass der Formfaktor $=1,11$ ist.

(12) Bestimmen Sie das arithmetische und das quadratische Mittel der Funktion $x^2+3x+2$, von $x=0$ bis $x=3$.

(13) Bestimmen Sie den quadratischen und den arithmetischen Mittelwert der Funktion $y=A_1 \sin x + A_1 \sin 3x$.

(14) Eine bestimmte Kurve hat die Gleichung $y=3,42\epsilon^{0,21x}$. Bestimmen Sie die Fläche, die zwischen der Kurve und der Achse von x eingeschlossen ist, von der Ordinate bei $x=2$ bis zur Ordinate bei $x = 8$. Bestimmen Sie auch die Höhe der mittleren Ordinate der Kurve zwischen diesen Punkten.

(15) Bestimmen Sie das Volumen, das von der Kurve $y=\pm \dfrac{x}{6}\sqrt{x(10-x)}$ erzeugt wird, die sich um die Achse von x dreht.

Antworten

(1) $\text{Fläche} = 60$; $\text{Mittelwert Ordinate} = 10$.

(2) $\text{Fläche} = \frac{2}{3}$ von $a \times 2a \sqrt{a}$.

(3) $\text{Fläche} = 2$; $\text{Mittelwert Ordinate} = \dfrac{2}{\pi} = 0,637$.

(4) $\text{Fläche} = 1,57$; $\text{mittlere Ordinate} = 0,5$.

(5) $0,572$; $0,0476$.

(6) $\text{Volumen} = \pi r^2 \dfrac{h}{3}$.

(7) $1,25$.

(8) $79,4$.

(9) $\text{Volumen} = 4,9348$; $\text{Flächeninhalt} = 12,57$ (von 0 bis $\pi$).

(10) $a\log_\epsilon a$,   $\dfrac{a}{a - 1} \log_\epsilon a$.

(12) $\text{Arithmetisches Mittel} = 9,5$; $\text{quadratisches Mittel} = 10,85$.

(13) $\text{Quadratisches Mittel} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{A_1^2 + A_3^2}$; $\text{arithmetisches Mittel} = 0$.

Das erste beinhaltet ein schwieriges Integral und kann so formuliert werden: Per Definition ist das quadratische Mittel:

\[ \sqrt{\dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (A_1 \sin x + A_3 \sin 3x)^2\, dx}. \]

Die durch

\[ \int (A_1^2 \sin^2 x + 2A_1 A_3 \sin x \sin 3x + A_3^2 \sin^2 3x)\, dx \]

vorgegebene Integration ist leichter, zu erhalten, wenn wir für $\sin^2 x$ schreiben

\[ \dfrac{1 - \cos 2x}{2}. \]

Für $2\sin x \sin 3x$ schreiben wir $\cos 2x - \cos 4x$; und, für $\sin^2 3x$,

\[ \dfrac{1 - \cos 6x}{2}. \]

Nachdem wir diese Substitutionen vorgenommen und integriert haben, erhalten wir (siehe hier)

\[ \dfrac{A_1^2}{2} \left( x - \dfrac{\sin 2x}{2} \right) + A_1 A_3 \left( \dfrac{\sin 2x}{2} - \dfrac{\sin 4x}{4} \right) + \dfrac{A_3^2}{2} \left( x - \dfrac{\sin 6x}{6} \right). \]

An der unteren Grenze lässt die Ersetzung von 0 für x all dies verschwinden, während an der oberen Grenze die Ersetzung von $2\pi$ für x $A_1^2 \pi + A_3^2 \pi$ ergibt. Und daraus folgt die Antwort.

(14) Der Flächeninhalt beträgt $62,6$ Quadrateinheiten. Die mittlere Ordinate ist $10,42$.

(15) $436,3$. (Dieser Körper ist birnenförmig.)

Schwierigkeiten/Tücken, Fallgruben und Triumphe

Tücken. Ein großer Teil der Arbeit beim Integrieren von Ausdrücken besteht darin, sie in eine Form zu bringen, die integriert werden kann. Die Bücher - und damit sind die ernsthaften Bücher über die Integralrechnung gemeint - sind voll von Plänen und Methoden und Ausweichmanövern und Kunstgriffen für diese Art von Arbeit. Im Folgenden sind einige davon aufgeführt.

Integration durch Teile. (Partielles Integrieren)

Diesen Namen trägt ein Ausweichmanöver, für das die Formel lautet

\[ \int u\, dx = ux - \int x\, du + C. \]

Es ist in einigen Fällen nützlich, die man nicht direkt angehen kann, denn die Formel zeigt, dass, wenn in irgendeinem Fall $\int x\, du$ gefunden werden kann, dann kann auch $\int u\, dx$ gefunden werden. Die Formel lässt sich wie folgt herleiten. Aus dem Kapitel Summe, Differenzen, Produkte und Quotienten, haben wir,

\[ d(ux) = u\, dx + x\, du, \]

was geschrieben werden kann als

\[ u(dx) = d(ux) - x\, du, \]

was durch direkte Integration den obigen Ausdruck ergibt.

Beispiele

(1) Wir bestimmen $\int w \cdot \sin w\, dw$.

Dazu schreiben wir $u = w$, und für $\sin w \cdot dw$ schreiben wir dx. Dann haben wir $du = dw$, während $\int \sin w \cdot dw = -\cos w = x$ ist.

Wenn wir diese in die Formel einsetzen erhalten wir

\begin{align*} \int w \cdot \sin w\, dw &= w(-\cos w) - \int -\cos w\, dw \\ &=-w \cos w + \sin w + C. \end{align*}

(2) Wir bestimmen $\int x \epsilon^x\, dx$. Dazu schreiben wir

\begin{align*} u &= x, & \epsilon^x\, dx&=dv; \\ \text{dann ist }\; du &= dx, & v &=\epsilon^x, \end{align*} und \[ \int x\epsilon^x\, dx = x\epsilon^x - \int \epsilon^x\, dx \quad \text{(nach der Formel)} \\ = x \epsilon^x - \epsilon^x = \epsilon^x(x-1) + C. \]

(3) Nun versuchen wir $\int \cos^2 \theta\, d\theta$.\begin{align*} u &= \cos \theta, &\cos \theta\, d\theta &= dv. \\ \text{und }\; du&= -\sin \theta\, d\theta, & v &=\sin \theta, \end{align*} \begin{align*} \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \cos \theta \sin \theta+ \int \sin^2 \theta\, d\theta \\ &= \frac{2 \cos\theta \sin\theta}{2} +\int(1-\cos^2 \theta)\, d\theta \\ &= \frac{\sin 2\theta}{2} + \int d\theta - \int \cos^2 \theta\, d\theta. \end{align*} \begin{align*} \text{daher}\; 2 \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{\sin 2\theta}{2} + \theta \\ und \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{\sin 2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} + C. \end{align*}

(4)Wir bestimmen $\int x^2 \sin x\, dx$.

\begin{align*} \text{Umschreiben }\; x^2 &= u, & \sin x\, dx &= dv; \\ \text{dann ist }\; du &= 2x\, dx, & v &= -\cos x, \end{align*} \[ \int x^2 \sin x\, dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x\, dx. \]

Jetzt bestimmen wir $\int x \cos x\, dx$, durch stückweises Integrieren (wie im obigen Beispiel 1):

\[ \int x \cos x\, dx = x \sin x + \cos x+C. \]

Daher \begin{align*} \int x^2 \sin x\, dx &= -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C' \\ &= 2 \left[ x \sin x + \cos x \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) \right] +C'. \end{align*}

(5) Wir bestimmen $\int \sqrt{1-x^2}\, dx$.

\begin{align*} \text{Umschreiben}\; u &= \sqrt{1-x^2},\quad dx=dv; \\ \text{dann ist }\; du &= -\frac{x\, dx}{\sqrt{1-x^2}}\quad \text{(siehe Kapitel IX.,)} \end{align*} und $x=v$; so dass folgendes gilt \[ \int \sqrt{1-x^2}\, dx=x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]

Hier können wir der Schwierigkeit ein wenig ausweichen, denn wir können folgendes schreiben

\[ \int \sqrt{1-x^2}\, dx = \int \frac{(1-x^2)\, dx}{\sqrt{1-x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} - \int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]

Durch das Addieren der letzten zwei Gleichungen fällt der Ausdruck $\int \dfrac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}$, weg und wir haben

\[ 2 \int \sqrt{1-x^2}\, dx = x\sqrt{1-x^2} + \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]

Erinnern Sie sich daran, dass Sie $\dfrac {dx}{\sqrt{1-x^2}}$ schon einmal gesehen haben? Es war das Ergebnis, beim Differenzieren von $y=\arcsin x$ (siehe hier); somit ist das Integral $\arcsin x$, und damit

\[ \int \sqrt{1-x^2}\, dx = \frac{x \sqrt{1-x^2}}{2} + \tfrac{1}{2} \arcsin x +C. \]

Am Ende des Kapitels finden Sie Übungen, bei denen Sie ihren neuen Fähigkeiten ausprobieren können.

Substitution.

Dabei handelt es sich um das gleiche Ausweichmanöver wie hier beschrieben. Veranschaulichen wir seine Anwendung zur Integration anhand einiger Beispiele.

(1) $\int \sqrt{3+x}\, dx$. \begin{align*} \text{Sei }\ 3+x &= u,\quad dx = du; \\ \text{ersetze } \int u^{\frac{1}{2}}\, du &= \tfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} = \tfrac{2}{3}(3+x)^{\frac{3}{2}}. \end{align*}

(2) $\int \dfrac{dx}{\epsilon^x+\epsilon^{-x}}$.

Sei \[ \epsilon^x = u,\quad \frac{du}{dx} = \epsilon^x,\quad\text{und}\quad dx = \frac{du}{\epsilon^x}; \\ \] so das \[ \int \frac{dx}{\epsilon^x+\epsilon^{-x}} = \int \frac{du}{\epsilon^x(\epsilon^x+\epsilon^{-x})} = \int \frac{du}{u\left(u + \dfrac{1}{u}\right)} = \int \frac{du}{u^2+1} \text{ ist}. \]

Und $\dfrac{du}{1+u^2}$ ist das Ergebnis der Ableitung von $\arctan x$.

Daher ist das Integral $\arctan \epsilon^x$.

(3) $\int \dfrac{dx}{x^2+2x+3} = \int \dfrac{dx}{x^2+2x+1+2} = \int \dfrac{dx}{(x+1)^2+(\sqrt 2)^2}$.

Sei $x+1=u$ und $dx=du$; dann wird das Integral wie folgt geschrieben $\int \dfrac{du}{u^2+(\sqrt2)^2}$; aber $\dfrac{du}{u^2+a^2}$ ist das Ergebnis der Ableitung von $u=\dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{u}{a}$.

Somit hat man am Ende $\dfrac{1}{\sqrt2} \arctan \dfrac{x+1}{\sqrt 2}$ als Wert des gegebenen Integrals.

Reduktionsformeln sind spezielle Formeln, die vor allem auf binomische und trigonometrische Ausdrücke, die integriert werden müssen, angewendet werden. Dadurch versucht man die Ausdrücke auf eine Form zu reduzieren für die bereits das Integral bekannt ist.

Rationalisierung, und Faktorisierung des Nenners sind Ausweichmanöver, die in speziellen Fällen anwendbar sind, aber sie lassen keine kurze oder allgemeine Erklärung zu. Es ist viel Übung nötig, um mit diesen vorbereitenden Verfahren vertraut zu werden.

Das folgende Beispiel zeigt wie der Prozess des Aufspaltens in Partialbrüche , welchen wir hier gelernt haben, für die Integration genutzt werden kann.

Wir nehmen wieder $\int \dfrac{dx}{x^2+2x+3}$; wenn wir $\dfrac{1}{x^2+2x+3}$ in Partialbrüche aufspalten, erhalten wir das (see hier): \[ \dfrac{1}{2\sqrt{-2}} \left[\int \dfrac{dx}{x+1-\sqrt{-2}} - \int \dfrac{dx}{x+1+\sqrt{-2}} \right] \] \[ =\dfrac{1}{2\sqrt{-2}} \log_\epsilon \dfrac{x+1-\sqrt{-2}}{x+1+\sqrt{-2}}. \]

Beachten Sie, dass ein und dasselbe Integral manchmal auf mehr als nur eine Weise (die äquivalent zueinander sind) dargestellt werden kann.

Fallstricke. Einem Anfänger kann es passieren, dass bestimmte Punkte übersehen werden, was einer geübten Hand vermutlich nicht passiert wäre; wie die Verwendung von Faktoren, die entweder gleich Null oder unendlich sind, und das Auftreten von unbestimmten Größen wie z.B. $\tfrac{0}{0}$. Es gibt keine goldene Regel, die für jeden möglichen Fall genützt werden kann. Nichts als Übung und intelligente Sorgfalt wird helfen. Ein Beispiel für einen Fallstrick, mit dem umgangen werden musste, ergab sich in Kap. XVIII, als wir auf das Problem der Integration von $x^{-1}\, dx$ gestoßen sind.

Triumphe. Unter Triumphen sind die Erfolge zu verstehen, mit denen die Infinitesimalrechnung bei der Lösung sonst unlösbarer Probleme angewendet wurde. Oft gelingt es bei der Betrachtung physikalischer Zusammenhänge, einen Ausdruck für das Gesetz der Wechselwirkung der Teile oder der sie beherrschenden Kräfte aufzustellen, wobei dieser Ausdruck naturgemäß die Form einer Differentialgleichung hat, das heißt, einer Gleichung, die Differentialkoeffizienten mit oder ohne andere algebraische Größen enthält. Und wenn man eine solche Differentialgleichung gefunden hat, kommt man erst weiter, wenn man sie integriert hat. Im Allgemeinen ist es viel einfacher, die entsprechende Differentialgleichung aufzustellen, als sie zu lösen: Die wirkliche Schwierigkeit beginnt dann erst, wenn man integrieren will, es sei denn, man sieht, dass die Gleichung eine Standardform besitzt, von der das Integral bekannt ist, und dann ist der Triumph einfach. Die Gleichung, die sich aus der Integration einer Differentialgleichung ergibt, wird ihre Lösung genannt; und es ist ganz erstaunlich, wie in vielen Fällen die Lösung aussieht, als ob sie keine Beziehung zu der Differentialgleichung hätte, deren integrierte Form sie ist. Die Lösung scheint oft so verschieden von dem ursprünglichen Ausdruck zu sein, wie ein Schmetterling von der Raupe, die er war. Wer hätte gedacht, dass sich ein so unschuldiges Ding wie

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{a^2-x^2} \] zu so einem Schmetterling entwickeln könnte \[ y = \dfrac{1}{2a} \log_\epsilon \dfrac{a+x}{a-x} + C? \]

Doch Letztere ist die Lösung der Ersteren.

* Das bedeutet, dass das eigentliche Ergebnis der Lösung als ihre Lösung bezeichnet wird. Aber viele Mathematiker würden mit Professor Forsyth sagen, dass "jede Differentialgleichung als gelöst gilt, wenn der Wert der abhängigen Variablen als Funktion der unabhängigen Variablen entweder durch bekannte Funktionen oder durch Integrale ausgedrückt wird, unabhängig davon, ob die Integrationen letzteren in Begriffen bereits bekannter Funktionen ausgedrückt werden können oder nicht."

Lassen Sie uns als letztes Beispiel das Obige gemeinsam ausarbeiten.

Durch Partialbruch Zerlegung,\begin{align*} \frac{1}{a^2-x^2} &= \frac{1}{2a(a+x)} + \frac{1}{2a(a-x)}, \\ dy &= \frac {dx}{2a(a+x)}+ \frac{dx}{2a(a-x)}, \\ y &= \frac{1}{2a} \left( \int \frac{dx}{a+x} + \int \frac{dx}{a-x} \right) \\ &= \frac{1}{2a} \left(\log_\epsilon (a+x) - \log_\epsilon (a-x) \right) \\ &= \frac{1}{2a} \log_\epsilon \frac{a+x}{a-x} + C. \end{align*}

Keine sehr schwierige Verwandlung!

Es gibt ganze Abhandlungen, wie z.B. Boole's Differentialgleichungen, die sich dem Thema widmen, wie man so die Lösungen für verschiedene Ausgangsformen findet.

 

Übung XIX

 

(1) Bestimmen Sie $\int \sqrt {a^2 - x^2}\, dx$.

(2) Bestimmen Sie $\int x \log_\epsilon x\, dx$.

(3) Bestimmen Sie $\int x^a \log_\epsilon x\, dx$.

(4) Bestimmen Sie $\int \epsilon^x \cos \epsilon^x\, dx$.

(5) Bestimmen Sie $\int \dfrac{1}{x} \cos (\log_\epsilon x)\, dx$.

(6) Bestimmen Sie $\int x^2 \epsilon^x\, dx$.

(7) Bestimmen Sie $\int \dfrac{(\log_\epsilon x)^a}{x}\, dx$.

(8) Bestimmen Sie $\int \dfrac{dx}{x \log_\epsilon x}$.

(9) Bestimmen Sie $\int \dfrac{5x+1}{x^2 +x-2}\, dx$.

(10) Bestimmen Sie $\int \dfrac{(x^2 -3)\, dx}{x^3 - 7x+6}$.

(11) Bestimmen Sie $\int \dfrac{b\, dx}{x^2 -a^2}$.

(12) Bestimmen Sie $\int \dfrac{4x\, dx}{x^4 -1}$.

(13) Bestimmen Sie $\int \dfrac{dx}{1-x^4}$.

(14) Bestimmen Sie $\int \dfrac{dx}{x \sqrt {a-bx^2}}$.

 

Antworten

(1) $\dfrac{x\sqrt{a^2 - x^2}}{2} + \dfrac{a^2}{2} \sin^{-1} \dfrac{x}{a} + C$.

(2) $\dfrac{x^2}{2}(\log_\epsilon x - \tfrac{1}{2}) + C$.

(3) $\dfrac{x^{a+1}}{a + 1} \left(\log_\epsilon x - \dfrac{1}{a + 1}\right) + C$.

(4) $\sin \epsilon^x + C$.

(5) $\sin(\log_\epsilon x) + C$.

(6) $\epsilon^x (x^2 - 2x + 2) + C$.

(7) $\dfrac{1}{a + 1} (\log_\epsilon x)^{a+1} + C$.

(8) $\log_\epsilon(\log_\epsilon x) + C$.

(9) $2\log_\epsilon(x - 1) + 3\log_\epsilon(x + 2) + C$.

(10) $\frac{1}{2} \log_\epsilon(x - 1) + \frac{1}{5} \log_\epsilon(x - 2) + \frac{3}{10} \log_\epsilon(x + 3) + C$.

(11) $\dfrac{b}{2a} \log_\epsilon \dfrac{x - a}{x + a} + C$.

(12) $\log_\epsilon \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1} + C$.

(13) $\frac{1}{4} \log_\epsilon \dfrac{1 + x}{1 - x} + \frac{1}{2} \arctan x + C$.

(14) $\dfrac{1}{\sqrt{a}} \log_\epsilon \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{a - bx^2}}{x\sqrt{a}}$. (Sei $\dfrac{1}{x} = v$; dann, im Ergebnis, sei $\sqrt{v^2 - \dfrac{b}{a}} = v - u$.)

Einige Lösungen finden

In diesem Kapitel machen wir uns an die Arbeit, Lösungen für einige wichtige Differentialgleichungen zu finden, und verwenden dazu die in den vorangegangenen Kapiteln gezeigten Verfahren.

Der Anfänger, der nun weiß, wie einfach die meisten dieser Verfahren an sich sind, wird hier beginnen zu erkennen, dass Integration eine Kunst ist. Wie in allen Künsten, so auch in dieser, kann Leichtigkeit nur durch fleißiges und regelmäßiges Üben erworben werden. Wer diese Fertigkeit erlangen will, muss Beispiele und noch mehr Beispiele und noch mehr Beispiele ausarbeiten, wie sie in allen Abhandlungen über den Calculus reichlich zu finden sind. Unser Zweck muss hier sein, die kürzeste Einführung für die ernsthafte Arbeit zu leisten.

 

Beispiel (1.) Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Differentialgleichung:

\[ ay + b \frac{dy}{dx} = 0. \]

Durch umformen (auf die andere Seite bringen) erhalten wir \[ b \frac{dy}{dx} = -ay. \]

Nun sagt uns die bloße Betrachtung dieser Beziehung, dass wir es mit einem Fall zu tun haben, in dem $\dfrac{dy}{dx}$ proportional zu y ist. Wenn wir uns die Kurve vorstellen, die y als Funktion von x darstellt, wird sie so sein, dass ihre Steigung an jedem Punkt proportional zur Ordinate an diesem Punkt ist und das es eine negative Steigung ist, wenn y positiv ist. Die Kurve ist also offensichtlich eine abfallende Kurve, und die Lösung enthält $\epsilon^{-x}$ als Faktor. Aber, ohne dieses bisschen Scharfsinn vorauszusetzen, lassen Sie uns an die Arbeit gehen.

Da sowohl y als auch dy in der Gleichung und auf gegenüberliegenden Seiten vorkommen, können wir nichts tun, bis wir sowohl y als auch dy auf die eine Seite und dx auf die andere Seite bekommen. Dazu müssen wir die normalerweise unzertrennlichen Partner dy und dx voneinander trennen.

\[ \frac{dy}{y} = - \frac{a}{b}\, dx. \]

Nachdem wir das getan haben, sehen wir, dass beide Seiten in eine integrierbare Form gekommen sind, denn wir erkennen $\dfrac{dy}{y}$, beziehungsweise $\dfrac{1}{y}\, dy$, als ein Differential, das uns beim Differenzieren von Logarithmen begegnet (siehe hier) ist. Wir können also gleich die Anleitung zum Integrieren aufschreiben,

\[ \int \frac{dy}{y} = \int -\frac{a}{b}\, dx; \] und die beiden Integrationen durchführen, dann haben wir: \[ \log_\epsilon y = -\frac{a}{b} x + \log_\epsilon C, \] wobei $\log_\epsilon C$ die noch unbestimmte Konstante der Integration ist. Durch De-Logarithmierung (Umkehrung des Logarithmus) erhalten wir: \[ y = C \epsilon^{-\frac{a}{b} x}, \]

Das ist die gesuchte Lösung*. Nun sieht diese Lösung ganz anders aus als die ursprüngliche Differentialgleichung, aus der sie konstruiert wurde: Doch für einen erfahrenen Mathematiker vermitteln beide dieselbe Information darüber, wie y von x abhängt.

* Wir können jede Form von Konstanten als Integrationskonstante aufschreiben, und die Form $\log_\epsilon C$ wird hier vorzugsweise genommen, weil die anderen Terme in dieser Gleichungsreihe Logarithmen sind oder als solche behandelt werden; und es erspart spätere Komplikationen, wenn die hinzugefügte Konstante von der gleichen Art ist.

Was nun das $C$ betrifft, so hängt seine Bedeutung vom Anfangswert von y ab. Denn wenn wir $x=0$ setzen, um zu sehen, welchen Wert y dann hat, sieht man, dass dadurch $y = C \epsilon^{-0}$ wird; und da $\epsilon^{-0} = 1$ ist, sehen wir, dass $C$ nichts anderes ist als der bestimmte Wert* von y am Anfang. Diesen können wir $y_0$ nennen und die Lösung so schreiben:

\[ y = y_0 \epsilon^{-\frac{a}{b} x}. \]

* Vergleichen Sie, was über die Integrationskonstante gesagt wurde, mit Bezug auf Abbildung 48 und Abbildung 51.

Beispiel (2.)

Lassen Sie uns als Beispiel eine Lösung nehmen, bei der $g$ eine Konstante ist.

\[ ay + b \frac{dy}{dx} = g, \]

Auch hier wird die Überprüfung der Gleichung ergeben, dass (1) auf die eine oder andere Weise $\epsilon^x$ in die Lösung kommt, und (2) dass, wenn an irgendeinem Teil der Kurve y entweder ein Maximum oder ein Minimum wird, so dass $\dfrac{dy}{dx} = 0$, dann wird y den Wert $= \dfrac{g}{a}$ haben. Aber machen wir uns wie bisher an die Arbeit, trennen die Differentiale und versuchen, die Sache in eine integrierbare Form zu bringen.

\begin{align*} b\frac{dy}{dx} &= g -ay; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{a}{b}\left(\frac{g}{a}-y\right); \\ \frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}} &= -\frac{a}{b}\, dx. \end{align*}

Nun haben wir uns angestrengt, auf der einen Seite nichts als y und dy zu erhalten, und auf der anderen Seite nichts als dx. Aber ist das Ergebnis auf der linken Seite überhaupt integrierbar?

Es ist von der gleichen Form wie das Ergebnis hier; also, schreiben wir die Anweisungen zum Integrieren, wir haben: \[ \int{\frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}}} = - \int{\frac{a}{b}\, dx}; \] und indem man die Integration durchführt und die entsprechende Konstante hinzuaddiert, \begin{align*} \log_\epsilon\left(y-\frac{g}{a}\right) &= -\frac{a}{b}x + \log_\epsilon C; \\ \text{daraus folgt}\;\; y-\frac{g}{a} &= C\epsilon^{-\frac{a}{b}x}; \\ \text{und schließlich,}\;\; y &= \frac{g}{a} + C\epsilon^{-\frac{a}{b}x}, \end{align*} was die Lösung ist.

Wenn die Bedingung festgelegt wird, dass $y = 0$ ist, wenn $x = 0$ ist, können wir $C$ finden; denn dann wird der Wert des Exponentialanteils $= 1$; und wir haben

\begin{align*} 0 &= \frac{g}{a} + C, \\ \text{Umgeformt}\; C &= -\frac{g}{a}. \end{align*}

Wenn wir diesen Wert in die Lösung einsetzen erhalten wir

\[ y = \frac{g}{a} (1-\epsilon^{-\frac{a}{b} x}). \]

Weiterhin gilt: Wenn x unendlich wächst, wächst y bis zu einem Maximum; denn wenn $x=\infty$, ist der Wert des Exponentialanteils $= 0$, was $y_{\text{max.}} = \dfrac{g}{a}$ ergibt. Setzt man dies ein, erhält man schließlich \[ y = y_{\text{max.}}(1-\epsilon^{-\frac{a}{b} x}). \]

Dieses Ergebnis ist auch in der Physik von Bedeutung.

 

Beispiel (3.)

Sei $ay+b\frac{dy}{dt} = g \cdot \sin 2\pi nt$.

Wir werden feststellen, dass dies deutlich schwieriger zu lösen ist als das Vorhergehende. Teilen Sie zunächst durch b.

\[ \frac{dy}{dt} + \frac{a}{b}y = \frac{g}{b} \sin 2\pi nt. \]

Nun ist die linke Seite, so wie sie jetzt ist, nicht integrierbar. Aber sie kann durch den Kunstgriff, alle Terme mit $\epsilon^{\frac{a}{b} t}$ zu multiplizieren, in eine integrierbare Version überführt werden - und hier bieten sich Geschick und Übung an - wir erhalten:

\[ \frac{dy}{dt} \epsilon^{\frac{a}{b} t} + \frac{a}{b} y \epsilon^{\frac{a}{b} t} = \frac{g}{b} \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin 2 \pi nt, \] was das gleich ist wie \[ \frac{dy}{dt} \epsilon^{\frac{a}{b} t} + y \frac{d(\epsilon^{\frac{a}{b} t})}{dt} = \frac{g}{b} \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin 2 \pi nt; \]

und da dies ein perfektes Differential ist, kann es integriert werden, da wenn $u = y\epsilon^{\frac{a}{b} t}$, $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{dy}{dt} \epsilon^{\frac{a}{b} t} + y \dfrac{d(\epsilon^{\frac{a}{b} t})}{dt}$,

\begin{align*} y \epsilon^{\frac{a}{b} t} &= \frac{g}{b} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin 2 \pi nt \cdot dt + C, \\ \text{bzw. } y &= \frac{g}{b} \epsilon^{-\frac{a}{b} t} \int \epsilon^{ \frac{a}{b} t} \cdot \sin 2\pi nt \cdot dt + C\epsilon^{-\frac{a}{b} t}. \tag*{[A]} \end{align*}

Der letzte Term ist offensichtlich ein Term, der mit zunehmendem t abklingt, und kann weggelassen werden. Die Schwierigkeit besteht nun darin, das Integral zu finden, das als Faktor auftritt. Dazu greifen wir auf das Mittel der partiellen Integration (siehe hier) zurück, deren allgemeine Formel $\int u \; dv = uv - \int v \; du$ lautet. Dazu schreiben wir

\begin{align*} &\left\{ \begin{aligned} u &= \epsilon^{\frac{a}{b} t}; \\ dv &= \sin 2\pi nt \cdot dt. \end{aligned} \right. \\ \end{align*} Wir haben dann \begin{align*} &\left\{ \begin{aligned} du &= \epsilon^{\frac{a}{b} t} \times \frac{a}{b}\, dt; \\ v &= - \frac{1}{2\pi n} \cos 2\pi nt. \end{aligned} \right. \end{align*}

Wenn Sie dies einfügen, wird das betrachtete Integral zu:

\begin{align*} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} &{} \cdot \sin 2 \pi n t \cdot dt \\ &= -\frac{1}{2 \pi n} \cdot \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos 2 \pi nt -\int -\frac{1}{2\pi n} \cos 2 \pi nt \cdot \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \frac{a}{b}\, dt \\ &= -\frac{1}{2 \pi n} \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cos 2 \pi nt +\frac{a}{2 \pi nb} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos 2 \pi nt \cdot dt. \tag*{[B]} \end{align*}

Das letzte Integral ist immer noch nicht reduzierbar. Um die Schwierigkeit zu umgehen, wiederholen Sie die Integration durch Teile der linken Seite, aber behandeln sie auf die umgekehrte Weise, indem Sie schreiben:

\begin{align*} &\left\{ \begin{aligned} u &= \sin 2 \pi n t ; \\ dv &= \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot dt; \end{aligned} \right. \\[1ex] \text{und} &\\ &\left\{ \begin{aligned} du &= 2 \pi n \cdot \cos 2 \pi n t \cdot dt; \\ v &= \frac{b}{a} \epsilon ^{\frac{a}{b} t} \end{aligned} \right. \end{align*}

Wenn wir das Einsetzen erhalten wir:

\begin{align*} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} &{} \cdot \sin 2 \pi n t \cdot dt\\ &= \frac{b}{a} \cdot \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin 2 \pi n t - \frac{2 \pi n b}{a} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos 2 \pi n t \cdot dt. \tag*{[C]} \end{align*}

Da das letzte unlösbare Integral in [C] dasselbe ist wie das in [B], wir können es eliminieren, indem wir [B] mit $\dfrac{2 \pi nb}{a}$ und [C] mit $\dfrac{a}{2 \pi nb}$ multiplizieren und diese addieren.

Wenn alles aufgelöst wurde, ist das Ergebnis:

\begin{align*} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin 2 \pi n t \cdot dt &= \epsilon^{\frac{a}{b} t} \left\{\frac{ ab \cdot \sin 2 \pi nt - 2 \pi n b^2 \cdot \cos 2 \pi n t}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2 } \right\} \tag*{[D]} &\\ \end{align*}

Setzt man diesen Wert in [A] ein, erhält man:

\begin{align*} y &= g \left\{\frac{ a \cdot \sin 2 \pi n t - 2 \pi n b \cdot \cos 2 \pi nt}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}\right\}. & \end{align*}

Um das Ganze noch weiter zu vereinfachen, stellen wir uns einen Winkel φ derart vor, dass $\tan \phi = \dfrac{2 \pi n b}{ a}$ gilt.

Dann gilt

\[ \sin \phi = \frac{2 \pi nb}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \]

und

\[ \cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}. \\ \]

Setzt man diese ein, erhält man:

\[ y = g \frac{\cos \phi \cdot \sin 2 \pi nt - \sin \phi \cdot \cos 2 \pi nt}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \\ \]

das geschrieben werden kann als:

\[ y = g \frac{\sin(2 \pi nt - \phi)}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \]

was die gewünschte Lösung ist.

Dies ist in der Tat nichts anderes als die Gleichung eines elektrischen Wechselstroms, wobei $g$ die Amplitude der elektromotorischen Kraft, n die Frequenz, a der Widerstand, b der Selbstinduktionskoeffizient des Stromkreises und φ ein Verzögerungswinkel ist.

Bespiel (4.) Nehmen Sie an, dass $M\, dx + N\, dy = 0.$

Wir könnten diesen Ausdruck direkt integrieren, wenn $M$ nur eine Funktion von x und $N$ nur eine Funktion von y wäre; wenn aber sowohl $M$ als auch $N$ Funktionen sind, die sowohl von x als auch von y abhängen, wie sollen wir dann den Ausdruck integrieren? Ist es selbst ein exaktes Differential? Das heißt: Sind $M$ und $N$ jeweils durch partielle Differentiation aus einer gemeinsamen Funktion $U$ gebildet worden, oder nicht? Wenn sie es sind, dann:

\[\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial U}{\partial x} = M, \\ \frac{\partial U}{\partial y} = N. \end{aligned} \right. \]

Und wenn eine solche gemeinsame Funktion existiert, dann ist:

\[ \frac{\partial U}{\partial x}\, dx + \frac{\partial U}{\partial y}\, dy \]

exaktes Differential (vergleiche hier).

Der Test der Sache ist nun folgender. Wenn der Ausdruck ein exaktes Differential ist, dann muss folgendes gelten:

\begin{align*} \frac{dM}{dy} &= \frac{dN}{dx}; \\ \text{den dann }\; \frac{d(dU)}{dx\, dy} &= \frac{d(dU)}{dy\, dx},\\ \end{align*}

was notwendigerweise wahr ist.

Nehmen Sie zur Veranschaulichung die Gleichung:

\[ (1 + 3 xy)\, dx + x^2\, dy = 0. \]

Ist dies ein exaktes Differential oder nicht? Wenden Sie den Test an.

\[\left\{ \begin{aligned} \frac{d(1 + 3xy)}{dy}=3x, \\ \dfrac{d(x^2)}{dx} = 2x, \end{aligned} \right. \]

Diese stimmen nicht überein. Es handelt sich also nicht um ein exaktes Differential, und die beiden Funktionen $1+3xy$ und x² sind nicht aus einer gemeinsamen Ursprungsfunktion hervorgegangen.

Es ist jedoch möglich, in solchen Fällen einen integrierenden Faktor zu finden, d. h. einen solchen Faktor, dass, wenn beide mit diesem Faktor multipliziert werden, der Ausdruck ein exaktes Differential wird. Es gibt keine einheitliche Regel für das Auffinden eines solchen Integrationsfaktors; aber die Erfahrung wird in der Regel eine vorschlagen. Im vorliegenden Fall wird 2x als ein solcher Faktor dienen. Multipliziert man mit 2x, erhält man:

\[ (2x + 6x^2y)\, dx + 2x^3\, dy = 0. \]

Wenden Sie nun den Test darauf an.

\[ \left\{ \begin{aligned} \frac{d(2x + 6x^2y)}{dy}=6x^2, \\ \dfrac{d(2x^3)}{dx} = 6x^2, \end{aligned} \right. \]

diese zwei stimmen überein. Dies ist also ein exaktes Differential, und kann integriert werden. Wenn jetzt $w = 2x^3y$ gilt,

\[ dw=6x^2y\, dx + 2x^3\, dy. \]

Folgt

\[ \int 6x^2y\, dx + \int 2x^3\, dy=w=2x^3y; \]

so erhalten wir:

\[ U = x^2 + 2x^3y + C. \]

Beispiel (5.) Sei $\dfrac{d^2 y}{dt^2} + n^2 y = 0$.

In diesem Fall haben wir eine Differentialgleichung zweiten Grades, in der y sowohl in Form eines zweiten Differentialkoeffizienten wie auch selbst auftritt.

Durch umformen erhalten wir $\dfrac{d^2 y}{dt^2} = - n^2 y$.

Hieraus geht hervor, dass wir es mit einer Funktion zu tun haben, deren zweiter Differentialkoeffizient proportional zu sich selbst ist, aber mit umgekehrtem Vorzeichen. In Kapitel XV. haben wir festgestellt, dass es eine solche Funktion gibt, nämlich den Sinus (oder auch den Kosinus), der diese Eigenschaft besitzt. Wir können also ohne Weiteres folgern, dass die Lösung die Form $y = A \sin (pt + q)$ haben wird. Wie auch immer, lassen Sie uns an die Arbeit gehen.

Multiplizieren Sie beide Seiten der ursprünglichen Gleichung mit $2\dfrac{dy}{dt}$ und integrieren, dann erhalten wir $2\dfrac{d^2 y}{dt^2}\, \dfrac{dy}{dt} + 2x^2 y \dfrac{dy}{dt} = 0$, und da:

\[ 2 \frac{d^2y}{dt^2}\, \frac{dy}{dt} = \frac{d \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}{dt},\quad \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + n^2 (y^2-C^2) = 0, \]

Sei $C$ eine Konstante. Dann wird die Quadratwurzel gezogen:

\[ \frac{dy}{dt} = -n \sqrt{ y^2 - C^2}\quad \text{und}\quad \frac{dy}{\sqrt{C^2 - y^2}} = n \cdot dt. \]

Aber es kann gezeigt werden, dass (siehe hier):

\[ \frac{1}{\sqrt{C^2 - y^2}} = \frac{d (\arcsin \dfrac{y}{C})}{dy}; \]

von wo aus man von Winkeln zu Sinus übergeht,

\[ \arcsin \frac{y}{C} = nt + C_1\quad \text{und}\quad y = C \sin (nt + C_1), \]

wobei $C_1$ ein konstanter Winkel ist, der sich durch Integration einstellt.

Oder, besser, dies kann geschrieben werden als:

\[ y = A \sin nt + B \cos nt, \text{ was die Lösung ist.} \]

Beispiel (6.) $\dfrac{d^2 y}{dt^2} - n^2 y = 0$.

Hier haben wir es offensichtlich mit einer Funktion y zu tun, die so beschaffen ist, dass ihr zweiter Differentialkoeffizient proportional zu sich selbst ist. Die einzige Funktion, die wir kennen, die diese Eigenschaft hat, ist die Exponentialfunktion (siehe hier ), und wir können daher sicher sein, dass die Lösung der Gleichung diese Form hat.

Wir gehen wie zuvor vor, indem wir mit $2 \dfrac{dy}{dx}$ multiplizieren, und beim Integrieren erhalten wir $2\dfrac{d^2 y}{dx^2}\, \dfrac{dy}{dx} - 2x^2 y \dfrac{dy}{dx}=0$, und da:

\[ 2\frac{d^2 y}{dx^2}\, \frac{dy}{dx} = \frac{d \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}{dx},\quad \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - n^2 (y^2 + c^2) = 0, \\ \frac{dy}{dx} - n \sqrt{y^2 + c^2} = 0, \]

wobei c eine Konstante ist und $\dfrac{dy}{\sqrt{y^2 + c^2}} = n\, dx$.

Jetzt, wenn

\[ \quad w = \log_\epsilon ( y+ \sqrt{y^2+ c^2}) = \log_\epsilon u,\\ \frac{dw}{du} = \frac{1}{u},\quad \frac{du}{dy} = 1 + \frac{y}{\sqrt{y^2 + c^2}} = \frac{y + \sqrt{ y^2 + c^2}}{\sqrt{y^2 + c^2}} \\ \]

und

\[ \frac{dw}{dy} = \frac{1}{\sqrt{ y^2 + c^2}}. \]

Integrieren ergibt dann dies:

\[ \log_\epsilon (y + \sqrt{y^2 + c^2} ) = nx + \log_\epsilon C, \\ y + \sqrt{y^2 + c^2} = C \epsilon^{nx}. \tag*{(1)} \\ \] \[ \text{}\; \qquad ( y + \sqrt{y^2 + c^2} ) \times ( -y + \sqrt{y^2 + c^2} ) = c^2 ; \\ \text{}\; \qquad -y + \sqrt{y^2 + c^2} = \dfrac{c^2}{C} \epsilon^{-nx}. \tag*{(2)} \]

Wenn wir (2) von (1) Subtrahieren und durch 2 teilen, dann haben wir

\[ y = \frac{1}{2} C \epsilon^{nx} - \frac{1}{2}\, \frac{c^2}{C} \epsilon^{-nx}, \]

was einfacher so zu schreiben ist

\[ y = A \epsilon^{nx} + B \epsilon^{-nx}. \]

Die Lösung, die auf den ersten Blick nichts mit der ursprünglichen Gleichung zu tun zu haben scheint, zeigt, dass y aus zwei Termen besteht, von denen einer mit steigendem x logarithmisch wächst, und aus einem zweiten Term, der mit steigendem x abklingt.

 

Beispiel (7.) Sei

\begin{align*} b \frac{d^2y}{dt^2} + a \frac{dy}{dt} + gy &= 0. \end{align*}

Die Untersuchung dieses Ausdrucks zeigt, dass er, wenn $b = 0$, die Form von Beispiel 1 hat, dessen Lösung ein negatives Exponential war. Andererseits, wenn $a = 0$, wird seine Form die gleiche wie die von Beispiel 6, dessen Lösung die Summe aus einem positiven und einem negativen Exponential ist. Es ist daher nicht sehr überraschend, dass die Lösung des vorliegenden Beispiels so aussieht

\begin{align*} y &= (\epsilon^{-mt})(A \epsilon^{nt} + B \epsilon^{-nt}), \\ \text{Mit }\; m &= \frac{a}{2b}\quad \text{und}\quad n = \sqrt{\frac{a^2}{4b^2}} - \frac{g}{b}. \end{align*}

Die Schritte, mit denen diese Lösung erreicht wird, werden hier nicht angegeben; sie können in fortgeschrittenen Abhandlungen gefunden werden.

 

Beispiel (8.)

\[ \frac{d^2y}{dt^2} = a^2 \frac{d^2y}{dx^2}. \]

Wir haben (hier) gesehen, dass diese Gleichung aus der folgenden ursprünglichen Funktion abgeleitet wurde

\[ y = F(x+at) + f(x-at), \]

wobei F und f beliebige Funktionen von t waren.

Eine andere Möglichkeit, damit umzugehen, ist die Umwandlung durch eine Änderung der Variablen

\[ \frac{d^2y}{du \cdot dv} = 0, \]

mit $u = x + at$, und $v = x - at$, was zu der gleichen allgemeinen Lösung führt. Wenn wir einen Fall betrachten, in dem F verschwindet, dann haben wir einfach

\[ y = f(x-at); \]

Dies besagt lediglich, dass zum Zeitpunkt t = 0 y eine bestimmte Funktion von x ist, und kann als Bezeichnung dafür angesehen werden, dass die Kurve, die sich aus der Beziehung von y zu x ergibt, eine bestimmte Form hat. Dann ist jede Änderung des Wertes von t einfach gleichbedeutend mit einer Änderung des Ursprungs, von dem aus x gerechnet wird. Das heißt, sie besagt, dass sich die Funktion unter Beibehaltung ihrer Form entlang der Richtung x mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit a fortpflanzt, so dass unabhängig vom Wert der Ordinate y zu einem bestimmten Zeitpunkt $t_0$ an einem bestimmten Punkt $x_0$ derselbe Wert von y zum folgenden Zeitpunkt $t_1$ an einem weiter entfernten Punkt erscheint, dessen Abszisse $x_0 + a(t_1 - t_0)$ ist. In diesem Fall stellt die vereinfachte Gleichung die Ausbreitung einer Welle (beliebiger Form) mit gleichmäßiger Geschwindigkeit entlang der x-Richtung dar.

Wenn die Differentialgleichung so geschrieben

\[ m \frac{d^2y}{dt^2} = k\, \frac{d^2y}{dx^2}, \]

worden wäre, wäre die Lösung die gleiche gewesen, aber die Ausbreitungsgeschwindigkeit hätte den Wert

\[ a = \sqrt{\frac{k}{m}}. \]

 

Sie sind nun persönlich über die Grenzen in das verwunschene Land geführt worden. Und damit Sie die wichtigsten Ergebnisse griffbereit haben, bietet Ihnen der Autor zum Abschied noch einen Reisepass in Form einer praktischen Sammlung von Standardfunktionen an. In der mittleren Spalte sind eine Reihe der am häufigsten vorkommenden Funktionen aufgeführt. Auf der linken Seite sind die Ergebnisse der Differenzierung, auf der rechten Seite die Ergebnisse der Integration dieser Funktionen aufgeführt. Mögen Sie sie nützlich finden!

Epilog und Entschuldigung

Es darf getrost angenommen werden, dass, wenn dieses Traktat Calculus leicht gemacht in die Hände der Berufsmathematiker fällt, werden sie (wenn sie nicht zu faul sind) wie ein Mann aufstehen und es als ein durch und durch schlechtes Buch verdammen werden. Daran kann es von ihrem Standpunkt aus überhaupt keinen Zweifel geben. Es begeht mehrere schwerste und beklagenswerte Fehler.

Erstens zeigt es, wie unglaublich einfach die meisten Operationen des Calculus wirklich sind.

Zweitens verrät es so viele Betriebsgeheimnisse. Indem es Ihnen zeigt, dass was ein Narr kann, können andere Narren auch, es lässt Sie erkennen, dass diese mathematischen Angeber, die sich damit brüsten, ein so furchtbar schwieriges Thema wie die Infinitesimalrechnung gemeistert zu haben, keinen so großen Grund haben, so aufgeblasen zu sein. Sie möchten Sie gerne in dem Glauben lassen, dass es furchtbar schwierig ist, und wollen nicht, dass dieser Aberglaube unsanft aufgelöst wird.

Drittens gehört zu den schrecklichen Dingen, die sie über So Easy sagen werden, dass es ein völliges Versäumnis des Autors ist, die Gültigkeit verschiedener Methoden, die er auf einfache Weise dargestellt hat, mit starrer und zufriedenstellender Vollständigkeit zu beweisen, und dass er es sogar gewagt hat, sie bei der Lösung von Problemen anzuwenden! Aber warum sollte er das nicht tun? Sie verbieten doch auch nicht jedem Menschen, der nicht weiß, wie man eine Uhr herstellt, den Gebrauch einer Uhr? Sie verbieten dem Musiker nicht, auf einer Geige zu spielen, die er nicht selbst gebaut hat. Man lehrt Kindern nicht die Regeln der Syntax, bevor sie nicht fließend im Gebrauch der Sprache geworden sind. Es wäre ebenso absurd, von Anfängern im Calculus allgemeine starre Beweise zu verlangen.

Eine andere Sache werden die kundigen Mathematiker über dieses durch und durch schlechte und bösartige Buch sagen: dass der Grund, warum es so leicht ist, der ist, dass der Autor all die Dinge weggelassen hat, die wirklich schwierig sind. Und das Schreckliche an diesem Vorwurf ist, dass es stimmt! Das ist ja der Grund, warum das Buch geschrieben wurde - für die Legion der Unschuldigen, die bisher durch die dumme Art und Weise, in der der Unterricht fast immer präsentiert wird, davon abgehalten wurden, sich die Elemente der Calculus anzueignen. Jedes Thema kann abstoßend gemacht werden, indem es mit Schwierigkeiten gespickt präsentiert wird. Das Ziel dieses Buches ist es, Anfängern zu ermöglichen, seine Sprache zu lernen, sich mit seinen liebenswerten Einfachheiten vertraut zu machen und seine mächtigen Methoden zur Lösung von Problemen zu begreifen, ohne gezwungen zu sein, sich durch die komplizierte, abgelegene (und meist irrelevante) mathematische Gymnastik zu quälen, die dem unpraktischen Mathematiker so lieb ist.

Es gibt unter den jungen Ingenieuren eine große Anzahl, in deren Ohren das Sprichwort, das was ein Narr kann, kann ein anderer auch, mit vertrautem Klang klingen mag. Sie werden ernsthaft gebeten, den Autor nicht zu verraten und den Mathematikern nicht zu sagen, was für ein Narr er wirklich ist.