Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist eine fundamentale Aussage in der Geometrie, die in rechtwinkligen Dreiecken verwendet wird, um die Beziehung zwischen den Längen der Seiten zu bestimmen. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Länge der Hypotenuse (das ist die Seite die dem rechten Winkel gegenüber liegt) gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden Katheten (das sind die zwei Seiten die den rechten Winkel bilden) ist.

Anwendung: Berechnung von Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken

Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten (a) und (b) und der Hypotenuse (c) gilt: $c^2 = a^2 + b^2 $

Beispiel 1: Berechnung der Hypotenuse

• Gegeben: $a = 3 $ und $ b = 4 $
• Gesucht: $ c $
• Lösung:

  $c^2 = a^2 + b^2 $

  $ c^2 = 3^2 + 4^2 $

  $ c^2 = 9 + 16 $

  $ c^2 = 25 $

  $ c = \sqrt{25} $

  $ c = 5 $

Beispiel 2: Berechnung einer Kathete

• Gegeben: $ c = 10 $ und $ a = 6 $
• Gesucht: $ b $
• Lösung:

  $ c^2 = a^2 + b^2 $

  $ 10^2 = 6^2 + b^2 $

  $ 100 = 36 + b^2 $

  $ 100 - 36 = b^2 $

  $ 64 = b^2 $

  $ b = \sqrt{64} $

  $ b = 8 $

Beweise: Einfacher geometrischer Beweis

Es gibt viele verschiedene Beweise für den Satz des Pythagoras. Hier ist ein einfacher geometrischer Beweis, der die Flächen von Quadraten verwendet.

Geometrischer Beweis:

1. Zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten (a) und (b) und der Hypotenuse (c).

2. Konstruieren Sie ein Quadrat mit der Seitenlänge (a + b). Dieses Quadrat enthält vier Kopien des rechtwinkligen Dreiecks.

3. Innerhalb des großen Quadrats bilden die vier Dreiecke ein inneres Quadrat mit der Seitenlänge (c). Der Bereich des großen Quadrats lässt sich auf zwei Arten berechnen: einmal als Summe der Flächen des inneren Quadrats und der vier Dreiecke und einmal als Quadrat der Seitenlänge (a + b).

4. Die Fläche des großen Quadrats ist: $(a + b)^2 $

5. Die Fläche des inneren Quadrats plus die Fläche der vier Dreiecke ist: $ c^2 + 4 \left(\frac{1}{2}ab\right) = c^2 + 2ab $

6. Da beide Ausdrücke für die Fläche des großen Quadrats gleich sein müssen, erhalten wir: $ (a + b)^2 = c^2 + 2ab $

7. Expandiere $ (a + b)^2$ : $ a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab $

8. Subtrahiere $2ab$ von beiden Seiten: $ a^2 + b^2 = c^2 $

Dieser geometrische Beweis zeigt, dass die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist, was den Satz des Pythagoras bestätigt.

Weitere Anwendungen

Anwendung 1: Navigation

• In der Navigation wird der Satz des Pythagoras verwendet, um die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten zu berechnen, die rechtwinklig zueinander liegen, beispielsweise beim Bestimmen der Luftlinie zwischen zwei Orten.

Anwendung 2: Konstruktion

• Im Bauwesen wird der Satz des Pythagoras verwendet, um sicherzustellen, dass Strukturen rechtwinklig sind, indem die Diagonale gemessen und überprüft wird, ob sie der berechneten Hypotenuse entspricht.

Anwendung 3: Kartografie

• In der Kartografie wird der Satz des Pythagoras verwendet, um Entfernungen auf Karten zu berechnen, insbesondere wenn die Entfernungen in nord-südlicher und ost-westlicher Richtung bekannt sind.

Der Satz des Pythagoras ist ein grundlegendes Konzept in der Geometrie, das viele praktische Anwendungen hat.

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