Einführung in Dezimalzahlen

Dezimalzahlen sind eine grundlegende Komponente der Mathematik, die das Verständnis und die Darstellung von Zahlen in einem auf der Basis 10 beruhenden System ermöglichen. Sie bieten eine einfache Methode zur Darstellung von Brüchen und ermöglichen präzise Berechnungen in vielen Bereichen. In diesem Abschnitt werden wir die grundlegenden Konzepte und Anwendungen von Dezimalzahlen untersuchen und einige praktische Beispiele betrachten.

1. Aufbau von Dezimalzahlen

Dezimalzahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem Dezimalteil, die durch ein Dezimalkomma getrennt sind. Jede Stelle nach dem Dezimalkomma repräsentiert einen Bruchteil von Zehnerpotenzen.

• Ganzzahl: Der Teil der Zahl links vom Dezimalkomma.
• Dezimalteil: Der Teil der Zahl rechts vom Dezimalkomma.
• Dezimalkomma: Trennt die ganze Zahl vom Dezimalteil.

Beispiel: Die Dezimalzahl 123,456 besteht aus der ganzen Zahl 123 und dem Dezimalteil 456. Die 4 steht für 4 Zehntel, die 5 für 5 Hundertstel und die 6 für 6 Tausendstel.

2. Stellenwertsystem

Jede Stelle in einer Dezimalzahl hat einen Stellenwert, der auf der Position der Ziffer basiert. Dies gilt sowohl für die Ziffern links als auch rechts vom Dezimalkomma.

• Stellenwerte links vom Dezimalkomma: Einer ($10^0$), Zehner ($10^1$), Hunderter ($10^2$), Tausender ($10^3$), etc.
• Stellenwerte rechts vom Dezimalkomma: Zehntel ($10^{-1}$), Hundertstel ($10^{-2}$), Tausendstel ($10^{-3}$), etc.

Beispiel: Die Dezimalzahl 3,759 hat die Stellenwerte:

• 3 in den Einheiten ($3 × 10^{0} = 3$)
• 7 in den Zehnteln ($7 × 10^{-1} = 0,7$)
• 5 in den Hundertstel ($5 × 10^{-2} = 0,05$)
• 9 in den Tausendstel ($9 × 10^{-3} = 0,009$)

3. Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen

Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teilt man den Zähler durch den Nenner.

• Beispiel: Der Bruch $\frac{3}{4}$ wird zu 3 ÷ 4 = 0,75.

4. Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen

Bei der Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen ist es wichtig, die Dezimalkommata auszurichten.

• Beispiel (Addition): 12,34 + 5,678

  • Richten Sie die Dezimalkommata aus:

     12,340
    + 5,678
    -------
     18,018
    

• Beispiel (Subtraktion): 15,6 - 3,78

  • Richten Sie die Dezimalkommata aus:

     15,60
    - 3,78
    -------
     11,82
    

5. Multiplikation von Dezimalzahlen

Bei der Multiplikation von Dezimalzahlen werden die Zahlen zunächst wie ganze Zahlen multipliziert. Anschließend wird das Dezimalkomma in das Produkt eingefügt, so dass die Gesamtzahl der Dezimalstellen im Produkt der Summe der Dezimalstellen in den Faktoren entspricht.

• Beispiel: 2,3 × 4,56
  • Multiplizieren Sie die Zahlen wie ganze Zahlen: 23 × 456 = 10488.
  • Setzen Sie das Dezimalkomma: 2,3 hat 1 Dezimalstelle und 4,56 hat 2 Dezimalstellen, also insgesamt 3 Dezimalstellen. Das Produkt ist daher 10,488.

6. Division von Dezimalzahlen

Bei der Division von Dezimalzahlen wird der Divisor in eine ganze Zahl umgewandelt, indem man ihn mit einer passenden Zehnerpotenz multipliziert. Der Dividend wird mit derselben Zehnerpotenz multipliziert, und dann wird die Division durchgeführt.

• Beispiel: 12,345 ÷ 0,5
  • Umwandeln: Multiplizieren Sie beide Zahlen mit 10: 123,45 ÷ 5.
  • Division: 123,45 ÷ 5 = 24,69.

7. Rundung von Dezimalzahlen

Beim Runden von Dezimalzahlen wird die Zahl auf eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen verkürzt, je nach gewünschter Genauigkeit.

• Regeln:

  • Wenn die erste abzurundende Ziffer kleiner als 5 ist, bleibt die letzte zu behaltende Ziffer unverändert.
  • Wenn die erste abzurundende Ziffer 5 oder größer ist, wird die letzte zu behaltende Ziffer um 1 erhöht.

• Beispiel: 3,4567 auf zwei Dezimalstellen gerundet ist 3,46 (die Ziffer 5 erhöht die vorherige Ziffer 5 um 1).

8. Vergleich von Dezimalzahlen

Um Dezimalzahlen zu vergleichen, beginnt man mit den Ziffern links vom Dezimalkomma und arbeitet sich nach rechts vor.

• Beispiel: Um 5,67 und 5,678 zu vergleichen, vergleichen Sie zunächst die Einer (5 und 5), dann die Zehntel (6 und 6) und dann die Hundertstel (7 und 7). Da 5,678 eine zusätzliche Tausendstelstelle (8) hat, ist 5,678 größer als 5,67.