In der Kombinatorik, einem Teilgebiet der Mathematik, beschäftigen wir uns mit der Frage, auf wie viele verschiedene Arten man eine Menge von Objekten anordnen oder auswählen kann. Zwei wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang sind Permutationen und Kombinationen. Diese Begriffe sind grundlegend für das Verständnis vieler Probleme in der Stochastik und Statistik.
Eine Permutation ist eine Anordnung aller Elemente einer Menge in einer bestimmten Reihenfolge. Wenn wir von Permutationen ohne Wiederholung sprechen, bedeutet dies, dass jedes Element der Menge nur einmal vorkommt.
Angenommen, wir haben eine Menge von $n$ verschiedenen Objekten. Eine Permutation dieser $n$ Objekte ist jede mögliche Anordnung dieser Objekte. Die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung von $n$ Objekten wird durch $n!$ (gesprochen: „n Fakultät“) berechnet. Das Fakultätszeichen „!“ steht für das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu $n$.
Formel: $ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 $
Betrachten wir die Menge {A, B, C}. Die Permutationen ohne Wiederholung sind:
Es gibt also $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ Permutationen.
Bei Permutationen mit Wiederholung dürfen die Elemente mehrfach vorkommen. Dies ist der Fall, wenn wir beispielsweise Buchstaben eines Wortes betrachten, in dem einige Buchstaben mehrfach vorkommen.
Die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung wird durch die Formel:
$ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} $
berechnet, wobei $n$ die Gesamtzahl der Objekte ist und $n_1, n_2, \ldots, n_k$ die Häufigkeiten der jeweiligen verschiedenen Objekte.
Betrachten wir das Wort „AAB“. Hier haben wir 3 Buchstaben, wobei der Buchstabe A zweimal vorkommt. Die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung ist: $ \frac{3!}{2! \times 1!} = \frac{6}{2} = 3 $
Die Permutationen sind:
Eine Kombination ist eine Auswahl von Elementen aus einer Menge, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt. Bei Kombinationen ohne Wiederholung wird jedes Element nur einmal ausgewählt.
Die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung von $n$ Objekten, aus denen $k$ Objekte ausgewählt werden, wird durch den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ (gesprochen: „n über k“) berechnet.
Formel: $ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \times (n-k)!} $
Betrachten wir die Menge {A, B, C, D} und wählen 2 Elemente aus. Die Kombinationen ohne Wiederholung sind:
Es gibt also $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \times 2!} = 6$ Kombinationen.
Bei Kombinationen mit Wiederholung darf jedes Element mehrmals ausgewählt werden. Dies wird auch als „Kombination mit Zurücklegen“ bezeichnet.
Die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung von $n$ Objekten, aus denen $k$ Objekte ausgewählt werden, wird durch die Formel:
$ \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \times (n-1)!} $
Betrachten wir die Menge {A, B} und wählen 3 Elemente aus, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Die Kombinationen mit Wiederholung sind:
Es gibt also $\binom{2+3-1}{3} = \binom{4}{3} = 4$ Kombinationen.
Diese grundlegenden Konzepte der Permutationen und Kombinationen sind essenziell, um komplexere Wahrscheinlichkeitsprobleme zu verstehen und zu lösen. Sie bilden die Basis für viele Anwendungen in der Statistik und Stochastik.