Definition und mathematische Formulierung der Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung (auch $\chi^{2}$-Verteilung genannt) ist eine wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik. Sie wird vor allem bei Hypothesentests verwendet, insbesondere bei Tests zur Überprüfung von Unabhängigkeit und Anpassungsgüte.

Grundlagen und Definition:

Die Chi-Quadrat-Verteilung entsteht aus der Summe der Quadrate von $k$ unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen. Eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist eine Zufallsvariable, die eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1 hat.

Formal definiert ist die Chi-Quadrat-Verteilung wie folgt: Wenn $Z_1, Z_2, ..., Z_k$ unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind, dann ist die Summe der Quadrate dieser Variablen $\chi^{2}$-verteilt mit $k$ Freiheitsgraden (degrees of freedom, df).

Mathematisch ausgedrückt: $\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2$

Hierbei ist $k$ die Anzahl der Freiheitsgrade der Verteilung. Die Freiheitsgrade entsprechen der Anzahl der unabhängigen Variablen, die in die Summe eingehen.

Eigenschaften der Chi-Quadrat-Verteilung:

1. Freiheitsgrade $k$: Die Form der $\chi^{2}$-Verteilung hängt stark von den Freiheitsgraden ab. Mit zunehmender Anzahl der Freiheitsgrade verschiebt sich die Verteilung nach rechts und wird breiter.

2. Asymmetrie: Die $\chi^{2}$-Verteilung ist nicht symmetrisch, sondern schief. Sie ist rechtsschief, was bedeutet, dass sie einen langen rechten Schwanz hat.

3. Nicht-negativ: Da die $\chi^{2}$-Verteilung aus der Summe von Quadraten entsteht, kann sie nie negativ sein. Alle Werte sind größer oder gleich null.

4. Erwartungswert und Varianz:

   • Der Erwartungswert (Mittelwert) der $\chi^{2}$-Verteilung ist gleich der Anzahl der Freiheitsgrade: $E\chi^{2} = k$.
   • Die Varianz der $\chi^{2}$-Verteilung ist gleich dem Doppelten der Anzahl der Freiheitsgrade: $\text{Var}\chi^{2} = 2k$.

Anwendungen:

Die Chi-Quadrat-Verteilung wird in verschiedenen statistischen Tests verwendet, darunter:

1. Chi-Quadrat-Anpassungstest: Dieser Test wird verwendet, um zu überprüfen, ob eine beobachtete Häufigkeitsverteilung mit einer erwarteten Verteilung übereinstimmt.

2. Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest: Dieser Test wird verwendet, um zu prüfen, ob zwei kategoriale Variablen unabhängig voneinander sind.

3. Varianzanalysen: In der Varianzanalyse (ANOVA) wird die $\chi^{2}$-Verteilung verwendet, um Hypothesen über die Varianzen zu testen.

Mathematische Formulierung:

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) der Chi-Quadrat-Verteilung mit (k) Freiheitsgraden ist gegeben durch: $f(x; k) = \frac{1}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} x^{k/2-1} e^{-x/2}$ wobei:

• $x$ der Wert der $\chi^{2}$-Zufallsvariablen ist,
• $k$ die Anzahl der Freiheitsgrade ist,
• $\Gamma$ die Gammafunktion ist, eine Erweiterung der Fakultätsfunktion auf reelle Zahlen.

Zusammenfassung:

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine zentrale Verteilung in der Statistik, die sich aus der Summe der Quadrate von standardnormalverteilten Zufallsvariablen ergibt. Sie ist nicht-negativ und rechtsschief, mit einer Form, die von der Anzahl der Freiheitsgrade abhängt. Ihre Hauptanwendung liegt in verschiedenen Hypothesentests, insbesondere in Tests zur Anpassungsgüte und Unabhängigkeit.