Fakultät Definition und Notation

Die Fakultät ist eine grundlegende mathematische Funktion, die in vielen Bereichen der Mathematik und insbesondere in der Kombinatorik von großer Bedeutung ist. Sie wird verwendet, um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, in denen eine bestimmte Anzahl von Objekten angeordnet werden kann. Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$ wird als $n!$ (ausgesprochen "n Fakultät") geschrieben.

Definition

Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$ ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis $n$. Mathematisch ausgedrückt wird die Fakultät von $n$ wie folgt definiert:

$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1 $

Für $n = 0$ ist die Fakultät definiert als:

$ 0! = 1 $

Diese Definition mag auf den ersten Blick ungewöhnlich erscheinen, aber sie ist notwendig, um viele mathematische Formeln konsistent zu halten.

Beispiele

Um die Definition zu verdeutlichen, betrachten wir einige Beispiele:

1. Fakultät von 3: $ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $

2. Fakultät von 5: $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $

3. Fakultät von 0: $ 0! = 1 $

Notation

Die Notation $n!$ ist eine kurze und prägnante Art, die Fakultät von $n$ darzustellen. Diese Notation wird in der gesamten Mathematik verwendet und ist ein standardisiertes Symbol.

Verwendung der Fakultät

Die Fakultät findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik, darunter:

1. Kombinatorik:

   • Berechnung der Anzahl von Permutationen: Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. Die Anzahl der Permutationen von $n$ Objekten ist gleich $n!$.
   • Beispiel: Die Anzahl der möglichen Anordnungen von 3 verschiedenen Büchern ist $3! = 6$.

2. Binomialkoeffizienten:

   • Binomialkoeffizienten werden in der Binomialverteilung und bei der Entwicklung von binomischen Formeln verwendet. Sie werden mithilfe von Fakultäten berechnet.
   • Beispiel: Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ (ausgesprochen "n über k") wird berechnet als $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

3. Rekursive Definition:

   • Die Fakultät kann auch rekursiv definiert werden, was bedeutet, dass $n!$ in Bezug auf $(n-1)!$ definiert werden kann: $ n! = n \times (n-1)! $
   • Mit der Basisdefinition $0! = 1$.

Diese Anwendungen zeigen die Vielseitigkeit und Bedeutung der Fakultät in der Mathematik. Sie bildet die Grundlage für viele wichtige Konzepte und Berechnungen, die im weiteren Verlauf dieses Buches behandelt werden.