Normalverteilung: Definition und mathematische Formulierung

Die Normalverteilung, auch Gauß-Verteilung genannt, ist eine der wichtigsten und am häufigsten verwendeten Verteilungen in der Statistik. Sie beschreibt, wie Daten um einen Mittelwert verteilt sind. Diese Verteilung ist besonders nützlich, weil viele natürliche Phänomene und Messwerte annähernd normalverteilt sind.

Definition

Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das bedeutet, dass die Zufallsvariable, die dieser Verteilung folgt, jeden beliebigen Wert innerhalb eines bestimmten Bereichs annehmen kann. Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren Werte vom Zufall abhängen.

Die Normalverteilung wird durch zwei Parameter charakterisiert:

• Mittelwert (μ): Der Mittelwert ist der Wert, um den sich die Daten zentrieren. Er wird oft auch als Erwartungswert bezeichnet.
• Standardabweichung (σ): Die Standardabweichung misst die Streuung der Daten um den Mittelwert. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Daten eng um den Mittelwert verteilt sind, während eine große Standardabweichung anzeigt, dass die Daten weit verstreut sind.

Mathematische Formulierung

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF, Probability Density Function) der Normalverteilung ist eine mathematische Funktion, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, mit der eine Zufallsvariable innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt. Die PDF der Normalverteilung ist gegeben durch:

$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Hierbei ist:

• $f(x)$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
• $x$ der Wert der Zufallsvariable.
• $\mu$ der Mittelwert der Verteilung.
• $\sigma$ die Standardabweichung der Verteilung.
• $e$ die Eulersche Zahl (ungefähr 2,71828).
• $\pi$ die Kreiszahl (ungefähr 3,14159).

Diese Funktion beschreibt eine symmetrische, glockenförmige Kurve, die oft als "Glockenkurve" bezeichnet wird. Der höchste Punkt der Glockenkurve liegt beim Mittelwert $\mu$, und die Kurve fällt auf beiden Seiten des Mittelwerts symmetrisch ab.

Eigenschaften der Normalverteilung

1. Symmetrie: Die Normalverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert $\mu$. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Wert zu beobachten, der eine bestimmte Entfernung rechts vom Mittelwert liegt, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, einen Wert zu beobachten, der dieselbe Entfernung links vom Mittelwert liegt.

2. Glockenform: Die Form der Verteilungskurve ist glockenförmig. Dies bedeutet, dass die meisten Werte nahe dem Mittelwert liegen und die Häufigkeit der Werte abnimmt, je weiter man sich vom Mittelwert entfernt.

3. 68-95-99,7 Regel: In einer Normalverteilung liegen etwa 68% der Daten innerhalb einer Standardabweichung ($\sigma$) vom Mittelwert ($\mu$), etwa 95% innerhalb von zwei Standardabweichungen und etwa 99,7% innerhalb von drei Standardabweichungen. Diese Regel wird auch als die "Empirische Regel" oder "68-95-99,7 Regel" bezeichnet.

4. Unendlicher Bereich: Die Normalverteilung erstreckt sich theoretisch über den gesamten Bereich der reellen Zahlen, das heißt von minus unendlich bis plus unendlich. Praktisch gesehen sind die Werte jedoch in der Nähe des Mittelwerts konzentriert.

Anwendung

Die Normalverteilung ist von zentraler Bedeutung in der Statistik, da viele statistische Methoden und Tests auf der Annahme basieren, dass die Daten normalverteilt sind. Beispiele für Anwendungen der Normalverteilung sind:

• Messfehler: Viele Messfehler verteilen sich normal um den wahren Wert.
• Körpergrößen: Die Verteilung der Körpergrößen in einer Bevölkerung folgt oft einer Normalverteilung.
• Naturphänomene: Viele natürliche Phänomene, wie z.B. Temperaturmessungen, zeigen eine Normalverteilung.

Zusammenfassend ist die Normalverteilung eine fundamentale Verteilung in der Statistik, die durch ihre Symmetrie und ihre glockenförmige Kurve charakterisiert ist. Sie wird durch den Mittelwert und die Standardabweichung beschrieben und findet in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik Anwendung.