Bayes'sche Entscheidungsregeln

Die Bayes'sche Entscheidungsregel ist ein Konzept aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, das sich mit der optimalen Entscheidung in Unsicherheitssituationen beschäftigt. Dabei werden Wahrscheinlichkeiten genutzt, um verschiedene Handlungsalternativen zu bewerten und diejenige auszuwählen, die den erwarteten Nutzen maximiert.

Grundlagen und Voraussetzungen

Bevor wir uns mit den Bayes'schen Entscheidungsregeln beschäftigen, müssen wir einige grundlegende Begriffe und Konzepte verstehen:

1. A priori Wahrscheinlichkeit (Vorwahrscheinlichkeit): Dies ist die anfängliche Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, bevor neue Daten oder Informationen berücksichtigt werden. Sie basiert auf vorhandenen Kenntnissen oder Annahmen. Zum Beispiel könnte die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, basierend auf historischen Wetterdaten 30% betragen.

2. Bedingte Wahrscheinlichkeit: Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gegeben eines anderen Ereignisses B, geschrieben als P(A|B), ist die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, wenn B bereits eingetreten ist. Zum Beispiel könnte die Wahrscheinlichkeit, dass jemand eine Erkältung hat, gegeben dass er Husten hat, 70% betragen.

3. A posteriori Wahrscheinlichkeit (Nachwahrscheinlichkeit): Dies ist die aktualisierte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, nachdem neue Daten oder Informationen berücksichtigt wurden. Sie wird mithilfe des Satzes von Bayes berechnet: $ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} $ Hierbei ist P(A|B) die nachkalkulierte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B, P(B|A) die Wahrscheinlichkeit von B gegeben A, P(A) die a priori Wahrscheinlichkeit von A und P(B) die Gesamtwahrscheinlichkeit von B.

Entscheidungsregeln im Bayes'schen Kontext

Bayes'sche Entscheidungsregeln nutzen diese Wahrscheinlichkeiten, um optimale Entscheidungen zu treffen. Der Entscheidungsprozess umfasst folgende Schritte:

1. Identifikation der Alternativen: Bestimme alle möglichen Handlungsalternativen, die zur Verfügung stehen. Zum Beispiel könnte ein Arzt entscheiden, ob er bei einem Patienten einen bestimmten Test durchführen soll oder nicht.

2. Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten: Schätze die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ergebnisse und Zustände basierend auf vorhandenen Daten und Kenntnissen. Dies beinhaltet die Bestimmung der a priori Wahrscheinlichkeiten und der bedingten Wahrscheinlichkeiten.

3. Bewertung der Konsequenzen: Jede Handlungsalternative führt zu bestimmten Konsequenzen. Diese Konsequenzen werden oft in Form von Nutzen oder Kosten bewertet. Der Nutzen kann in Geld, Gesundheit, Zufriedenheit oder einem anderen relevanten Maßstab ausgedrückt werden.

4. Berechnung des Erwartungswerts: Der Erwartungswert ist das gewichtete Mittel der möglichen Konsequenzen, wobei die Gewichte die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ergebnisse sind. Der Erwartungswert für eine Handlungsalternative i wird berechnet als: $ E_i = \sum_j P(O_j|A_i) \cdot U(O_j, A_i) $ Hierbei ist $E_i$ der Erwartungswert der Handlungsalternative i, $P(O_j|A_i)$ die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses j gegeben die Handlungsalternative i, und $U(O_j, A_i)$ der Nutzen des Ergebnisses j bei Wahl der Handlungsalternative i.

5. Entscheidung treffen: Wähle die Handlungsalternative mit dem höchsten Erwartungswert. Diese Regel stellt sicher, dass die Entscheidung, die getroffen wird, den erwarteten Nutzen maximiert.

Beispiel zur Verdeutlichung

Angenommen, ein Arzt muss entscheiden, ob er einen bestimmten diagnostischen Test bei einem Patienten durchführen soll. Der Test kann positiv oder negativ ausfallen und hat verschiedene Konsequenzen:

1. A priori Wahrscheinlichkeiten:

   • Wahrscheinlichkeit, dass der Patient krank ist $P(\text{Krank}) = 0.1$
   • Wahrscheinlichkeit, dass der Patient gesund ist $P(\text{Gesund}) = 0.9$

2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten:

   • Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ist, gegeben dass der Patient krank ist $P(\text{Positiv}|\text{Krank}) = 0.8$
   • Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ist, gegeben dass der Patient gesund ist $P(\text{Positiv}|\text{Gesund}) = 0.2$

3. Konsequenzen und Nutzen:

   • Nutzen einer korrekten Diagnose und Behandlung (positiver Test bei Krankheit) = 100
   • Kosten eines falschen Alarms (positiver Test bei Gesundheit) = -10
   • Kosten einer nicht diagnostizierten Krankheit (kein Test bei Krankheit) = -50
   • Nutzen, nichts zu tun und gesund zu sein (kein Test bei Gesundheit) = 0

4. Berechnung des Erwartungswerts:

   • Erwartungswert des Tests: E(Test) = P(Positiv|Krank) · P(Krank) · Nutzen(Positiv, Krank) + P(Positiv|Gesund) · P(Gesund) · Kosten(Positiv, Gesund)
   • Erwartungswert, keinen Test durchzuführen: E(KeinTest) = P(Krank) · Kosten(KeinTest, Krank) + P(Gesund) · Nutzen(KeinTest, Gesund)

Durch Vergleich der Erwartungswerte kann der Arzt die optimale Entscheidung treffen.

Die Bayes'sche Entscheidungsregel bietet somit einen systematischen Ansatz zur Entscheidungsfindung unter Unsicherheit, indem sie Wahrscheinlichkeiten und Nutzen berücksichtigt, um rationale und gut fundierte Entscheidungen zu treffen.